Calculabilité et complexité Cours no2

Nicolas (Miki) Hermann

Description

Calculabilite´ et complexite´oCours n 2Nicolas (Miki) Hermann´LIX, Ecole [e-mail]´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (2)Hier´ archie des classes de complexite´Soit f une fonction de complexite.´ Definissons´ le langageH = {(M,x)| M accepte x apres` au plus f(|x|) pas}fou` M parcourt toutes les machines de Turing deter´ ministes(multi bande ou pas)´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (2)Hier´ archie des classes de complexite´Theor´ eme`3H ∈ DTIME(f(n) )fIdee´ de la preuveConstruire une machine de Turing deter´ ministe universelle U quifsimule M, avec “truc” supplementaire´ , la sonette d’alarme (implantee´comme un mot sur un ruban), qui fait rejeter automatiquementchaque mot x qui n’est pas accepte´ par M en temps f(|x|). Lamachine Uf(|x|)1 construit la sonette d’alarmeu pour x sur un ruban en tempsO(f(|x|)),22 simule chaque pas du travail de M en temps O(f(|x|) ),33 accepte ou rejette le mot x (s’il le faut) en temps O(f(|x|) ).´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (2)Hier´ archie des classes de complexite´Theor´ eme`H ∈/ DTIME(f(bn/2c))fPreuve par diagonalisation´Supposons qu’il existe une machine de Turing deterministe M quif´decide H en temps f(bn/2c). Construisons une machine de Turingf´deterministe diagonalisante D , dont le programme serafD (M) = if M (M,M)== YES then NO else YES fif fD utilise le mot M autant de fois que la machine M sur le motf f(M,M), i.e., f(b(2n+1)/2c)= f(n) ...

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• Langue: Français

Extrait

Calculabilit ´ eetcomplexite ´ Cours n o 2

Nicolas (Miki) Hermann

´ LIX, Ecole Polytechnique

[e-mail]

iMikHeramnnaCcllubaliti´eteocpmelixt´e(2)

Hira´eesdslcsadesecrihit´eplexecom iMikplomitext´litceeuclaibalmreHCnna

ouM parcourt toutes les machines de Turing de´  terministes ` (multi-bande ou pas)

e´2()

H f ={(M,x)|Macceptexapr ` esauplusf(|x|)pas}

Soitf finissons le langage une fonction de complexite´  .  De´

2)

Th ´` eme eor H f ∈ DTIME (f(n) 3 )

Id ´ eedelapreuve Construire une machine de Turing de´  terministe universelleU f qui simuleM mentaire, , avec “truc” supple´  lasonette d’alarmelpna ´ tee(mi comme un mot sur un ruban), qui fait rejeter automatiquement chaque motx par qui n’est pas accepte´ Men tempsf(|x|). La machineU 1 construit la sonette d’alarmeu f(|x|) pourxsur un ruban en temps O(f(|x|)), 2 simule chaque pas du travail deMen tempsO(f(|x|) 2 ), 3 accepte ou rejette le motx(s’il le faut) en tempsO(f(|x|) 3 ).

lexit´e( codeessst´xilempeHrahc´irecsaleied ´eetcompulabilitamnnaCclMkiHire

et´xilempcodeesedcsalssrerahceiHi´ )

D f (M) =ifM f (M,M) == YES then NO else YES fi

Preuve par diagonalisation Supposonsqu’ilexisteunemachinedeTuringd ´ eterministeM f qui d ´ ecideH f en tempsf(bn2c). Construisons une machine de Turing d ´ eterministediagonalisanteD f , dont le programme sera

Th ´ ` eoreme H f ∈ DTIME (f(bn2c))

D f utilise le motMautant de fois que la machineM f sur le mot (M,M), i.e.,f(b(2n+1)2c) =f(n). . . .

uclaCnna´tilibalplomtcee(2´eitexHermMiki

exit´eesclassesdecompliHe´arcrihde iMikeHmrnaCnbilacualtceet´litixelpmo

Preuve par diagonalisation (cont) Est-ce queD f  ?accepte sa propre description SiD f (D f ) = YES alorsM f (D f ,D F ) = NO impliquant(D f ,D f )∈H f . Ceci veut dire queD f assapropacceptep’nnoitne ´ derinfie tempsf(n). Ceci impliqueD f (D f ) = NO .Contradiction. SiD f (D f ) = NO , ceci impliqueM f (D f ,D f ) = YES , puis (D f ,D f )∈H f , ce qui donneD f (D f ) = YES .Contradiction.

)2(e´

´etixelpmocedsessaesclhiedrarcHi´e HireM ) ki )n 2 )go(f ilitulabCalcmann (f( EMITD srola,e ´ (ln)f( E ( IMDT )(n) ixel(e´ttee´pmoc

Th ´ eor ` eme[Hi ´ erarchiedutemps] Sif(x)≥n est une fonction de complexite´  , alors

2)

Preuve Lesdeuth ´` emespr ´ ec ´ edents. x eor

DTIME (f(2n+1) 3 )

DTIME (f(n))(

ixtsIel if(n)≥nestunefontcoidncemolpxeti nmeulleirreusu ´ etatl ´ hT . ` roe S eme

pmeledocsssecsaliedearchi´erHet´xi 2(e´

Theor ` eme ´ Sif(n)≥nseenutdecomplefonctionrosix ´ t,ela

DTIME (f(n))( DTIME (f(n)(logf(n)) 2 )

)

DTIME (f(n))( DTIME (f(2n+1) 3 )

The´ ore` me [Hie´  rarchie du temps] Sif(x)≥n est une fonction de complexite´  , alors

Preuve Lesdeuxth ´ eor ` emespre ´ ce ´ dents.

Il existe un meilleur re´  sultat.

ikiMlabialcuannCHermxetimolpeectil´t

TI ⊆ D (2 ME ( D n ) METI aM PX nositias P euq rs, P⊆ DTIME (2 n )⊆E asmmnegtardnA.ol ou n pe2qu ffisu nnruptneivedtitepsulolynquepp(n) ˆ ome P C e ah ervu xelpe´tisdseomecesedascle´arcrihiH

P

Miki Hermann

EXP

(

Calculabilite ´ etcomplexit ´ e(2)

Corollaire

METI ⊆ D 3 ) 1 ) n+ 2 2 ((PXE⊆) 2 n 2(

iMeHiknamralnClaculibieet´lpxe e c ´ t t m i o x 2()tie´

P⊆ DTIME (2 n )( DTIME ((2 2n+1 ) 3 )⊆ DTIME (2 n 2 )⊆EXP

Corollaire P(EXP

Preuve Chaquepolyn ˆ omep(n)devient plus petit que2 n pour unn suffisamment grand. Alors,

P⊆ DTIME (2 n )⊆EXP

Mais on sait que

archiedeHi´eredocpmelcsalssse

sdseomecexpl´eitare´ihcrsedesalc iaer (LSP oCorll

(

DSPACE (f(n)logf(n))

DSPACE (f(n))

)

Onconnaitunth ´ eo ` imilairepourl’espace. reme s

The ´ ore ` me[Hi ´ erarchiedel’espace] Soitf(n)une fonction de complexit  ´ .  Alo e rs

´e(2exitomplctee´tilibaluclanCanrmHekiMi CEPA iH

Mit´eabilmpleetcoreamkiHicllunnaC´tix)2(e

Th ´ ` [Hie´  rarchie de l’espace] eoreme Soitf(n) une fonction de complexite´  . Alors

On connait th  ´ `  similaire pour l’espace. un eoreme

Corollaire L(PSPACE

DSPACE (f(n))( DSPACE (f(n)logf(n))

Hi´erareihccsedssaledsempcoxileet´