[tel-00121985, v1] Quelques contributions aux méthodes d'équations intégrales et à l'étude de

Christian Bonnet, Marc Bernard

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Extrait

Quelques contributions aux m´ethodes
int´egrales et a` l’´etude des probl`emes inverses
en M´ecanique des solides
Dossier de candidature en vue d’obtenir
l’habilitation a` diriger des recherches
Marc BONNET
ereCharg´e de recherches CNRS de 1 classe,
Laboratoire de M´ecanique des Solides
D´epartement SPI, section 9, URA 317
Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex
t´el´ephone: (1)-69333327, t´el´ecopie: (1)-69333026
courrier ´electronique: [e-mail]
D´ecembre 1994
tel-00121985, version 1 - 22 Dec 2006tel-00121985, version 1 - 22 Dec 2006Table des mati`eres
Introduction 5
1 Equations int´egrales et ´el´ements de fronti`ere 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 R´egularisation des ´equations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 R´egularisation pour l’´elastostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Nouvelleinterpr´etationducaract`eresingulierdes´equationsint´egrales. 13
1.2.3 Extension de la r´egularisation `a l’´elastodynamique . . . . . . . . . . 14
1.2.4 R´egularisation pour les probl`emes scalaires . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Mise en oeuvre num´erique de la r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Mise en oeuvre num´erique de la r´egularisation . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Commentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Exemple num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Propagation dynamique de fissure simul´ee par potentiels retard´es r´egularis´es 18
1.5 Utilisation des sym´etries g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Formulations variationnelles int´egrales pour les probl`emes aux limites mixtes 24
2 Probl`emes inverses 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 R´egularisation et inversion gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Inversion gaussienne lin´eaire en variable complexe pour l’acoustique . . . . 32
2.3.1 Inversion gaussienne en variable complexe . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Exemple num´erique d’inversion gaussienne en variable complexe . . 34
2.4 Identification de d´efauts dans des structures `a partir de mesures vibratoires 38
3 Approche ´energ´etique et domaines variables 47
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 D´erivation directe des ´equations int´egrales dans une transformation g´eo-
m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Formulations int´egrales pour l’approche ´energ´etique de la rupture fragile . 50
3.3.1 Principe des m´ethodes ´energ´etiques en M´ecanique de la rupture . . 50
3.3.2 La «m´ethode θ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 La «m´ethode θ-int´egrale». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Utilisation des ´equations int´egrales r´egularis´ees en d´eplacements . . . . . . 53
3.5ion de formulations int´egrales variationnelles . . . . . . . . . . . . . 57
3
tel-00121985, version 1 - 22 Dec 2006`4 Table des matieres
4 M´ethode de l’´etat adjoint pour les probl`emes inverses 65
4.1 M´ethode de l’´etat adjoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Utilisation de la m´ethode de l’´etat adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Identification de domaines inconnus par ´equations int´egrales de fronti`ere . 70
5 Conclusions et perspectives 75
Liste de publications et travaux 79
Liste de publications et travaux 85
tel-00121985, version 1 - 22 Dec 2006Introduction
Les travaux de recherche pr´esent´es ici en vue d’obtenir l’habilitation a` diriger les
recherches portent au total sur une p´eriode d’environ 10 ans. Ils s’inscrivent dans deux
th`emes principaux : les m´ethodes d’´equations int´egrales et d’´el´ements de fronti`ere, les
probl`emes inverses en m´ecanique des solides, abord´es dans cet ordre chronologique.
Ces deux th`emes, quoique distincts, se recouvrent partiellement. En effet, une propor-
tionsubstantielledeprobl`emesinversesdelam´ecaniquedessolidesconcernedessituations
d’essais non destructifs, pour lesquelles les mesures sont faites sur la fronti`ere externe, et
concernent des conditions aux limites ou des domaines g´eom´etriques partiellement incon-
nus. La mod´elisation du probl`eme direct par´equations int´egrales de fronti`ere donne alors
l’expression math´ematique la plus directe de la relation entre mesures et inconnues. Sur
un plan plus g´en´eral, il existe un lien tr`es fort entre la th´eorie des ´equations int´egrales et
la mod´elisation des probl`emes inverses.
HuyDuongBui,alorsauxEtudesetRecherchesd’EDF,m’apropos´elar´egularisation
des ´equations int´egrales en ´elastodynamique et l’´etude des aspects num´eriques associ´es
comme sujet de th`ese. Son choix ´etait motiv´e d’une part bien surˆ par l’int´erˆet propre de
cette recherche, mais aussi en raison de ses liens avec la mod´elisation num´erique fine de
m´ethodes de contrˆole non destructif, probl`eme inverse tr`es difficile dont EDF commen¸cait
a`sepr´eoccuper.HuyDuongBuim’aainsisensibilis´e,durantlap´eriodesuivantlath`ese,a`
l’int´erˆet scientifique et aux applications potentielles des probl`emes inverses en M´ecanique
des solides. Je dois donc mon activit´e dans ces deux domaines `a son impulsion.
m´ethodes d’´equations int´egrales de fronti`ere. Mes premiers travaux dans ce
domaineontport´esurleurr´egularisation,pourl’´elastostatique,´elastodynamiqueetl’acous-
tique et des d´eveloppements num´eriques associ´es. La reformulation sous forme int´egrable
des ´equations hypersinguli`eres associ´ees aux solides fissur´es ´etait ´egalement une ´etape
importante. Une extension r´ecente a concern´e l’´etablissment de formulations int´egrales
variationnelles sym´etriques et r´egularis´ees. Ces travaux sont d´ecrits au chapitre 1.
L’examen durant mon stage post-doctoral de travaux men´es notamment a` EDF sur
la “m´ethode θ” (qui utilise les ´el´ements finis) m’a conduit a` explorer l’id´ee d’associer
m´ethodes int´egrales et d´erivation par rapport au domaine. Cette recherche a conduit
d’une part au d´eveloppement sous deux formes successives d’une “m´ethode θ-int´egrale”,
formulation de l’approche ´energ´etique (reposant sur le calcul des d´eriv´ees par rapport au
domaine de l’´energie potentielle a` l’´equilibre) de probl`emes de m´ecanique de la rupture ne
n´ecessitant que la mod´elisation de la fronti`ere et des variables qu’elle supporte (chapitre
13) . Elle est d’autre part applicable a` de nombreux probl`emes inverses pour lesquels le
domaine est la variable principale, comme en t´emoigne l’´etude num´erique r´ealis´ee sur
l’identification d’obstacles rigides en acoustique lin´eaire, utilisant´el´ements de fronti`ere et
d´eriv´ee par rapport au domaine (chapitre 4, section 3.2). 3
1Ceci comprend la th`ese de Haihong Xiao dont j’ai assur´e l’encadrement.
5
tel-00121985, version 1 - 22 Dec 20066 Introduction
Probl`emes inverses. Les probl`emes inverses sont habituellement mal pos´es (solu-
tion inexistante, ou non unique, ou non-continue par rapport aux donn´ees mesur´ees), et
leur r´esolution n´ecessite des approches sp´ecifiques qui font une grande place `a la prise en
compte d’informations a priori et a` la restriction de l’espace des solutions admissibles.
J’ai men´e dans ce cadre des travaux sur le d´eveloppement et l’exploitation de l’inversion
2gaussienne lin´eaire puis non-lin´eaire pour l’acoustique et m´ecanique vibratoire (chapitre
2), dans le cadre d’une collaboration `a long terme avec le d´epartement Acoustique et
M´ecanique Vibratoire d’EDF.
J’ai´egalementabord´ediversaspectsdelam´ethodedel’´etatadjointqui,appliqu´eeaux
probl`emesinverses,conduitd’uneparta`des´equationsd’observationpermettantl’analyse
du probl`eme inverse lin´earis´e, d’autre part `a un calcul num´erique tr`es efficace du gradient
d’une fonction-coutˆ (chapitre 4).
Ces travaux utilisent, suivant les cas, les ´el´ements finis ou les ´el´ements de fronti`ere.
Cours et ouvrage. Le domaine des m´ethodes d’´equations int´egrales et d’´el´ements de
fronti`ereafaitdemapartl’objetdecoursapprofondisa`l’Universit´edeBucarest(1993)et
aux Etudes doctorales de l’Ecole Polytechnique (1994). Les documents [Bon