Cours décision économique

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Description

Chap. 1 Les outils financiers___________________________________________________________________ 1 1. Les intérêts composés ______________________________________________________________________________ 1 1.1. Formule de base des intérêts composés _____________________________________________________________ 1 1.2. Applications__________________________________________________________________________________ 1 2. Les emprunts indivis _______________________________________________________________________________ 1 3. Utilisation d'un tableau d'amortissement d'emprunt________________________________________________________ 2 4. Schéma de base d’une relation d’emprunt _______________________________________________________________ 2 5. Types d’emprunts indivis et modalités de remboursement __________________________________________________ 4 6. Taux Effectif Global d’un emprunt ____________________________________________________________________ 5 Chap. 2 Le choix des investissements et des financements __________________________________________ 6 1. Eléments de la rentabilité économique _________________________________________________________________ 6 1.1. Notion de rentabilité économique _________________________________________________________________ 6 1.2. Les différents flux générés par un investissement _____________________________________________________ 6 1.3. L’évaluation des flux économiques ...

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Extrait

 

 

       

 

Chap. 1 Les outils financiers___________________________________________________________________ 1  1. Les intérêts composés ______________________________________________________________________________ 1   1.1. Formule de base des intérêts composés ________________________________________________________ 1   _____ 1.2. Applications _____ _____________________________________________________________ 1   ________________ . Les emp unts i _______________________________________________________________________________ 1   2 r ndivis 3. Utilisation d'un tableau d'amortissement d'emprunt ________________________________________________________ 2   lation d p _______________________________________________________________ 2   4. Schéma de base d’une re ’em runt 5. Types d’emprunts indivis et modalités de remboursement __________________________________________________ 4   6. Taux Effectif Global d’un emprunt ______________________________________________________ 5   ______________

Chap. 2 Le choix des investissements et des financements __________________________________________ 6  1. Eléments de la rentabilité économ que _________________________________________________________________ 6   i 1.1. Notion de rentabilité économique ____________________ 6   _____________________________________________ 1.2. Les différen ar nvestiss 6   ts flux générés p un i ement _____________________________________________________ 1.3. L’évaluation des flux économiques ________________________________________________________________ 7   2. Critères d’appréciation de la rentabilité _________________________________________________________________ 7   2.1. Principe généra _____________________________________________________________________________ 7   s ux 2.2. Deux p dés d’actualisation ____________________________________________________________________   rocé 8 3. Critères utilisant un taux d’actualisation 8   ________________________________________________________________ 3.1. Signification du taux d’actualisation _______________________________________________________________ 8   3.2. Choix du taux d’actualisation 8   _____________________________________________________________________ 3.3. Le délai de récupération R _____________________________ 8   __________________________________________ 3.4. la VAN (Valeur Actuelle Nette) __________________________________________________________________ 8   3.5. L’indice de profitabilité P _______________________________________________________________________ 9   3.6. Le Taux de Rentabilité Interne TRI 10   _______________________________________________________________ 3.7. Synthèse sur les critères de choix_________________________________________________________________ 11   4. A LASTIMUR 11   pplication P __________________________________________________________________________

Chap. 1 Les outils financiers

1. Les intérêts composés Un capital est dit placé à intérêt composés lorsque, à l'issue de chaque période de placement, les intérêts s'ajoutent au capital (sont capitalisés) et portent eux-mêmes intérêts au taux du contrat initial. Le principe est appelé "capitalisation des intérêts" Conventionnellement, on est en intérêts composés dès que le placement excède une année. La règle générale est que l'intérêt soit payé à terme échu, c'est-à-dire à la fin de chaque année de placement. 1.1. Formule de base des intérêts composés Soit une somme de 1 000 €, placée pour 2 années au taux d'intérêt annuel, à terme échu, 10%. Au bout d'un an, cette somme devient V 1 :V 1 = Au bout de 2 ans, cette somme devient V 2 :V 2 =   Soit une somme V 0 , placée pournannées au taux d'intérêt annuel, à terme échu,i. Au bout denannées, cette somme deviendrait : V n   =   1.2. Applications a. Calculer en tenant compte des intérêts composés, lavaleur acquisepar un capital de 2 000 € après 10 ans, au taux annuel réel de 5.25 %, capitalisé annuellement ?     b. Calculer en tenant compte des intérêts composés, lavaleur d’origined’un capital ayant acquis une valeur de 4 781.54 € après 8 ans, au taux annuel réel de 6 %, capitalisé annuellement ?     c. Calculer en tenant compte des intérêts composés, letaux d’intérêtayant permis à un capital de 8 500 € d’obtenir une valeur acquise de 10 814.37 € après 7 ans ?     d. Calculer en tenant compte des intérêts composés, ladurée du placement d’un capital de 2 200 € ayant permis d’obtenir une valeur acquise de 6 584.13 € au taux de 4.50 % ?     e. Une somme de 100 000 € est placée pour dix ans au taux d'intérêt annuel 10%. Quelle somme récupère-t-on à l'issue du placement ?       f. Une somme de 500 000 € a été placée pour cinq ans à un taux semestriel inconnu. A l'issue du placement, cette somme a rapporté 240 122.14 € d’intérêts. Déterminez le taux semestriel de ce placement.    

2. Les emprunts indivis Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d'un seul prêteur. On appelle annuités (trimestrialité, mensualités) la suite des règlements effectués à intervalles de temps égaux et qui permettent le remboursement du capital emprunté et le paiement des intérêts.    

  Mathématiques financières : Chap. 1 Les outils financiers 

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3. Utilisation d'un tableau d'amortissement d'emprunt Exercice n° 1Soit un emprunt de 30 000 €, contracté le 1.01.2009 sur 3 ans au taux de 6%, l’amortissement: du capital sera constant. Le versement sera annuel. Capit d a e l     p d é û r   i e o n d   e  l ed stê doirép  a e  érntI  aépleirdo ortiAmenssem   t de  Annuité Capital restant dû début Date = n-1   =* i    1   (donné)   =-   ou (donné) ou

1 siest donné 2 siest donné Exercice n° 2: Une personne emprunte le 1 er janvier 2009, 10 000 € au taux de 5% pour trois ans. Pour se libérer de sa dette, elle verse 2 000 € le 1 er janvier 2010 et 4 000 € le 1 er janvier 2011. Combien devra-t-elle verser à l'issue de la troisième année pour se libérer entièrement de sa dette ? Date ed ne tssmeroitAma de l tser latipaC éitnuAn e odripéa  t dû  Capital  ioér  I de érnts ête ûd éd  n  tubp ed période l  an

Exercice n° 3 :Une personne emprunte le 1 er   ans.janvier 2009, 25 000 € au taux de 4%, pour trois Pour se libérer de sa dette, elle verse 15 000 € le 31 décembre 2009 et rien le 31 décembre 2010. Combien devra-t- elle verser le 31 décembre 2011 pour se libérer entièrement de sa dette ? Date  Ca d p p é i é t b r a i u l o   t  d d d e û e       en  Int p é é r r êt i s o   d d e e    la A d m e  o la r   ti p s é s r e io m d e e n   t  Annuité Capital restant   dû

4. Schéma de base d’une relation d’emprunt 1. Reprise de l'exercice n°1 ci-dessus: Soit un emprunt de 30 000 €, contracté le 1.01.2009 sur 3 ans au taux de 6%, l’amortissement du capital sera constant. L versement sera annuel.  1.06 3          *  * 1.06 2           * 1.06                            30 000 11 800 11 200 10 600      ou 31/12/2008 31/12/2009 31/12/2010 31/12/2011  

 

  Mathématiques financières : Chap. 1 Les outils financiers 

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2. Une personne emprunte le 1 er janvier 2009, 10 000 € au taux de 5% pour trois ans. Pour se libérer de sa dette, elle verse 2 000 € le 1 er  2010 et 4 000 € le 1 janvier er  2011. Combien devra-t-elle janvier verser à l'issue de la troisième année pour se libérer entièrement de sa dette ?  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. emprunt de 25 000 €, fait le 1Soit un er  3 ans  surjanvier 2009,à 5%. Le remboursement se fera grâce à 2 versements : X €, le 31/12/2010, et 5 840.63 €,le 31/12/2011. Déterminez le premier versement en utilisant la méthode ci-dessus, puis dressez le tableau de remboursement de cet emprunt.

 

 

 

 

 

 

 

    Capital Date  début de    p d é û r   i e o n d   e  Inté p r é ê r t i s o   d d e e    la Amo l r a t   i p s é s r e i m od e e n   t de  Annuité Capital restant dû               4. Soit un emprunt fait le 1 er  2009 au taux de 4.5%, pour trois ans. Pour se libérer de sa dette, janvier elle verse 10 000 € le 31 décembre 2009 et 5 626.66 €, le 31 décembre 2011 pour se libérer entièrement de sa dette. Quel était le montant de l'emprunt ? vous dresserez le tableau de remboursement. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Mathématiques financières : Chap. 1 Les outils financiers 

 

 

 

 

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Date

 

 

  Capital dû en début de période  

Intérêts de la période

Amortissement de la période

Annuité

Capital restant dû

          5. Une personne place 10 000 €, le 1er janvier 2009, puis 5 000 €, le 31 décembre 2010. Ce placement se faisant à 7%, de combien disposera-t-elle le 1er janvier 2013.        

 

 

 

 

 

 

5. Types d’emprunts indivis et modalités de remboursement

 

a) Emprunts à amortissements constants Exemple 1à amortissements constants en 4 annuités calculées au taux de: soit un emprunt de 20 000 € remboursables 6% l’an. Calcul de l’amortissement   Tableau de remboursement

Périodes  dé C b a u p t  i p ta é l r   i dû d   e  Intérêts  Amort issements   o

Annuités

Capital dû après annuité

  Exemple 2à amortissements constants en 3 annuités calculées au taux de: soit un emprunt de 15 000 € remboursables 5% l’an. Calcul de l’amortissement  

  Mathématiques financières : Chap. 1 Les outils financiers 

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Tableau de remboursement  

Périodes  dé C b a u p t i   t p a é l r   i d o û d   e  Intérêts  Amort issements  

Annuités

Capital dû après annuité

b) Emprunts à annuités constantes Exemple 1soit un emprunt de 20 000 € remboursables en 4 annuités calculées au taux de 6% l’an.: Calcul de l’annuité     Tableau de remboursement Capita rès Périodes  dé C b a u p t  i p ta é l r   i d o û d   e  Intérêts  Amort issements A nniuét uinna té  s pa ûd l

  Exemple 2: soit un emprunt de 15 000 € remboursables à annuités constantes en 3 annuités calculées au taux de 5% l’an.   Calcul de l’annuité     Tableau de remboursement

 

Périodes  dé C b a u p t i   t p a é l r   i d o û d   e  

Intérêts

Amort issements  

Annuités

Capital dû après annuité

6. Taux Effectif Global d’un emprunt Exemple : soit un emprunt de 2 000 € remboursables en 24 mensualités de 93.58 €. 80 € de frais de dossiers sont prélevés sur les 2 000 €. Soit tmeg le taux effectif global mensuel 2 000 = 80 + 93,58 * [1-(1+tmeg) -24 ]/tmeg  Soit [1-(1+tmeg) -24 ]/tmeg =20,52 Pour 0,0121,24 Pour 0,01520,03 Par interpollation linéaire (ou tatônnement) tmeg0,015 –(0,015-0,01)*[(20,52-20,03)/( 21,24-20,03)]soit tmeg=>0,01269 par mois Théoriquement (taux équivalent) Teg (annuel) tel que 1+TEG = (1+tmeg) 12 soit TEG=>16,3% l’an En pratique il sera annoncé le taux proportionnel Teg =12*tmeg Teg15,3% l’an  

  Mathématiques financières : 

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Chap. 2 Le choix des investissements et des financements   Objectifs : · est rentable. Eventuellement classer cet investissement etDéterminer si un investissement projeté d’autres par ordre de rentabilité. · mode de financement choisi sur la rentabilité de cet investissement.Mesurer l’impact du   Démarche : 1)  Mesurer la rentabilité d’un investissement en faisant abstraction de son financement (c’est la notion de rentabilité économique). 2)  choisir un mode de financement et mesurer la rentabilité financièreUne fois cette rentabilité établie, des capitaux propres investis. La rentabilité se mesure ici à partir des flux financiers). Exemple support de cours : 1) L’entreprise INVEST SA envisage, le 1 er janvier 2011, l’acquisition d’une nouvelle unité de production A pour un montant de 3 000 000 €. Les éléments spécifiques à cet investissement seraient les suivants : · Aspect fiscal : taux d’impôt sur les sociétés de 33 1/3 %.. par simplification on considèrera que l’impôt sur les sociétés est décaissé l’année même où il prend son origine. · Conditions d’exploitation : ⇒ Amortissement sur 5 ans. L’entreprise choisit d’amortir en linéaire. ⇒ : 300 000 € pendant 5 ans.Ventes HT mensuelles ⇒ Achats et consommations : 200 000 € HT par mois, sauf le premier mois où les achats sont de 400 000 € pour constituer un stock de 200 000 € et le dernier mois où ce stock est consommé. · Conditions de règlement : ⇒ Ventes et achats : un mois (sauf pour les ventes du dernier mois de la cinquième année qui seront encaissées comptant) 2)  L’entreprise INVEST SA a également la possibilité de choisir deux autres projets B et C dont les caractéristiques seraient les suivantes :    Flux de trésorerie Dates 1/1/2011 31/12/2011 31/12/2012 31/12/2013 31/12/2014 31/12/2015 B -2 100 1 000 1 000 700 400 100 C -900 0 200 200 600 1 000

1. Eléments de la rentabilité économique

1.1. Notion de rentabilité économique Rentabilité des capitaux investis quelque soit leur origine (on fait abstraction du mode de financement (=/= avec la rentabilité financière) Double but possible : 1 Décider de procéder à un investissement étudié spécifiquement 2 Choisir entre plusieurs investissements possibles (interclasser) Dans tous les cas, la rentabilité n’est qu’un des critères. 1.2. Les différents flux générés par un investissement

a) Nature des flux

Flux ponctuels directement affectables à des dates. Flux périodiques s’étalant sur des périodesproblème de la date de rattachementposent le b) Date de prise en compte des flux périodiques En milieu de période (le plus juste a priori, et le plus « chic ») Recettes en fin de période et dépenses en début (sous estime la rentabilité = principe de prudence) Recettes et dépenses en fin de période (sous estime un peu la rentabilité car recettes>dépenses) le plus utilisé

  Le choix des investissements et des financementsMathématiques financières : Chap. 2  

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1.3. L’évaluation des flux économiques

Compte de résultat        Dates 2011 2012 2013 2014 2015   Produits              Ventes 3 600 3 600 3 600 3 600 3 600 Charges              Achats 2 600 2 400 2 400 2 400 2 200  Variation de stock - 200 200  Amortissements 600 600 600 600 600 Résultat avant impôt 600 600 600 600 600   Impôt sur les sociétés  200 200 200 200 200 Résultat net 400 400 400 400 400   Tableau des flux de trésorerie  1/1/2011 31/12/2011 31/12/2012 31/12/2013 31/12/20 14 31/12/2015 Encaissements               Ventes 3 300 3 600 3 600 3 600 3 900 Decaissements               Acquisitions 3 000  Achats 2 400 2 400 2 400 2 400 2 400 ImpÔt sociétés 200 200 200 200 200                Flux nets de trésorerie 1 700 000- 3 1 000 1 000 300 000 1

s

 

 

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tem

  Mathématiques financières : Chap. 2 Le choix des investissements et des financements 

F n ’ =F n )t(x+1 -n

d

x(1+t) -n

 

0

n ériodes

F

n

temps

d +n

b) Actualisation d’un flux

d +5 F 5

1. Détermination des flux financiers 2. Rattachement de ces flux à des dates 3. Comparaison de ces flux à la date d 0 de début de l’investissement d 0 P d +1 d +2 d +3 d +4 F 0 F 1 F 2 F 3 F 4

a) Démarche :

2.1. Principes généraux

2. Critères d’appréciation de la rentabilité

2.2. Deux procédés d’actualisation 1)  On choisit un taux d’actualisation - A l’aide de ce taux on détermine les flux actualisés à la date d 0 - On calcule la somme de ces flux à la date d 0     2) On cherche le taux qui réalise l’égalité entre les flux (TRI)

3. Critères utilisant un taux d’actualisation

3.1. Signification du taux d’actualisation Le taux d’actualisation représente le taux de rentabilité minimum attendu de l’investissement 3.2. Choix du taux d’actualisation Taux de placement sans risque + Prime de risque +Prime de secteurrentabilité habituelle pour l’entreprise  = Taux de rentabilité minimum attendu de l’investissement 3.3. Le délai de récupération R  

a) Définition

Le délai de récupération R d’un investissement est le temps nécessaire pour récupérer la mise initiale Remarque :sa version historique le critère du délai de récupération est utilisé sans recourir à l’actualisation.Dans b) Exemple d’INVEST SA investissement A Taux d’actualisation t =

Délai de récu ération R  =

d +   d 0  P   d +1  d +2 d +3 d +4 d +5 -3.000 +700 +1.000 +1.000 +1.000 +1.300 R(A)= 4 ans + (104/807)*360 jours soit environ 4 ans et 1mois 1/2 B=>2ans 8 mois 1/3 ; C=> 4ans 3mois1/2 c) Utilisation

tem

s  

Plus le délai est court plus l’investissement est à privilégier d) Critique Critère simple (surtout sans actualisation) qui privilégie les flux les –éloignés dans le temps qui sont aussi les plus sûrs). Néglige totalement les flux éloignés la rentabilité à court terme privilégiePour entreprise pressée (ou bien parce qu’elle est en difficulté ou bien parce qu’elle veut pouvoir saisir les opportunités futures) 3.4. la VAN (Valeur Actuelle Nette)

a) Définition

Pour un taux d’actualisation, la VAN est égale à la somme des valeurs actualisées de tous les flux en d  

  Le choix des investissements et des financementsMathématiques financières : Chap. 2  

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Taux d’actualisation : t

d 0 P

d +1

d +2

F’ 0 = F 0 F 1 F 2 F’ 1 = F 1 x(1+t) -1 F’ 2 = F 2 x(1+t) - F’ 3   = F 3 x(1+t) -3 F’ 4   = F 4 x(1+t) - F’ 5     F 5 x(1+t) -5 = b) Exemple INVEST SA investissement A   Taux d’actualisationt = 10% l’an   

d 0  P   d +1  d +2

d +3

F 3

d +3

d +4

F 4

d +4

d +5

F 5

d +5

tem

s

 

- 3 000 700 1 000 1 000 1 000 1 300 em s -1 700x(1,1) 1 000x(1,1) -2   1 000x(1,1) -3   4 1 000x(1,1) -   5 1300x 1 1 -       c) Utilisation Van >0investissement rentable Plus la VAN est élevée plus l’investissement est réputé rentable d) Critique de la VAN C’est le critère « roi ». La critique peut porter sur l’arbitraire du choix du taux d’actualisation (comme les autres critères sauf le tri) Ne tient pas compte de l’effort d’investissement (critère brutindice de profitabilité) 3.5.  L’indice de profitabilité P   a) Définition

L’indice de profitabilité d’un investissement est égal à l’investissement (I = F )

où est le montant initial de

  Le choix des investissements et des financementsMathématiques financières : Chap. 2  

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b) Exemple d’INVEST SA investissement A Pour A 1 + 703000/3000000 = 1, 23 ( B=> 1,24, C=> 1,5) c) Utilisation indice est fort + l’investissement est rentable + d) Critique Critère pertinent uniquement si l’on considère que la ressource de financement est limitée, sinon aucune raison de privilégier ceux qui sont le moins dévoreurs de capitaux Même limite que VAN sur arbitraire du taux d’actualisation 3.6. Le Taux de Rentabilité Interne TRI

a) Définition Le Taux de Rentabilité Interne TRI est le taux d’actualisation pour lequel la VAN est nulle   Taux de Rentabilité Interne =   tri

d 0     d +1  P F’ 0 =  F 0 1  F F’ 1 = F 1 x(1+tri) -1   F’ 2 = F 2 x(1+tri) -2   F’ 3   = F 3 x(1+tri) -3   F’ 4   = F 4 x(1 tri) -  + 4   F’ 5   = F 5 x(1+tri) -5     b) Exemple d’INVEST SA investissement A

T a u x d ’ a c t u a l i s a t i o n t = t r i

d +2 F 2  

d +3

F 3  

d +4 F 4  

d +5

F 5  

tem

s

d 0 P d + 1 d + 2 d + 3 d + 4 d + 5 - 3 0 0 0 + 7 0 0 + 1 0 0 0 + 1 0 0 0 + 1 0 0 0 + 1 3 0 0 t e m s + 7 0 0 x ( 1 + t r i ) - 1 1 0 0 0 x ( 1 + t r i + ) - 2 + 1 0 0 0 x ( 1 + t r i ) - 3 1 0 0 0 x ( 1 + t r i + ) - 4 + 1 3 0 0 x ( 1 + t r i ) - 5 0 = ,05% % ; C21,5%) c) Signification et utilisation TRI = Taux d’actualisation pour lequel la Van serait nulle = ce que rapporte l’investissement.      

  Mathématiques financières : Chap. 2 Le choix des investissements et des financements 

 

 

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