Cours sur les primitives

Christophe Lacave

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Chapitre 7Calcul de primitive4950 CHAPITRE 7. CALCUL DE PRIMITIVE7.1 Th´eorie7.1.1 Primitives et int´egralesD´efinition : Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. On dit que F￿est une primitive de f sur I si F est d´erivable sur I et F =f.Exemples : La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur]0;+∞[, la fonction exp est une primitive d’elle-mˆeme sur R,lafonction34 2sin est une primitive de la fonction cos, la fonction f : x￿→ x +5x +18143est une primitive de la fonction f : x￿→ 3x +10x sur R,mais´egalement2f −12 ou encore f +5421(puisquelesconstantesdisparaissenta`lad´eriva-1 1tion).On voit sur le dernier exemple qu’une fonction f qui admet une primitiveF en admet en fait une infinit´e puisque F +k sera encore une primitive de fquel que soit k∈R (ou mˆeme k∈C si on consid`ere des fonctions a` valeurscomplexes). Cependant, ce sont les seules :Propri´et´e : Soit f une fonction qui admet une primitive F sur un inter-valle I. Alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F +k avec kconstante. De plus, si a∈I, alors f admet une unique primitive qui s’annuleen I.Remarque: ¸C la primitived’unefonctionf puisqu’elle en a une infinit´e, mais c¸a en a un de parler de la primitive de fqui s’annule en a.Consid´erons maintenant une fonction f qui admet une primitive F sur2un intervalle I et (a,b) ∈ I.SiG est une autre primitive de f sur Ialors il existe une constante k telle que G = F + k.DoncG(b)− ...

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Extrait

Chapitre 7

Calculdeprimitive

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50

7.1

7.1.1

The´orie

CHAPITRE 7.

Primitivesetinte´grales

CALCUL DE PRIMITIVE

De´finition:Soitfnufe´efiniesuonctiondllaveinurretnI. On dit queF ￿ est une primitive defsurIsiFrlesuivabd´erestIetF=f.

Exemples :La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0; +∞rusemd’vetimiˆe-mleelitnoxeeptsnupeir[,lafoncR, la fonction 3 4 2 sin est une primitive de la fonction cos, la fonctionf 1 :x￿→x+ 5x+ 18 4 3 est une primitive de la fonctionf 2 :x￿→3x+ 10xsurR´siam,tenemaleg f 1 −12 ou encoref 1 stpaanrtecsodniseenlte`saiissqsue(´1iurpl5a+d2a4av- tion).

On voit sur le dernier exemple qu’une fonctionfqui admet une primitive Fmeadnftetuaiinnetinfiupe´uqsieneF+ksera encore une primitive def quel que soitk∈Remeˆmuo(k∈Cre`eidnscoonsioisna`avedfsnotcleurs complexes). Cependant, ce sont les seules :

Propri´ete´:Soitfune fonction qui admet une primitiveFsur un inter- valleI. Alors les primitives defsont les fonctions de la formeF+kaveck constante. De plus, sia∈I, alorsfadmet une unique primitive qui s’annule enI.

Remarque :¸deerdensrlpasapcesed’naCnodalaprimitive d’une fonction fsfiqnui’te´el,lmeenaunpeuiinuadnperaia¸sacnemirivetirdleapeledf qui s’annule ena.

Consid´eronsmaintenantunefonctionfqui admet une primitiveFsur 2 un intervalleIet (a, b)∈I. SiGest une autre primitive defsurI alors il existe une constantektelle queG=F+k. DoncG(b)−G(a) = (F(b) +k)−(F(a) +k) =F(b)−F(a). Donc l’accroissement de la primitive entreaetbnemeuqinusiam,eer´´eidnscovetimidslepaire´epdnapnedatdel fonctionfet des nombresaetb. On lui donne un nom :

2 D´efinition:Sifadmet une primitiveFsur un intervalleIet si(a, b)∈I, ￿ b alorsonappelleinte´graledefentreaetb´ee,notf(x)dxle nombre a F(b)−F(a).

7.1.

´ THEORIE

51

Remarques : b – Sigest une fonction quelconque, on note [g(xlee´rle)]g(b)−g(a). On a ￿ b b a doncf(x)dx= [F(x)] . a a ￿ ￿ b a – On af(x)dx=−f(x)dx. a b – On sait que lorsque l’on a une somme, le nom de l’indice de sommation n n n    nechangerienaur´esultatdelasomme:a k =a j =a p . De k=0 j=0 p=0 meˆmepourl’int´egrale,lenomdelavariableintervenantdansl’intr´egale ￿ ￿ ￿ b b b n’intervientpasdanslere´sultat:f(x)dx=f(t)dt=f(u)du. a a a Attentioncependant`anepaschoisircommenomdevariableunedes ￿ b bornesdel’inte´grale(i.e´eviterf(b)db). a Exemples : ￿ 10   10     1 5 1 5 1 5 3 4 2 4 2 4 2 –(t+ 5t)dt=t+t= 10 + 10−6 + 6 = 6 4 2 4 24 2 6 2750−414 = 2336. ￿ 32 dt 32 –= [ln(tln(32))] = −ln(2)ln(1) = ln(32) = 5 . 1 t 1 ￿ ￿ π/4π/4 sin(x) π/4 1 –tan(x)dx=dx= [−ln(cos(xln(2)))] = . 0 0 0 cos(x) 2 ￿ π/2 π/2 π –(sin(x) +xcos(x))dx= [xsin(x)] =. 0 2 0

7.1.2

Propri´et´esdel’inte´grale

Onvavoirquelquesproprie´te´scalculatoiresdel’inte´grale.

Soitfune fonction qui admet une primitiveFsur un intervalleIet 3 (a, b, c)∈I. AlorsF(c)−F(a) =F(b)−F(a) +F(c)−F(b). Autrement dit,onalaproprie´t´esuivante: ￿ ￿ ￿ c b c Propri´et´e(relationdeChasles):On af(x)dx=f(x)dx+f(x)dx a a b (sousre´served’existencedestroisint´egrales).

Demˆeme,nousmontrons:

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CHAPITRE 7.

CALCUL DE PRIMITIVE

Propri´ete´:ltseelarge´tni’L:airein´e ￿ ￿ ￿ b b b (λf(x) +µg(x))dx=λf(x)dx+µ g(x)dx a a a

Proprie´te´:Sif￿0(resp.f0) sur un segment[a, b](et admet une ￿ ￿ b b primitive), alorsf(x)dx￿0(resp.f(x)dx0). De plus, sia < b a a etquel’ine´galit´eeststrictesurfage´ni’lsrola,egt´inl’urest´liraleeststricte ´egalement.

Exemple :Sans calculer de primitive (en admettant qu’il y en ait), on sait ￿ 1 arcsin(x) que>e dx 0. 0 Remarque :Les nombresaetbne sont pas quelconques : on doit avoir absint´egrsignesdeninol,ses,s.e´srevnitnossela

Corollaire :ntre´esealitn´egelisrgretne´ueitnpOaetbsiab. ￿ ￿ b b Proprie´t´e(ine´galite´triangulaire):On af(x)dx|f(x)|dx   a a (sousre´served’existencedecesinte´grales).

Exemple :Pour toutn∈N, on a : ￿ ￿ ￿ 1 1 1 1 3 2n3 2n n cos (x) sin (x)x dx|cos (x) sin (x)x|dxx dx=   n+ 1 0 0 0 ￿ 1 3 2n Onend´eduitquecos(x() sin x)x dx→0 quandn→ ∞et ce, sans faire 0 de calcul de primitives (en admettant que toutes ces fonctions en admettent).

7.1.3

Interpre´tationsgraphiques

Proposition.Soitfune fonction continue admettant une primitive sur [a, b], alors il existec∈[a, b]tel que ￿ b 1 f(c) =f(t)dt. b−a a

´ 7.2. CALCULS D’INTEGRALES

53

Propri´ete´:Soitfune fonction continue surI. Alorsfadmet une (et donc 2 des) primitive(s) surI. De plus si(a, x)∈I, la valeur enxde la primitive defqui s’annule enatnese´rpedevitalarenteerebeurcoa’riseltrpsicemo fet l’axe des abscisses sur l’intervalle[a, x](avec des conventions de signes).

Remarques : –L’existencedelaplupartdesinte´gralesestdoncquasi-automatique:`a partirdumomentou`unefonctionfest continue sur un intervalle [a, b], ￿ b on sait quef(x)dxexiste. a –Lespropri´et´estellesquelarelationdeChaslesoul’inte´grationdesin- e´galite´sdeviennent´evidentessionlesregardeentermesd’airesousla courbe.

The´or`emetr)zCaucmedechwahy-S´eTh`eor(.Soitfetgdeux fonctions continues sur[a, b], alors on a ￿  2 ￿ ￿ b b b 2 2 f(t)g(t)dt≤f(t)dt g(t)dt. a a a

Egalite´ssi∃λ∈Rtel quef(x) =λg(x)(oug≡0)∀x∈[a, b].

7.2

Calculsd’inte´grales

Onvavoircommentcalculerdesinte´gralesdanscertainscaslorsquel’on nedisposepasdirectementd’uneprimitivedelafonction`aint´egrer.

7.2.1

Inte´grationparpartiesetchangementdevariable

Al’aidedespropri´ete´sdelade´rivation(notammentleproduitetlacom- position),onpeutd´eduiredesm´ethodesdecalculsd’int´egrales:

1 Soientuetvdeux fonctions de classeCsur un intervalle [a, b]. On a alors ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ (uv) =u v+uvdoncu v= (uv)−uv. Comme toutes les fonctions sont continues sur [a, btne´eliseptu,]no:grer ￿ ￿ ￿ b b b ￿ ￿ ￿ u(x)v(x)dx= (uv) (x)dx−u(x)v(x)dx a a a