Cours 9x

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METHODOLOGIE STATISTIQUEMounir MesbahCOURS 9Mardi 30 Novembre 2010METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 9              Mardi 30 Novembre 2010Le coefficient de corrélation : ρcov(X,Y)ρ = var(X)Var(Y)Définition : cocov (X(X, Y)Y) = cocovva ariiaanncece enentre X eet t Y(x−−μμ)(y )∑ i XiY = N2(x − μ )∑ i XComme : var (X) = = cov (X,X)N2(y - μ )∑ iY var ()(Y ) = N(x - μ )(y - μ )∑ iXiYOn obtient : ρ = 22(x - μ)(y-μ )∑∑iX iYPage : 2ρest symétrique en X et Y1METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 9              Mardi 30 Novembre 2010Relation entre ρet β(pente de la droite de régression)(x - μ )(y - μ )∑ iXiY ρ = 22(x - μ)(y-μ )∑∑iX iY2(x - μ )(y - μx-μ )iXiY iX= 22 (y μ )(x - μ ) ∑ iY∑ iX2(x - μ )∑ iX(x - μ )(y - μ )∑ iXiY N= 22 (y - μ )(x - μ ) ∑ iY∑ i XN2σσXX= ββ= 2YYPage : 3METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 9              Mardi 30 Novembre 2010Propriétés du coefficient de corrélation(1)• ρest lié à β(pente de la droite de régression) par :σ Xρβ=σ Y•1) ρa le même signe que βρ > 0 => Y augmente en moyenne lorsque X augmente•2) ρest inchangé si on change d’unité et/ou d’origine pour X et YX ‐> X’ = aX+ b (a > 0)et/ou                                                                          ρ’ = ρY ‐> Y’ = cY+ d (c > 0)Le coefficient de corrélation mesure l’association entre X et Yindépendamment des unités choisies pour ces variablesPage  ...

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE Mounir   Mesbah

COURS  9

Mardi  30  Novembre  2010

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Le   coefficient   de   corrélation   :   ρ

ρ est  symétrique  en  X  et  Y

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Relation   entre   ρ et   β (pente   de   la   droite   de   régression)

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Propriétés   du   coefficient   de   corrélation (1)

  ρ est  lié  à  β (pente  de  la  droite  de  régression)  par  :

1)  ρ a  le  même  signe  que  β ρ >   0   =>   Y   augmente   en   moyenne   lorsque   X   augmente 2)   ρ est   inchangé   si   on   change   dunité   et/ou   dorigine   pour   X   et   Y X ‐ >   X   =   aX +   b   (a   >   0) et/ou                                                                             =  Y ‐ >   Y   =   cY +   d   (c   >   0)

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010

Propriétés  du  coefficient  de  corrélation (2)    3) ρ est   toujours   compris   entre ‐ 1   et   +1 Ces   bornes   ne   peuvent   être   atteintes   que   si   Y   =   aX+b

          Attention,   linverse   nest   pas   vrai

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Liaison   entre   deux   variables   X   et   Y

valables aussi bien pour la valeur vraie ρ que pour lestimation r :  r a le même signe que b  r est inchangé si on change dunité et/ou dorigine pour X et Y  r est toujours compris entre ‐ 1 et +1

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Estimation   du   coefficient   de   corrélation   ρ

n 2 - i X E s t i m a t i o n d e v a r ( X ) = i = 1 n - 1 n ∑ ( y - m ) 2 i Y i = 1 Y E s t i m a t i o n d e v a r ( ) =  n - 1 n ∑ ( x i - m X ) ( y i - m Y ) E s t i m a t i o n d e c o v ( X , Y ) = i = 1 - ⇒  E s t i m a t i o n d e ρ  :

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Autres   façons   décrire   r   :

ou  :

ou   encore  :

En  pratique,  on  utilise  la  formule  qui  est  la  plus  commode  avec  les  données  dont  on   dispose. Page   :   8

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Exemple Poids   de   naissance   de   63   nouveaux   nés,   poids   maternel,   poids   paternel N° PN PM=X PP=Y N° PN PM=X PP=Y 1 3850 83 100 33 3400 55 75 2 4400 50 100 34 2700 58 75 3 2950 70 120 35 2750 46 75 63 63 4335064853632 3 5 0 0 0 5 6 0 0 8 7 3 0 ∑ x i = 3 644  ∑ y i = 4 729 5 3550 50 72 37 3 6 3700 54 64 38 3100 55 75 i=1 i=1 8 3400 48 78 40 4400 50 75 63 63 9 4350 67 83 41 3300 55 78 ∑ x i2 = 217502 ∑ y i2 =363527 10 3500 55 85 42 3250 40 75 = 11 3100 63 68 43 1250 40 51 i=1 i 1 12 3550 64 64 44 3800 66 61 63 14 3300 70 95 46 3750 59 76 ∑ x i y i   275 480 13 3500 71 72 45 4450 68 67 = 15 4350 66 80 47 3150 65 68 i=1 16 1750 62 70 48 3050 58 90 17 2400 40 76 49 3450 55 70 275480 1  (3 644)(4 9 18 2750 46 72 50 3300 53 62 19 3600 47 80 51 3150 51 66 r = − 63 72) 2 2 2 1 2 3 2 3 3 7 2 4 0 0 0 0 0 0 4 4 5 7 5 0 7 6 6 8 9 7 5 5 5 3 4 5 3 3 3 6 5 1 5 0 5 0 0 0 4 6 7 8 2 0 6 7 1 2 2 04 [217502 − 6 1 3 (3 644) 2 ][363527 − 6 1 3 (4 729) 2 ] 24 3550 62 82 56 3100 63 90 25 4200 92 76 57 3300 60 75     0,26 = 26 3450 55 67 58 2900 65 82 27 4200 70 64 59 3050 54 69 28 4100 73 65 60 3300 62 69 29 4300 55 73 61 3400 70 60 30 2850 40 63 62 3200 50 69 31 3300 60 77 63 3100 64 62 32 3500 50 80

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010

N ° 1 2 3 4 . . . 60 61 62 63 Total

X 83 50 70 64 . . . 62 70 50 64 3644 Σ x

Y XY X*X Y*Y 100 8300 6889 10000 100 5000 2500 10000 120 8400 4900 14400 85 5440 4096 7225 . . . . . . . . . . . . 69 4278 3844 4761 60 69 3450 2500 4761 62 3968 4096 3844 4729 275480 217502 363527 Σ y Σ xy Σ x² Σ y²

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Test   de   ρ Hypothèse   nulle   H O :    ρ =   0    Hypothèse   alternative   H 1 : ρ ≠ 0 N.B.   :   ρ =   0   <=   β =   0 > si   H O est   vraie,   on   montre   que   :

‐ >  le  test  consiste  à  calculer  t O et  à  le  comparer  à  la  valeur  seuil  de  la  loi  de   Student à   (n2)   ddl Rejet   de   H O si   |t O | ≥ t n ‐ 2 ;α /2 on t ons   app cat on   : ‐ régression   entre   X   et   Y   linéaire ‐ une   des   deux   distributions   conditionnelles   est   normale   et   de   variance   constante   (c'est ‐ à ‐ dire   distribution   de   Y   à   X   fixé,   ou   de   X   à   Y   fixé)

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010

Remarques  :    Les   conditions   dapplication   sont   symétriques   en   X   et   Y    Si   la   régression   entre   X   et   Y   nest   pas   linéaire   :   perte   de   puissance    E n r e m p l a ç a n t r p a r Y b , o n o b t i e n t : s X r n - 2 b t O  =  1 - r 2  =  v a r ( b )

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Exemple Corrélation   entre   poids   maternel   et   paternel   : r =   0,26   ;    n   =   63 = H O :    ρ   0    H 1 : ρ ≠ 0 t =  ,  = 2 , 1 0 O 2 1 - 0 , 2 6 t 6 1 ; 0 , 0 2 5   ≈  2 , 0 0

‐ >  rejet  de  H o ‐ >   Le   coefficient   de   corrélation   entre   le   poids   maternel   et   le   poids   paternel   est   différent   de   0 Conditions   dapplication   : ‐ la   régression   du   poids   maternel   sur   le   poids   paternel   est   linéaire ‐ la   distribution   du   poids   paternel   à   poids   maternel   constant   est   normale   et   de   variance   constante   (ou   l'inverse) Page   :   13

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Régression   et   corrélation   Régression  adaptée   au   cas   où   les   variables   X   et   Y   jouent   des   rôles   dissymétriques   :   on   veut   prédire   Y   en   fonction   de   X exemple   :   Poids   de   naissance   /   Poids   maternel    Corrélation a apt e au cas o es varia es X et Y joue es r es sym triques : on c erc e une relation dinterdépendance entre elles exemple   :   Poids   paternel   /   Poids   maternel    Cependant ‐ il   y   a   une   forte   parenté   entre   β et   ρ :     ‐ les   tests   des   hypothèses   β =   0   et   ρ =   0   sont   identiques ‐ > En pratique, les problèmes de régression et de corrélation peuvent être traités par les mêmes méthodes. La distinction entre régression et corrélation ne concerne que le contexte dans lequel le problème est posé. Page   :   14

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Coefficient   de   corrélation   et   force   de   lassociation   entre   X   et   Y (1) Si   la   régression   est   linéaire,   on   montre   que   : = s 2 − n- 1 2 s 2 Y Y 2 n - X     s Y 2 2 2 n - d 'o ù : s Y  = s Y (1 − r) 2 1 X n -

Lorsque  n  est  assez  grand,  on  a       n       −      1      ≈       n      −       2   ,    doù  :  s 2 Y   ≅  s 2 Y (1 − r 2 ) X Plus   |r|   (ou   r 2 )   est   grand   (proche   de   1),   plus   la   variance   de   Y   à   X   fixé      s    2   Y     X           est   petite. |r|   =   1                             s 2 Y  = 0 <=> X <=>   Y   est   connu   exactement   quand   on   connaît   la   valeur   de   X <=>   la   relation   entre   X   et   Y   est   parfaite Page   :   15

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Coefficient de corrélation et force de lassociation entre X et Y (2)  s 2 Y   ≅  s 2 Y (1 − r 2 ) p e u t a u s s i s 'é c r i r e s 2 Y   ≅  s 2 Y +  r 2 s 2 Y X X

   +                           Proportion   de   la   variance   totale (1 ‐ r 2 )                                            r 2 ‐ >   r 2 =   proportion   de   la   variance   de   Y   qui   est   expliquée   par   X

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Exemple  Coefficient de corrélation entre le Poids de naissance et le Poids maternel : r 1 = 0 41 ‐ > part de variance du Poids de naissance expliquée par le Poids maternel = 0,41 2 = 0,17 (soit 17%)  Coefficient de corrélation entre le Poids de naissance et le Poids paternel : r   =   0,11 ‐ > part de variance expliquée par le Poids paternel = 0,11 2 soit 1% peu e que : Lassociation est plus forte entre le poids de naissance et le poids maternel quentre le poids de naissance et le poids paternel.

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010 Régression   linéaire Rappels    Droite   de   régression   :   Y=   α +   β x Y   =   moyenne   e   Y    X   x    Estimation   des   coefficients   α et   β Observations   sur   un   échantillon   de   n   sujets   :   (x i ,   y i )   i   =   1,n

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  9               Mardi  30  Novembre  2010  Test   H 0 : β =   0   pas   d'association   (linéaire)   entre   X   et   Y                    H 1 :   β ≠ 0 s 2 Y 2 − 2 t O  =  b s 2  s u i t u n e l o i d e S t u d e n t à ( n - 2 ) d d l , a v e c s 2 b  =  s X n − 2 b Rejet   de   H o si   |t o | ≥ t n ‐ 2; α /2 Conditions   dapplication ‐ La   régression   entre   X   et   Y   est   linéaire ‐ À   X   fixé,   la   distribution   de   Y   est   normale   et   de   variance   constante Si   la   régression   s'écarte   de   la   linéarité   :   perte   de   puissance    Interprétation   des   résultats   du   test   : ‐ Significatif   :   il   y   a   une   association   entre   X   et   Y   (mais   elle   n'est   peut ‐ être   pas   linéaire) ‐ Non   significatif   :   il   n'y   pas   d'association   linéaire   entre   X   et   Y,   mais   peut ‐ être   une   association   non   linéaire Page   :   20

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