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Observatoire de Paris, Universités Paris VI, Paris VII et Paris XIMaster Astronomie et AstrophysiqueAnnée M2 - Parcours Recherche2010 - 2011UE FC5Relativité généraleÉric GourgoulhonLaboratoire Univers et Théories (LUTH)CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7)eric.gourgoulhon@obspm.frhttp://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relat.html2Table des matières1 Introduction 91.1 Motivations et objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Articulation avec les autres cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Page web du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Cadre géométrique 132.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 L’espace-temps relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Les quatre dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Notion de variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Composantes g du tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 25αβ2.3.3 Bases orthonormales . . . . . . . ...

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Publié le 06 septembre 2011
Nombre de lectures 354
Langue Français
Poids de l'ouvrage 3 Mo

Extrait

Observatoire de Paris, Universités Paris VI, Paris VII et Paris XI
Master Astronomie et Astrophysique
Année M2 - Parcours Recherche
2010 - 2011
UE FC5
Relativité générale
Éric Gourgoulhon
Laboratoire Univers et Théories (LUTH)
CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7)
eric.gourgoulhon@obspm.fr
http://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relat.html2Table des matières
1 Introduction 9
1.1 Motivations et objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Articulation avec les autres cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Page web du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Cadre géométrique 13
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 L’espace-temps relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Les quatre dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Notion de variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Composantes g du tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 25αβ
2.3.3 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 Genre des 4-vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.5 Représentation graphique des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.6 Cône isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.7 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.8 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Lignes d’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Mouvement d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Temps propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Quadrivitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.5 Quadri-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Observateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Simultanéité et mesure du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2 Espace local de repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.3 Facteur de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.4 Mesures d’énergie et de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . 43
2.6 Principe d’équivalence et géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Principe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 TABLE DES MATIÈRES
2.6.2 Équation des géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3 Géodésiques de longueur nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Champgravitationnelàsymétriesphérique(métriquedeSchwarzschild) 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Paramètre de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4 Théorème de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes . . . . . . . . . 56
3.3 Géodésiques lumière radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Coordonnées d’Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques . . . . . . 60
3.4.2 Effet Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.3 Effet comme dilatation des temps . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle . . . . . . . . . 67
3.5 Orbites des corps matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.3 Orbites circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.4 Dernière orbite circulaire stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.5 Autres orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.6 Avance du périastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.2 Allure des trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.3 Déviation des rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.4 Mirages gravitationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Équation d’Einstein 89
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Dérivation covariante (connexion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.2 Dérivation covariante d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.3 Extension à tous les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Connexion compatible avec la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.5 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure . . . . . . . . . . . 102
4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106TABLE DES MATIÈRES 5
4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.2 Limite newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.1 Écriture de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.2 Solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.4 Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Trous noirs 119
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild . . . . . . . . . 120
5.2.2 Singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.2 Genre lumière de l’horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Effondrement gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 Trous noirs en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.1 Solution de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.2 Théorème d’unicité (absence de chevelure) . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.4 Ergosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.2 Effet Lense-Thirring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.3 Or

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