Etude des valeurs records et leurs applicationsABDELLAHI ElhacenLaboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (LMAH)Université du HavreLe Havre, le 7 Juillet 2010E.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 1/24Plan de l’exposé1 Introduction2 Staistiques d’ordre3 Distributions asymptotiques du maximum4 Domaines d’attraction des valeurs extrêmes5 Temps records et valeurs records6 Distributions asymptotiques de valeurs records7 Exemple d’applicationE.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 2/24IntroductionIntroductionLe mot ”record” ne signifie pas seulement la performance inégaléedans certains domaines, mais aussi un rapport, compte, chronique,notes, ou des reliques du passé.L’accent est mis à la fois sur le sens proprement statistique desnotions introduites et sur la rigueur mathématique nécessaire à leurdéveloppement.E.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 3/24Staistiquesd’ordreStaistiques d’ordreConsidérons n variables aléatoires X ;:::;X ;, définies sur le même1 nespace de probabilité ( ;F;P) de fonction de répartition F .Ayant rangé ces variables dans l’ordre croissant, nous obtenonsX = minfX ;:::;Xg: , X qui est définie de telle sorte que X (w),1;n 1 n 2;n 2;npour chaque événement élémentairew, soit égale à la deuxième pluspetite valeur parmi X (w);:::;X (w); ainsi de suite jusqu’à1 nX = maxfX ;:::;Xg.n;n 1 nE ...
L’accent est mis à la fois sur le sens proprement statistique des notions introduites et sur la rigueur mathématique nécessaire à leur développement.
Le mot ”record” ne signifie pas seulement la performance inégalée dans certains domaines, mais aussi un rapport, compte, chronique, notes, ou des reliques du passé.
1, . . . ,Xn,, définies sur le même espace de probabilité(Ω,F,P)de fonction de répartitionF. Ayant rangé ces variables dans l’ordre croissant, nous obtenons X1,n=min{X1, . . . ,Xn}.,X2,nqui est définie de telle sorte queX2,n(ω), pour chaque événement élémentaireω, soit égale à la deuxième plus petite valeur parmiX1(ω), . . . ,Xn(ω),ainsi de suite jusqu’à Xn,n=max{X1, . . . ,Xn}.
La fonction de répartitionFn,ndeXn,nest de la forme : Fn,n(x) = (F(x))n . etF1,n.deX1,nest : F1,n(x) =1−(1−F(x))n. La fonction de répartitionFk,nd’une statistique d’ordreXk,narbitraire est : n Fk,n(x) =∑ m=k
Nous discutons la question de savoir quelles lois asymptotiques peuvent être obtenues si on considère le maximums Mn=max{X1, . . . ,Xn},n=1,2, . . .au lieu des sommes Sn=X1+..+Xn.
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x< x>0 x< x>0
Théorème L’ensemble des distributions non dégénérée pour des maximums convenablement centrés et réduits consiste seulement en distributions qui appartiennent aux types Λ(x) =exp(−exp(−x)) Φα(x) =0, exp(−x−α), Ψα(x) =1xep,(−(−x)−α),
Lemme On considère une suite des distributions Fnqui converge faiblement vers une loi non dégénérée G,(Fn(x)→G(x),n→∞)à tout point de continuité de G. Pour que la suiten(x) =Fn(anx+bn) converge, pour certaines constantes an>0, et bn, à une loi non dégénérée H, il est nécessaire et suffisant que an→a,bn→b, quand n→∞, tel que a>0, et b, sont constantes, et H(x) =G(ax+b).
alors F∈D(Φα) On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : an=G(1−n1)n=1,2. . . ,et bn=0 Où G est la fonction inverse de F
alors F∈D(Ψα). On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : an=x0−G(1−1n)n=1,2. . . ,et bn=x0 Où G est la fonction inverse de F .
Théorème FO0 àn suppose que F une dérivée positive F0(x)pour x∈[x1,x0]et (x) =0pour x>x0,
Si pourα>0,xli→m∞(x01−−Fx()xF0)(x)=α,
el2t1090
Alors F∈D(Λ). On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : an=f(bn),bn=G(1−n1)n=1,2, . . . , Où1−F(t) f=F0(t).
Théorème On suppose que F à une dérivée deuxième négative F(2)(x) Pour x∈[x1,x0]et F0(x) =0pour x≥x0.Si
Définition On définit la suite de temps records L(n)par la relation de récurrence suivante : L(1) =1 L(n+1) =min{j>L(n) :Xj>XL(n)},n=2,3, . . . , La suite des valeurs records est donnée par : X(n) =XL(n)=XL(n),L(n)=ML(n)n=1,2, . . .