Cours sur la mecanique des milieux continus : Calcul tensoriel

Fortunie

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• Langue: Français

Extrait

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
Le tenseur métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
Géométrie différentielle
CALCUL
Repère naturel
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs TENSORIEL
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espacee vveectoriel et espace dduuaal
Covariance et contravariance
Le tenseur métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
Géométrie différentielle
2
a
Repère naturel
u
a
2
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
a
1
Accélération d’un point
Gradient, divergence
1
a
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point
E : e.v. sur un corps K E* : formes linéaires de E vers K
i
u = x a u*(e) = u.e x = u*(a ) = u.a
i i i i
identification de E et de E*MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariiaannccee et contravarianccee
Le tenseur métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
Géométrie différentielle
Repère naturel
u
a
2
b
Symboles de Christoffel
2
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
a
1
Accélération d’un point
b
1
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point
E : e.v. sur un corps K
x = u . a et y = u . b
i i
i i i i
u = x a = y b
i i
Composantes « contravariantes » Composantes « covariantes »MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
Le tensseeuurr métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
y
Géométrie différentielle
Repère naturel
x
a
2
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
a
1
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
i i i j ij
Tenseur métrique
x.y = x y = x y = g x y = g x y
i i ij i j
Accélération d’un point
g = a .a
ij i j
i i i j ij
x . y = x y = x y = g x y = g x y
i i ij i j
ij -1
g = g
ij
g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnéesMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
produit tensoriel = produit des composantes
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
Le tenseur métrique
exemple :
Algèbre tensorielle
-1 4
3
Les tennsseeuurs euclidiens
1
3
Composantes mathématiques d ’un tenseur
6 -2 8
Composantes physiques d ’un tenseur
u 2 ˜ v =
-1
Opérations sur les tenseurs
3 4 9 -3 12
Géométrie différentielle
Repère naturel
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
Tenseur d ’ordre N = élément de E˜E˜E … ˜E
Accélération d’un point
Gradient, divergence
N fois
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
i i
Si u ˛ E, alors u = u a = u a
i i
Le tenseur métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
ij i j i j j i
Compoossaanntes mathématiquueess dd ’un tenseur
Si T ˛ E˜E, alors T = T a ˜ a = T a ˜ a = T a ˜ a = T a ˜ a
i j ij j i i j
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
Géométrie différentielle
Repère naturel
Symboles de Christoffel
Composantes Composantes Composantes
Différentielle absolue, dérivée covariante
contravariantes covariantes mixtes
Expression de quelques opérateurs
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
Composantes « physiques » d ’un tenseur
Le tenseur métrique
=
Algèbre tensorielle
projection sur les axes de coordonnées
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Compoossaanntes physiques d ’’uunn tenseur
a
i
Opérations sur les tenseurs
Si u ˛ E, alors u = u .
I
Géométrie différentielle
|| a ||
i
Repère naturel
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
a ˜ a
i j
Expression de quelques opérateurs
Si T ˛ E˜E, alors T = T:
IJ
Accélération d’un point
|| a ˜ a ||
i j
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur E˜E)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
Le tenseur métrique
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type)
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérattiioonnss sur les tenseurss
Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type
Géométrie différentielle
Repère naturel
Z = X˜Y : ordre 4 (produit des composantes)
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté)
Expression de quelques opérateurs
Accélération d’un point
Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté)
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Repère naturel Lignes de coordonnées
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
2
Le tenseur métrique
(x )
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
a
2
Composantes physiques d ’un tenseur
a
1
M
Opérations sur les tenseurs
1
(x )
Géométrie différentielle
Repèree nnaaturel
Symboles de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
Accélération d’un point
O
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point
Tenseur
¶OM
métrique
En chaque point M de l ’espace :
a =
i
i
¶x
local (g )
ijMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Notions de base (cas euclidien)
Espace vectoriel et espace dual
Covariance et contravariance
2
Le tenseur métrique
(x )
Algèbre tensorielle
Les tenseurs euclidiens
Composantes mathématiques d ’un tenseur
a
2
Composantes physiques d ’un tenseur
a
1
M
Opérations sur les tenseurs
1
(x )
Géométrie différentielle
Repère naturel
Symbolleess de Christoffel
Différentielle absolue, dérivée covariante
Expression de quelques opérateurs
Accélération d’un point
O
Gradient, divergence
Exemple 1 : coordonnées polaires
Tenseur métrique
Accélération d’un point
¶a
i
j
= G