Continuité des fonctions vectorielles E , F et G désignent des espaces vectoriels munis de normes notées . , . et . ou indifféremment E F G. . Les concepts qui suivent sont inchangés par passage à une norme équivalente. I. Généralités A désigne une partie de E . 1°) Définition Déf : On appelle fonction vectorielle définie sur A et à valeurs dans F toute application f :A→F . On note F (A,F ) l’ensemble de ces fonctions. Déf : Pour f ,g :A→F et λ∈K , on définit les fonctions λ.f :A→F et f+g :A→F par : ∀x∈A , (λ.f )(x)=λ.f (x) et (f+g)(x)=f (x )+g(x) . Pour α :A→K et f :A→F , on définit la fonction α.f :A→F par : ∀x∈A , (α.f )(x)=α(x).f (x ) . SiF est une algèbre, on définit la fonction fg :A→K par : ∀x∈A , (fg)(x)=f (x)g(x) . Prop : F (A,F ) est un K -espace vectoriel et une K -algèbre si F en est une. 2°) Applications bornées +Déf : Une application f :A→F est dite bornée ssi ∃M∈ℝ ,∀x∈A, f (x) ≤M . On note B(A,F ) l’ensemble des fonctions bornées de A vers F . Prop : B(A,F ) est un sous-espace vectoriel de F (A,F ) (éventuellement une sous-algèbre). 3°) Applications lipschitziennes 3°) Applications lipschitziennes +Déf : Une application f :A⊂E→F est dite lipschitzienne ssi ∃k∈ℝ ,∀x,y∈A, f (x)−f (y) ≤k x−y . F EProp : Soit f ,g :A⊂E→F et λ∈K . Si f et g sont lipschitziennes alors f+g et λf aussi. Prop : Soit f :A⊂E→F et g :B⊂F→G telles que f (A)⊂B . Si f et g sont lipschitziennes alors gf aussi. Théorème : Soit f ∈L(E,F ) . On a ...
,etdésignent .des espaces vectoriels munis de normes notées, .et .ou indifféremment . . Les concepts qui suivent sont inchangés par passage à une norme équivalente.
I.Généralitésdésigne une partie de. 1°)DéfinitionDéf : On appelle fonction vectorielle définie suret à valeurs danstoute application:→. On noteF(, de ces fonctions.) l’ensemble Déf : Pour,:→etλ∈, on définit les fonctionsλ.:→et+:→par : ∀∈, (λ.)()=λ.() et (+)()=()+() . Pourα:→et:→, on définit la fonctionα.:→par : ∀∈, (α.)()=α().() . Siest une algèbre, on définit la fonction:→par : ∀∈, ()()=()() . Prop :F(, un) est-espace vectoriel et une-algèbre sien est une. 2°)Applicationsbornées Déf : Une application:→est dite bornée ssi∃∈ℝ+,∀∈,()≤. On noteB(,) l’ensemble des fonctions bornées devers. Prop :B(,) est un sous-espace vectoriel deF(,) (éventuellement une sous-algèbre). 3°)ApplicationslipschitziennesDéf : Une application:⊂→est dite lipschitzienne ssi∃∈ℝ+,∀,∈,()−()≤ −.
Prop :Soit,:⊂→etλ∈. Sietsont lipschitziennes alors+etλaussi. Prop :Soit:⊂→et:⊂→telles que()⊂. Sietsont lipschitziennes alorsaussi. Théorème : Soit∈L(,) . On a équivalence entre : (i)est lipschitzienne, (ii)∃∈ℝ+,∀∈,()≤ . 4°)Casparticuliera)applicationàvaleurs dansun espace vectorielnorméproduitSoit1,…, .des espaces vectoriels normés respectivement par1,…, .et=1×…× l’espace vectoriel normé produit. Pour=(1,…,)∈,=max. 1≤≤ Considérons les projections canoniques:=1×⋯×→. Prop :Les applicationssont lipschitziennes. Considérons:⊂→.∀∈,()= (1(),…,( qui d) ce éfinit=:→. Déf : Les applications1,…,sont appelées applications coordonnées de. Prop :est bornée ssi ses applications coordonnées le sont. - 1 / 8 -
Prop :est lipschitzienne ssi ses applications coordonnées le sont. b)applicationsà valeursdans unespacevectorielnormédedimensionfinieSoitun-espace vectoriel de dimension finie etB=(1,…, base de) uneet .∞,Bla norme∞relative àB. Pour=11+⋯+,,B=1ma≤x. ∞≤ Considérons1∗,…,∗les applications composantes dans la baseB. Prop :Les applications∗sont lipschitziennes. Considérons:→.∀∈,()=1()1+⋯+() ce qui définit=∗:→. Déf : Les applications1,…,sont appelées fonctions composantes derelatives à la base (1,…,) . Prop :est bornée ssi ses applications composantes le sont. Prop :est lipschitzienne ssi ses applications composantes le sont. II.Limites d’unefonctionàvaleursvectorielles
1°)Limites enunpoint
Déf : Soitune partie de,:→et∈. On dit quetend vers∈enssi ∀ε>0,∃α>0,∀∈,−≤α⇒()−≤ε. s On note alor→. Théorème :Soit:⊂→et∈. Si→et→′alors=′. Déf : On dit queconverge enssi il existe∈tel que→. Cet élémentest alors unique, on l’appelle limite deenet on note=limou=lim() . → Prop :Soit,:⊂→. Sietsont égales au voisinage dealors→⇔→. Prop :Soit:⊂→et′une partie detelle que∈′Si→alors↾′→. Déf : Soit:⊂→,⊂′et∈′. Sous réserve d’existence, on appelle limite deenselon′la limite de↾′en. On la note →lim∈′() . , Prop :Soit:⊂→,=∪′′′et∈∩′′′. ()→,∈′→et()→,∈′′→ ssi()→. → 2°)Justificationdelaconvergence a)caractérisation séquentielleThéorème :Soit:⊂→,un élément adhérent àet∈. On a équivalence entre : (i)→(ii)∀()∈ℕ,→⇒()→. Cor : Sitend versen∈alors∈() . Ce dernier résultat est une extension du théorème de passage à la limite des inégalités.
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b)convergence parcomparaison Théorème :Soit:→,:→ℝ,∈et∈. s→. Si()−≤() et→0 alor c)convergenceparopérationsThéorème :Soit,:⊂→et∈. Si→et→alors∀λ,∈,λ+→λ+. Si de plusest une algèbre normée alors→. Cor : L’ensemble des fonctions deversconvergeant enest un sous-espace vectoriel (ou sous-algèbre) deF(,) et֏limdéfinit une application linéaire (ou morphisme dey -algèbre) Prop :Soit:⊂→,α:⊂→et∈. Siα→λet→alorsα.→λ.. Théorème :Soit:⊂→et:⊂→telles que()⊂et∈Si→et→alors→. Cor : Si→alors→. Théorème :On suppose queest un espace vectoriel normé produit=1×⋯×. Soit:⊂→de fonctions coordonnées1,…,et∈. →=(1,…,)⇔ ∀1≤≤,→. (ii)1→λ1,…,→λ. Théorème :On suppose quede dimension finie munie d’une baseest un espace (ε1,…,ε) . Soit:⊂→de fonctions coordonnées1,…,et∈. On a équivalence entre : (i)→λ1ε1+⋯+λε(ii)1→λ1,…,→λ. d)convergence parle critèredeCauchy Déf : On dit que:⊂→ satisfait le critère de Cauchy en∈ssi ∀ε>0,∃α>0,∀,∈,−≤αet−≤α⇒()−()≤ε.
Prop :Siconverge enalorsvérifie le critère de Cauchy en. Théorème :Siest complet et sivérifie le critère de Cauchy enalorsconverge en. 3°)Extensionsdelanotiondelimite Déf : Soit:⊂ℝ→et∈. Sin’est pas majorée, on note+∞→ssi∀ε>0,∃∈ℝ,∀∈,≥⇒()−≤ε. Sin’est pas minorée, on note−∞→ssi∀ε>0,∃∈ℝ,∀∈,≤⇒()−≤ε. Déf : Soit:⊂→et∈Sin’est pas bornée, on note→+∞→ssi∀ε>0,∃∈ℝ,∀∈,≥⇒()−≤ε. Déf ::⊂→ℝetun élément adhérent à. On note→+∞ssi∀∈ℝ,∃δ>0,∀∈,−≤δ⇒()≥. On note→−∞ssi∀∈ℝ,∃δ>0,∀∈,−≤δ⇒()≤ −. Les résultats raisonnablement attendus sont vrais.
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4°)Outils decomparaisonSoit,:⊂→et∈. Déf : dit que Onest dominée parenssi
∃∈ℝ,∃α>0,∀∈,−≤α⇒()≤ ( On note alors) .=() . On dit queest négligeable devantenssi ∀ε>0,∃α>0,∀∈,−≤α⇒()≤ε() . On note alors=() . On dit queest équivalente àenssi−=( On note alors) .∼. III.Continuité
1°)DéfinitionProp :Si:⊂→CV en∈alors lim=() . Déf : application Une:⊂→est dite continue en∈ssi→() . Une application:⊂→est dite continue ssiest continue en chaque point∈. On noteC(, des fonctions continues de) l’ensemblevers. Théorème :Les fonctions lipschitziennes sont continues. Prop :Si:⊂→est continue alors toute restriction del’est aussi. Prop :Si:⊂→est continue et CV en∈\alors en posant()=lim, on prolongeen une fonction continue sur∪ {}.
2°)OpérationssurlesfonctionscontinuesEn vertu des résultats d’opérations sur les limites nous établissons les résultats suivants : Théorème :Soit,:⊂→etλ∈. Sietsont continues alorsλet+sont continues. De plus, siest une algèbre normée alorsest continue. Prop :Soitα:⊂→et:⊂→. Siαetsont continues alorsα.est continue. Théorème :Soit:⊂→et:⊂→telle que()⊂. Sietsont continues alorsest continue. Prop :On suppose queest un espace vectoriel normé produit=1×⋯×. :⊂→ est continue ssi ses fonctions coordonnées1,…,le sont. Prop :Supposons quesoit de dimension finie (et muni d’une base1,…,) . :⊂→est continue ssi ses fonctions coordonnées1,…,le sont. 3°)UniformecontinuitéDéf : application Une:⊂→est dite uniformément continue ssi ∀ε>0,∃α>0,∀,∈,−≤α⇒()−()≤ε. Prop :Toute fonction uniformément continue est continue. Prop :Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.
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IV.Continuitéettopologie1°)Imageréciproqued’unouvert,d’unferméThéorème :Soit:⊂→. On a équivalence entre : (i)est continue, (ii) l’image réciproque de tout ouvert deest un ouvert relatif de, (iii) l’image réciproque de tout fermé deest un fermé relatif de. Cor : Soit:→ℝcontinue etα∈ℝ. Les ensembles{∈/()=α},{∈/()≤α}et{∈/()≥α}sont fermés. Les ensembles{∈/()≠α},{∈/()<α}et{∈/()>α}sont ouverts. 2°)ContinuitéetdensitéThéorème :Soit,:⊂→continues. Sietcoïncident sur une partiedense dansalors . = 3°)Imagedirected’uncompact Théorème :Soit:⊂→. Siest une partie compacte deet siest continue alors() est une partie compacte de. Cor : Siest compacte alorsC(,)⊂B(,) . Cor : Siest une partie compacte non vide deet:⊂→ℝune fonction continue alorsadmet un minimum et est maximum. On dit queest bornée et atteint ses bornes. 4°)Uniformecontinuitéetcompacité Théorème :Siest une partie compacte dealors toute fonction continue deversest uniformément continue. Cor : fonction continue de Toute,versest uniformément continue.
5°)Connexitépararcs Déf : partie Unedeest dite connexe par arcs ssi∀,∈, il existe une applicationγ: 0,1→continue vérifiantγ(0)=,γ(1)=etγ( 0,1 )⊂. On dit queγest un chemin allant deàinclus dans. Prop :Les parties convexes sont connexes par arcs. Prop :Les parties connexes par arcs deℝsont ses intervalles. Prop :de deux connexes par arcs est connexe par arcs.Le produit cartésien Théorème :L’image directe d’un connexe par arcs par une application continue et connexe par arcs. Cor : TVI généralisé Siest une partie connexe par arcs deet:→ℝune application continue alors( un) est intervalle deℝ. En particulierprend toute valeur intermédiaire entre deux valeurs déjà prises.
V.Continuité etlinéarité
1°)Applicationlinéaire continue Théorème : Une application linéaire:→. On a équivalence entre : (i)est continue, (ii)est continue en 0,