Universite Claude Bernard Lyon 1Annee universitaire 2010-2011Preparation au CAPES de MathematiquesProbabilitesF. Bienvenue-DuheilleChapitre 1Probabilite, probabilite conditionnelle1 Probabilite1.1 De nitionsOn se place sur un ensemble appele espace de probabilite ou univers.Dans le vocabulaire probabiliste,{ Un element ! de est appele une experience{ Un sous-ensemble A de est un evenement.{ Un evenement elementaire est un singleton de .{ L’evenement certain est .{ L’evenement impossible est l’ensemble vide.{ Deux evenements disjoints sont dits incompatibles.+De nition 1.1. Une mesure de probabilite P est une fonction de nie sur P( ) et a valeurs dans Rveri ant les proprietes suivantes :1. P( ) = 1 .2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de , on a P(A[B) = P(A) + P(B).3. Si (A ) est une famille denombrables de sous-ensembles de deux a deux disjoints, on an n1[ XP A = P(A ):n nn1 nOn deduit la proposition suivante de la de nition d’une mesure de probabilite :Proposition 1.2. 1. P(;) = 0,2. Si A est un evenement, P( nA) = 1 P(A),3. Si AB sont deux evenements, P(A) P(B),4. Si A et B sont deux ev P(A[B) = P(A) + P(B) P(A\B).Remarque : Le troisieme point de la de nition signie qu’une probabilite est une fonction croissante : c’estune faco n de calculer la « taille»des evenements.On montre facilement par recurrence le resultat suivant appele formule de Poincare ou ...
Remarque :ointemepisi`etronoisinit´dfieedalbaroepunu’eqifignnofenutsee´tilibtcoicnorsiastn:ec’estL ¸ une facon de calculer la«taille».sdeevs´ne´entme Onmontrefacilementparr´ecurrencelere´sultatsuivantappele´formuledePoincar´eouformuledu crible :
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Proposition 1.3.Soit(Ak)1≤i≤nnemtnqseu´vee´enseuqnocledΩ. On a [Ak(Ai) Pi=n1!=i=nX1P −XP(Ai∩Aj) + 1≤i<j≤n +XP(Ai∩Aj∩Ak) 1≤i<j<k≤n +∙ ∙ ∙+ (−1)n+1Pi=n\1Ai!.
Remarque :unsea3vLecz,slueiivuieusancbaosursdeprobabiliiSto´vetalroe´hdeireceitairtmenesunt lamesure,etvousavezdˆuycroiserdestribus.Lanotiondetribuestinutiledanslecadredesprobabilit´es dontvousavezbesoinpourleCAPES:laplupartdutemps,vousaurezaffairea`desuniversΩfinisou de´nombrables,etlatribuutilis´eeseraP(L.)Ωtonadnoiirtebuestutilepourlepsorabibil´tseidste«`a densit´e»disnare´nereocenbarolibiquntapel´tepropparrasemala`teLeburede,maesgueptusinoapss’sne d’un intervalle. Pour la suite de ce cours, on se placera sur un espaceΩmudepeserunumein’d.t´ePbiliroba
1.2Probabilit´esdiscre`tes Lamesuredeprobabilite´Pest ditesidete`rc`douleusplfitinuo´dnemorbbaesquel’espaceΩes ge´n´eralement,de`squ’ilexisteunsous-ensembleΩ0equletteelbarbmone´ioudeΩfindP(Ω0) = 1. Une probabilite´surunensembled´enombrableseratoujoursdiscr`ete. Onseplaceradanslasuitedeceparagraphedanslecaso`uΩtfiniesnemouo´del.rbba Proposition 1.4.´imrete´dtnemetesrlpaeeunensembled´enomrbbaelsectmolpe`Unorpeibab´tilruse n P({ω})pour toutω∈Ω. En effet, pourA⊂Ω, on a P(A) =XP(ω). ω∈A NB:lecadreleplusfr´equentdesle¸eCAPES(hormisleslke¸consdestat)estlecasou`l’ensemble cons d Ω est fini. Remarques : –Lespoidsd’uneprobabilit´ediscre`tePfiine´vretPω∈ΩP(ω) = 1. –Unemesuredeprobabilite´nepermetd’e´valueraprioriquelatailledesous-ensemblesdeΩ. Des exemples •i`ecunepuilie´eqre’daLcnee´rbiseld´moesr´leerno:etiahuoscean’urdtaulultdsnascirtipenece`herie. Pour cela, on choisit Ω1={pile,face}, et donccardΩ1= 2. L’ensemble des parties de Ω1comporte quatree´l´ementsetond´efinitlamesuredeprobabilit´ePparP{pile}=P{face}= 1/2 puisque les deux evenementssont´equiprobables(c’est-`a-diredemeˆmeprobabilit´e).. ´ ´ Remarque :Ωrsioichpuenbiesr`iattanruO1={pile,face,rouge,vert}itil´eedrpbobaememuser,etcom P{pile}=P{face}= 1/2 etP{rouge}=P{vert}..lempsi.siohcno,sulpeltintquistaaire’`af,0am= •Lancer dekp`icese,k≥2 : on prend cette fois-ci Ωk= (Ω1)k des l’ensemble, c’est ` dik-uplets de -a- re pile ou face. On acardΩk= 2ketcardP(Ωk) = 22ksnte´erdsffi.eLksdoncssetttonpl-uborpelba´suoiuqe P(ω) = 2−k, pour toutω∈Ωk.
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•abobPretescr`e´nulitiemidfiro: sur un ensemblefiniΩ ={ω1, . . . , ωn}on,efid´tlnipaorabibil´te uniforme parP(ωi) = 1/npour toutientre 1 etn. Dans ce cas, tous lesωiedeseil´tabibpeormˆemntlao produire (i.e. sontaborselbe´piuq), et pour une partieAde Ω, on a P(A) =carndAsesaafovarn=cbspossiblblesnbca. Parexemple,lorsdulancerd’unde´re´guliera`sixfaces,chaquefaceestobtenueaveclamˆemeprobabilit´e 1/6. Remarque :voyadeiriulofonisemrruIlnpeuebteisnuˆprsaN. •exEelpmsuredemeobabdepre´uslitirN∗´endeuncon¸cfade´te´pe´r’uqsujeenOal.6nurte,boa`inet onnotelenum´erodutiragedupremier6.Ona´evidemmentP(1) = 1/6. Onae´galement P(2) =Pdeux6;aueudeapasno’nga,etrrimeeiprau(6nuu)emi`irete,agaeon 5 = 36 carsurles36tiragespossiblese´quiprobables,seuls5permettentd’obtenirlepremier6audeuxi`emetirage. Demeˆme,pourtoutk≥2, P(k) =P(k−spuichec1´e5=)etissue´renus6kk−1=65k−161. Celaconstituebienunemesuredeprobabilite´discre`tesurN∗puisquePk≥1P(k) = 1. Attention :t´edetirerun6exatcmeneptraimelsapcseNdnernoofroepttcet´libibapalcevaeilibabork premiers lancers.
1.3Probabilite´`adensite ´ On se place surRet on notedxitugseoS.ederubeLeamesndelatio´egri’tnnedt´lme’le´f:R→R unefonctionpositiveetd’int´egralesurRe´ueqgaaOn1.`aleerosppsufest continue par morceaux. Il est faciledeve´rifierquel’onde´finitunemesureµen posant, pour toutI⊂R: µ(I) =ZR1I(x)f(x)dx. Unetellemesureestdite`adensit´e(parrapport`alamesuredeLebesguesurRquementO.dn)ageltie´ c’estuneprobabilite´continue. Remarque :sesucnut-icnssedfin´eioitresuad,leiedalemalhte´rolienavecrfaireleouPrdesulierticaspa mesuresa`densite´parrapporta`lamesuredeLebesguesurRalofcnitno.snaDacele´gsern´,ialuffilsuetq fsiobtor´elienne,etonp´rletuobeeidnisnoctuealrere´dilabobprtode´eitR. Des exemples •La mesure uniforme sur l’intervalle [a, b,]o`ua < bnd´efinit:O µ(A) =ZR1A∩[a,b](x)bd−a.x •La mesure de Gauss surR. On utilise ici la fonction 1 f(x) =√2πexp−(x2−σ2m)2, σ ou`m∈Retσ∈R+∗ntdeso.es`marapxu´xfiserte