Sur la répartition des valeurs de la fonction d‘Euler

Michel Balazard And GÉRald Tenenbaum

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• Langue: Catalan

Extrait

;
x
R
)
n
=
Ax
=
6
(
'
)
x
)
)
x
x
(
)
=n
(
=n
X
=n
(
n=
)
(

x
(
Compositio Mathematica 110: 239–250, 1998. 239
c 1998 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
Sur la repartition´ des valeurs de la fonction d’Euler
1 2´MICHEL BALAZARD et GERALD TENENBAUM
1 ´ ´CNRS UMR 9936, Algorithmique arithmetique, Universite Bordeaux 1,
´351, cours de la Liberation, 33405 Talence, France
2 ´Institut Elie Cartan, Universite´ de Nancy 1, BP 239, 54506 Vandœuvre Cedex, France
Received: 7 August 1996; Accepted in final form: 29 January 1997
Abstract. Let denote the number of those integers with
'
(
n
)
6
x ,where
' denotes the Euler
function. Improving on a well-known estimate of Bateman (1972), we show that ,
where 2 3 6 and is essentially of the size of the best available estimate for the
remainder term in the prime number theorem.
Mathematics Subject Classifications (1991). 11N25, 11N37, 11L07.
Key words: Euler function, exponential sums, Vinogradov method, prime number theorem, shifted
primes, Vaughan’s identity.
1. Introduction
Il est bien connu que la fonction d’Euler
'
(
n
) , egal´ e au nombre des resi´ dus
inversibles modulo
n est usuellement de taille comparable a` .Ona

?
f e
+
o
( 1
)
g log
!1
)
;2
`´ou
designe la constante d’Euler, et les valeurs de
n pour lesquelles
'
(
n
)
´ `est petit sont rares. On peut exprimer rigoureusement ce phenomene, sous forme ` ´prbabiliste, en enonc ¸ant que la fonction
'
(
n
) possede une loi de repartition
limite: c’est le theor em` e de Schoenberg (1928) [10]. Cependant, il est naturel d’at-
tendre que le rapport
'
(
n
) se comporte de manier` e plus regul´ ier` e en moyenne,
atrementit que la fonction
: 1
soit asymptotiquement tres` proche d’une fonction lineai´ re de
x . Ce problem` e,
aborde´ depuis plus de cinquante ans, possede` une histoire feconde´ sur le plan de la
met´ hodologie, ou,` comme pour le theor´ em` e des nombres premiers, les met´ hodes
el´ em´ entaires et analytiques ont entretenu une passionnante em´ ulation reci´ proque.
? Ici et dans la suite nous desi´ gnons par log la
k -ieme` iter´ ee´ de la fonction logarithme.
**INTERPRINT**/Preproof: A M/c ??: PIPS Nr.: 133896 MATHKAP
comp4113.tex; 5/12/1997; 11:41; v.7; p.1
k
n
(
n
6
)
n
(
'
6
n
n
)
x
(
R
)
(

)
(

=
A
n(
Ax:
)
)
x
x

(
>
(
Ax
x
(
)
x
;
es
)
jg
>
(
es

(
x
x
)
´240 MICHEL BALAZARD AND GERALD TENENBAUM
Erdos¨ et Turan´ ont montre´ en 1945 (cf. [5]), comme un corollaire simple du
theor´ em` e de Schoenberg, que
!1
)
;
pour une constante convenable
A .Unargumentab e´ lien applique´ al` as er´ie de
Dirichlet
1
: : 1 (1)
1
avec
1 1
: 1
>0
)
;
1
fournit alors la valeur

(2
)

(3
)
A
=
G
( 1
)=
:

(6
)
En 1972, Bateman [3] a entrepris l’et´ ude du terme resi´ duel
:
=
(
x
)
´ ` ˆ ´ ´Il a d’abord montre que le probleme peut etre plongedanslath eorie des nombres
´ ´ ´ ´ ` `premiers generalises de Beurling: l’etude de se ramene naturellement a celle
´ ´ ´ ´du nombre des entiers generalises n’excedant pas
x lorsqu’on choisit pour nombres
premiers de Beurling les nombres premiers translates´
p 1. Il s’agit de la version
abel´ ienne du problem` e originel de Beurling, qui envisageait plutotˆ de decr´ ire la
re´partition des nombres premiers a` partir de celle des entiers. Un theor´ em` e gen´ er´ al
de Diamond fournit alors, graceˆ a` la majoration de Vinogradov–Korobov pour le
terme d’erreur du theor´ em` e des nombres premiers,
log
e (2)
3pour toute constante
c<.
8
Cela e´tant, la forme particulier` e des nombres premiers gen´ er´ alises´ intervenant
icipermetuneet´ude directe par voie analytique. La relation (1) fournit un pro-
longement analytique de
F
(
s
) au demi-plan
R 0 dont la seule singularitee´ st
un polˆ e simple, de resi´ du
A ,en
s
= 1. Bateman e´tablit facilement la majoration
1

exp 50
j

j log (3)2
comp4113.tex; 5/12/1997; 11:41; v.7; p.2

j
f

)
s
(
G
;
)
x
c
p
p
)
p
(
s
s
(
+
=
)
s
(
G
Y


=
n
)
n
(
'
s
R
=

(
)
s
(
G
)
s
(

=
=
)
s
(
F
X
1x
ab
)

x
(
L
(
x
x=


(
)
x=
x
:
(
(
T
)
x=
x

c
)
)
x
(
i
)

a
p
(
´SUR LA REPARTITION DES VALEURS DE LA FONCTION D’EULER 241
1
?pour
j

j
> 8
;
6

6 1. Il en de´duit, a` l’aide de la formule de Perron, l’estimation
3
plus fine
log log2e (4)
p
pour tout
c<1
= 2.
Malgre´ la simplicite´ de la preuve de Bateman, il a semble´ difficile d’ame´liorer
(4) pendant plus de deux decenni´ es, et la recherche s’est orientee´ vers d’autres
techniques. Ainsi Nicolas en 1984 [8], puis Smati en 1989 [11] ont explorel´ es
possibilites´ offertes par une met´ hode el´ em´ entaire de ponde´ration logarithmique,
2obtenant successivement les estimations log et log .
Balazard et Smati ont montre´ en 1990 [2] que l’on pouvait retrouver exactement la
majoration (4) par une autre met´ hode el´ em´ entaire, reposant sur la de´composition
canonique
n
= ou` les facteurs premiers de
a sont tous
6
y alors que ceux de
b
sont
>y.
Enfin, Balazard [1] a recem´ ment et´ abli que l’estimation (4) est valable pour toute
p
constante
c< 2. La met´ hode employee´ est egal´ ement el´ em´ entaire et fondee´ sur
une application du theor´ em` e de Diamond dans le problem` e abe´lien de Beurling.
Il est cependant a` noter que cette application est de nature differ´ ente de celle
de Bateman et, en particulier, qu’elle est independant´ e du theor´ em` e des nombres
premiers
Posons
3 5log
L
(
z
) :
= exp 3
1 5log2
Nous nous proposons ici d’e´tablir le resul´ tat suivant.
´ `THEOREME 1. Il existe une constante positive telle que
Notre approche est analytique et repose fondamentalement sur une ame´lioration
de la majoration (3) de Bateman. Posant
2 3 1 3

(
T
)=
( log log 32
nous obtenons dans cette direction l’estimation suivante.
´ `THEOREME 2. Il existe une constante
>0telle que l’on ait
4 3 2 3log log2
pour

> 1
;T
=
j

j
+ 3.
? Ici et dans la suite la lettre
s desi´ gne une variable complexe et nous de´finissons implicitement
les variables re´elles
et par la relation .
comp4113.tex; 5/12/1997; 11:41; v.7; p.3
+

=
s

)
T
(
)
T
(

)
s
(
G
=
=
;
)
>
T
(
)
T
(
)
T
=
=
a
)
z
(
=
:
)
>
z
(
)
z
(
o
=
n
)
x
x
x
xi
;
(
i
;
)
i
x
;
(
N
)
i
u
i
(
i
=
k
u
j;
)
u
´242 MICHEL BALAZARD AND GERALD TENENBAUM
Remarque. On peut obtenir par la memˆ e met´ hode une majoration directement
comparable a` celle de Bateman: il existe des constantes et
D ,avec
D> 0 telles
1
que, pour tout

2
]
; 1
[ ,onait0 2
o
4 3 2 3 1

D
(
T
)
G
(
s
)

( log log exp
CT2
uniformem´ ent pour

6

6 1, avec
T
=
j

j
+ 3. Seule la forme apparaissant0
dans le theor´ eme` 2 nous sera utile dans ce travail.
Le Theor´ em` e 1 decoul´ e du Theor´ em` e 2 par integr´ ation complexe a` partir de la
formule
Z
b
+
i
11 d
s
s
+1d

(
s
)
G
(
s
)
x
(
b>1
)
; (5)
2
i
s
(
s
+
)1
b
i
1<