Une correction à l'équation a = v2/r

Miles Mathis, Bahrmanou

Description

UNE CORRECTION À L’ÉQUATION 2 a =v =r (ET UNE RÉFUTATION DES LEMMES VI, VII & VIII DE NEWTON) par Miles Mathis 2 UNE CORRECTION À L’ÉQUATIONa =v =r M. Mathis 1 INTRODUCTION La plupart des gens assument que les corrections d’Einstein aux équation gravi- tationnelles de Newton ont complété l’analyse nécessaire du problème. Einstein a ajusté des mathématiques qui étaient déjà très efficaces, et pratiquement rien ne reste à faire. C’est la sagesse populaire. Bien sûr, le travail continue sur le mécanisme de la gravitation, puisqu’il est com- plètement inconnu. Mais les mathématiques de la gravitation sont considérées comme complètes. Personne ne travaille sur les équations de champ de la relati- vité générale car elles sont supposées correctes. Cet article démontre que cette supposition ne peut plus être maintenue. J’ai dé- couvert une erreur mathématique élémentaire dans l’une des équations fondamen- tales de Newton. L’équation, et sa dérivation par Newton, n’a jamais été remise en question depuis des siècles. L’équation est utilisée aujourd’hui dans de nombreuses théories ésotériques, y compris la dérivation du rayon de Schwarzschild, la prédic- tion de l’intensité d’une onde gravitationnelle et ainsi de suite. Elle est importée dans ces dérivations en tant que fait connu. De plus, l’équation est utilisée en rela- tivité générale. C’est l’une des préconditions de base de plusieurs parties de divers tenseurs.

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• Publié par: Bahrmanou
• Publié le: 26 mai 2014
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• Langue: Français

Extrait

U NE CORRECTION á L ’ ÈQUATION 2 a=v /r ( U N ER È F U TAT IO ND E SL E M M E SE T VI, VII & VIII D E N E W T O N )

parMiles Mathis

2 U NE CORRECTION á L ’ ÈQUATION a=v /r

1 I NTRODUCTION

M. Mathis

La plupart des gens assument que les corrections d’Einstein aux quation gravi- tationnelles de Newton ont complt l’analyse ncessaire du problme. Einstein a ajust des mathmatiques qui taient djĀ trs efficaces, et pratiquement rien ne reste Ā faire. C’est la sagesse populaire.

Bien sÛr, le travail continue sur le mcanisme de la gravitation, puisqu’il est com- pltement inconnu. Mais les mathmatiques de la gravitation sont considres comme compltes. Personne ne travaille sur les quations de champ de la relati- vit gnrale car elles sont supposes correctes.

Cet article dmontre que cette supposition ne peut plus tre maintenue. J’ai d- couvert une erreur mathmatique lmentaire dans l’une des quations fondamen- tales de Newton. L’quation, et sa drivation par Newton, n’a jamais t remise en question depuis des sicles. L’quation est utilise aujourd’hui dans de nombreuses thories sotriques, y compris la drivation du rayon de Schwarzschild, la prdic- tion de l’intensit d’une onde gravitationnelle et ainsi de suite. Elle est importe dans ces drivations en tant que fait connu. De plus, l’quation est utilise en rela- tivit gnrale. C’est l’une des prconditions de base de plusieurs parties de divers tenseurs. Je montre que toutes ces drivations et tous ces calculs sont fatalement compromis par cette erreur.

2 Cette quation esta=v /r. Nous avons tous appris cette quation Ā l’cole, concernant le mouvement circulaire uniforme. Elle tablit la relation entre une vitesse orbitale et une acclration centripte. La raison pour laquelle cette qua- tion est si souvent utilise dans la physique contemporaine est qu’elle est gale- ment suppose dcrire la relation, dans sa forme la plus simple, entre un corps orbitant et la force de gravitation ressentie par ce corps. C’est de la physique ba- sique, et je suis prt Ā parier que personne n’a examin de prs cette quation depuis trs longtemps. Personne n’a certainement eu la perspicacit ou le cran de la remettre en question dans un cours de physique Ā l’cole. Le temps qu’un tu- diant en physique atteigne l’universit et de telles quations ne l’intressent plus – elles doivent tre utilises au besoin mais jamais examines de plus prs.

Je fus conduit Ā rexaminer cette quation Ā cause de problmes apparus dans dif- frents domaines. Dans cet article, je ne vais pas plonger dans la thorie : il suffit de dire que les concepts fondamentaux de la gravitation me semblaient assez at- tnus dans plusieurs domaines d’tude. Ce qui tait ncessaire, de mon point de vue, ce n’tait pas encore plus de maths sotriques – comme par exemple la pour- suite de thories sur des super-cordes et autres choses semblables – mais plutÔt un examen plus rigoureux des thories et concepts soutenant les mathmatiques gra- vitationnelles, et plus spcialement la simple algbre qui est Ā la base de la plupart des maths suprieures. En faisant ainsi, je dcouvris de nombreuses erreurs qu’on

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ne peut, je pense, que dclarer stupfiantes. Ce papier va parler de l’une d’entre elles.

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2 L A DÈRIVATION DE N EWTON

M. Mathis

2 Newton utilisa l’quationa=v /r afin de relier sa fameuse quation de la gravita- 2 tion universelle Ā la troisime loi de Kepler, c’est-Ā-dire que F=Gm 1 m 2 /r devient 2 32 2 t /r= 4π /Gm 2 uniquement en supposant quea=v /r.

La drivation complte se trouve dans tous les manuels scolaires et je ne vais pas 2 la rpter ici. Je la mentionne uniquement dans le but de montrer quea=v /r a constitu une quation fondatrice ds le commencement. Newton la traita lui- mme presque comme un axiome. Il « prouva » l’quation dans une des premires parties desPrincipia(section 2, proposition 4). J’cris « prouv » parce que l’qua- tion est en ralit introduite en tant que corolaire, avec seulement l’esquisse d’une preuve. Le corolaire 1 n’est qu’une phrase intgre dans un thorme. Voici le corolaire 1, en intgralit :

« Ds lors, puisque ces arcs sont proportionnels aux vitesses des corps, les forces centriptes seront en raison compose de la raison double des vitesses directement, et de la raison simple des rayons inverse- ment ».

En langage moderne, cela nous donne :

« Puisqueles arcs dcrivent la vitesse, l’acclration est le carr de la vitesse sur le rayon ».

Newton aurait pu rpondre justement que sa phrase ne contenait aucune impli- cation d’galit exacte. Il disait simplement que la force est proportionnelle Ā l’in- verse du rayon. Ds lors, si l’galit n’est pas exacte, l’erreur ne fut jamais de lui.

En fait, dans le paragraphe prcdent, il avait dclar :

« Ces forces tendent au centre des cercles et elles sont entre elles comme les sinus verses des arcs dcrits dans de trs petits temps gaux, c’est- Ā-dire comme les carrs de ces mmes arcs diviss par les diamtres de leurs cercles ».

Je lis cela comme signifiant que, selon la trigonomtrie applique au problme, la proportion s’applique aux diamtres dans le premier cas. Newton passe alors du diamtre au rayon simplement en disant «puisque les diamtres sont comme les rayons». Pour moi, cela prouve absolument qu’il parle, dans cette section, de proportions et pas d’galits. Le rayon comme le diamtre sont galement propor- tionnels, car la proportion ne prend pas en compte des magnitudes du premier degr. Si vous tes proportionnel Ā 2x, vous tes proportionnel Āx.

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La drivation actuelle de l’quation ne mentionne jamais la mthode de Newton utilisant le sinus verse, apparemment du fait que la connaissance des sinus verses n’est plus rpandue. Ou il se peut que cette mthode n’est pas mentionne parce qu’elle est trs difficile Ā pntrer. Je montrerai qu’elle approche bien plus de la rsolution du problme que la drivation actuelle. Cela ne devrait pas constituer une bien grande surprise, considrant son auteur. Cependant, en se tenant sur les paules de Newton, la science moderne aurait dÛ finalement voir plus loin, du moins on pouvait l’esprer, tant donns les 300 ans qu’elle a eus Ā sa disposition pour perfectionner son œuvre. Il apparat au contraire qu’elle a utilis son temps Ā devenir myope, en remplaÇant une drivation lgrement dfectueuse par une drivation constituant un embarras mathmatique.

Puisque je prouve plus loin que la drivation actuelle choue compltement, il me semble que je dois galement analyser la drivation originelle de Newton afin de montrer que la science n’a pas, au moins, l’ignominie de remplacer une drivation correcte par une incorrecte. La drivation de Newton comme l’actuelle font des erreurs fondamentales dans l’analyse du mouvement circulaire.

Newton propose un corps qui se meut de A en B, qui est en cet endroit contraint par une force qui le fait dvier, et qui continue jusqu’en C. Il possdait ds le commencement une vitesse constante, et ds lors AB=Bc=BC. Newton postule que c est l’endroit oÙ le corps se serait rendu en l’absence de la force. Il cherche la taille et la direction de la force qui lui permettent de faire dvier le corps de c vers C. Il assume que d est le vecteur acclration caus par cette force, puisqu’il est la diffrence entre les deux vecteurs.

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M. Mathis

En trigonomtrie, le sinus verse est simplement la section externe du rayon, quand le rayon a t coup par une ligne projete Ā partir de l’extrmit de l’arc. Newton ne trace jamais cette ligne dans ses diagrammes desPrincipia, ce qui est en soi intressant. Newton aimait cacher ses maths, pour une raison ou une autre. On assume gnralement que cette raison consistait Ā garer la comptition, mais dans ce cas-ci cela me semble tre de l’obstruction. Cacher de bonnes maths peut tre de bonne guerre pour certains, mais cacher de mauvaises maths est toujours quelque chose de moins noble. Ce que Newton cache pouvait paratre clair pour e des gens du 17sicle, mais c’est trs obscur aujourd’hui. Le sinus verse approche de zro trs rapidement pour des angles trs petits, de faÇon telle qu’il puisse 1 assumer l’quation connue sous le nom de quationsagitta:

2 sinus verse=h /2r (oÙh=rθ).

Newton propose que, Ā la limite,h=l’arc. Et, puisque le sinus verse est propor- 2 tionnel Ā la force centripte, l’acclration doit tre proportionnelle Ā arc/2r. De 2 plus, dit-il, l’arc est gal Ā la vitesse, si bien queaest proportionnel Āv /2r. Mais le sinus verse est seulement la moiti de la force, dclare-t-il [voir prop. I, coro- 2 laire IV], donc l’acclration entire devienta=v /r. Vous pouvez constater que l’quationsagittaest la cl qui permet de comprendre la drivation de Newton. Newton ne rvle rien de tout cela dans lesPrincipia, mais c’est la seule manire de comprendre ses commentaires sur le sinus verse.

Ceci reprsente les maths caches de Newton, telles qu’elles sont. Elles sont subti- lement perverties de plusieurs faÇons, dont par exemple son utilisation du lemme VII. Dans le lemme VII, Newton dclare qu’Ā la limite (quand l’intervalle entre deux points va vers zro), l’arc, la corde et la tangente sont tous gaux. Mais si cela est vrai, alors sa diagonale comme le sinus verse doivent tre zro. Selon le lemme VII, tout va soit vers l’galit soit vers zro Ā la limite, ce qui n’aide pas vraiment Ā calculer une solution. Ni l’quation du sinus verse ni le thorme de Pythagore ne s’appliquent lorsque nous allons Ā une limite telle que dfinie par Newton. Je montrerai ci-dessous, grce Ā une analyse simple, que la tangente doit pouvoir rester plus longue que la corde Ā la limite; c’est seulement alors que le problme peut tre rsolu sans la moindre contradiction.

Avant de raliser cela, il est intressant de noter que Newton obtient presque la bonne rponse, malgr des lemmes fautifs. Le sinus verse nous donnera la rponse correcte, Ā condition que nous analysions l’intervalle correct. Le sinus verse devient gal Āauniquement si nous considrons la longueur de l’arc de A Ā b. Newton a considr la longueur de l’arc de A Ā C. Nous devons projeter la perpendiculaire de b Ā la place de C afin d’obtenir le sinus verse correct. Si nous faisons cela, nous trouvons en fait que le sinus verse=aĀ la limite.

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1. «flche » en latin (NDT).

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Une fois que nous avons trouvade cette manire, il n’y a cependant pas besoin de le doubler, car en trouvant le sinus verse nous avons utilis l’angleθet la longueur de l’arc de A Ā b. Ceci doit donc constituer notre intervalle. Vous pouvez voir que la seule diffrence entre ma correction et la mthode de Newton est qu’il trouve la force sur l’intervalle de A Ā C, alors que je trouve la force de A Ā b. Sa force est le double de la mienne et son arc est le double du mien, et ds lors tout devrait rester pareil. Mais ce n’est pas vraiment aussi simple.

Ce que nous trouvons par la mthode de Newton une foisddcouvert est la force requise pour amener le corps de c Ā C durant l’intervalle B Ā C. J’agre sur le fait que cette force est de

2 d= 2a=v /r.

Newton rpand alors cette force sur l’intervalle A Ā C, et nous obtenons notre quation actuelle. Il est vident que la force requise pour amener de A Ā C est de 2 deux fois la force pour l’amener de A Ā b. Si j’admets quea=v /2r, alors je dois 2 admettre qued=v /r. Je l’admet. Mais il reste un trs gros problme. Newton est all Ā la limite pour trouverd.Je suis all Ā la limite pour trouvera. Nous sommes tous deux supposs tre au rapport ultime. Je viens juste de montrer, cependant, qu’il a trouv la solution non pas sur un mais sur deux intervalles. Il commence la proposition I par ce qui suit :

« Suppos que le temps soit divis en parties gales, et que dans la pre- mire partie de ce temps, le corps, par la force qui lui a t imprime, dcrive la ligne AB : suivant la premire loi du mouvement dans un se- cond temps gal au premier, il se dirigerait directement vers c, le long de la ligne Bc gale Ā AB ».

Il a donc postul deux intervalles de temps. Vous ne pouvez pas postuler deux intervalles de temps pour ensuite postuler que vous tes Ā l’intervalle ultime. L’in- tervalle ultime est le dernier intervalle de la srie. Il ne peut pas tre subdivis plus 2 avant, par une variable de temps ou par quoi que ce soit d’autre. Ds lorsd=v /r doit s’appliquer Ā deux intervalles de temps. C’est la force requise pour amener le corps Ā deux fois la distance de l’arc ultime, en vertu du raisonnement mme de Newton.

Vous pouvez peut-tre djĀ voir qu’il est beaucoup plus simple et logique de laisser Ab tre l’intervalle ultime, de faÇon que l’arc Ab soit compos des vecteurs AB et Bb. Ensuite nous pouvons rsoudre poura, en utilisant soit un sinus verse soit le thorme de Pythagore – ce que je fais ci-dessous. Dans les deux cas, nous trouvons 2 que sur l’intervalle ultime,a=v /2r.

Je voudrais souligner une chose avant de continuer. J’ai cit Newton ci-dessus, quand il dit que l’arc est la vitesse, comme tant drive par sa mthode et par

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M. Mathis

ses quations (qui sont toujours utilises aujourd’hui). Ceci signifie que la variable vdans toutes les quations finales doit tre comprise comme tant la vitesse or- bitale. Elle n’est pas la vitesse tangentielle. La vitesse tangentielle est reprsente par un vecteur en ligne droite le long de la tangente. Ce qui signifie qu’il se meut dans cette direction. C’est ce que reprsente ce vecteur. La vitesse tangentielle ne courbe pas et elle ne suit pas la courbe de l’arc. Dans le diagramme ci-dessus, la vitesse tangentielle sur le premier intervalle est AB et la vitesse orbitale est Ab. Newton nous donne la vitesse tangentielle pour commencer, lorsqu’il nous donne AB ;ensuite, nous recherchons la vitesse orbitale. La vitesse qui suit la courbe de l’arc est la vitesse orbitale, et elle est la variable vitesse dans l’quation finale de 2 Newtona=v /r. Historiquement, les physiciens n’ont pas gard spares ces deux variables vitesse, mais vous devez apprendre Ā le faire quand vous suivez les argu- ments et les diagrammes dans cet article. Les deux vitesses ont t amalgames, et quand nous regardons des quations modernes commev=rω, il y a confusion : nous ne savons pas de quelle vitesse nous parlons. Les manuels contemporains nous affirment que levdans cette quation reprsente la vitesse tangentielle, mais ce n’est pas le cas. C’est la vitesse orbitale.

En analysant plus profondment ce problme, je prouverai galement que l’arc ne dcrit pas la vitesse – ni aucune autre vitesse relle – et que nous avons besoin d’une autre quation pour exprimeraen fonction de la vitesse tangentielle. La vitesse tangentielle et la vitesse orbitale ne sont pas les mmes choses – bien que par le lemme VII de Newton, elles aient t prises pour la mme chose Ā travers l’Histoire. La vitesse tangentielle est la tangente et la vitesse orbitale est l’arc. Le lemme VII affirme qu’elles sont la mme longueur Ā la limite. Je prouverai que c’est faux. En plus de cela, je vous demanderai de considrer le fait lmentaire suivant : un arc est une courbe. Une courbe ne peut pas dcrire une vitesse, car par dfinition une vitesse ne peut pas courber. Une courbe dcrit une acclration, comme nous le savons tous. La vitesse orbitale est une vitesse uniquement sur l’intervalle ultime – oÙ elle devient droite. Mais mme en cet endroit, elle n’est pas gale Ā la vitesse tangentielle, comme je le montrerai.

Il peut galement tre utile de souligner que l’quation linaire de base pour l’ac- 2 2 clration estv=v+ 2ar. Cette quation se trouve au premier chapitre de la 0 plupart des manuels de physique. Il m’a fallu plusieurs annesaprÈsavoir rdig cet article pour me rappeler que cette quation se rduit Ā

2 v= 2ar

2 v =a 2r Il est vraiment incroyable que personne n’ait pens Ā connecter ces deux quations.

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3 L A SOLUTION ACTUELLE

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Newton a fourni une preuve mathmatique qui tait Ā la fois minime et opaque, mais les manuels actuels offrent une solution lgrement plus explicite. Ce que j’ai 2 recopi ici constitue la drivation mathmatique standard dea=v /r. J’ai recopi les tapes ci-dessous d’un rcent manuel de facult.

2 Voici donc la drivation accepte dea=v /r :

Soitv 0 la vitesse tangentielle initiale, comme on peut la voir sur la premire illus- tration.

Puisquev 0 etvsont tous deux perpendiculaires Ā r, les deux anglesθdoivent tre gaux ;ds lors, les triangles affichs sont similaires; ds lors, quandt→0,

Δv/v= Δl/r

Δv=vΔl/r Δv a=lim t→0 Δt vΔl =lim rΔt t→0

Δl Et puisque la vitesse,v, de l’objet estlim t→0 , Δt

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Le manuel dit :

2 a=v /r.

M. Mathis

« QuandΔtest trs petit,Δlet les angles sont aussi trs petits, doncv sera presque parallle Āv 0 , etΔvleur sera essentiellement perpendi- culaire. Ainsi,Δvpointe vers le centre du cercle ».

Les erreurs sont ici nombreuses. Laissant de cÔt l’organisation conceptuelle et le calcul pour un moment, permettez-moi de parler du problme le plus important d’abord. Dans sa drivation, le manuel assume que la variablevdans la dernire quation est la mme que celle dans la premire. Mais ce n’est pas le cas. Dans la premire ligne de la drivation, la variablevreprsente la vitesse tangentielle. Δl Quatre lignes plus loin, on nous dit «la vitesse de l’objet,v, est delim t→0 ». Δt Mais cela reprÉsente la vitesse orbitale!La variableva t change. Vous ΔlΔl pouvez voir quevdans leur premier diagramme n’est pas delim, puisquelim ΔtΔt est la vitesse courbe de A Ā B :vn’est qu’une composante de cette vitesse;v est une ligne droite!Mais le manuel substitue l’une pour l’autre. Autrement dit, 2 Δl vΔl/rΔtdevient magiquementv /r. Mais, siv6= lim t→0 , alors la substitution Δt doit chouer. Elle choue, et la drivation choue avec elle.

Une analyse plus profonde de la situation montre quevest la vitesse tangentielle, Δl/Δtest la vitesse orbitale, et elles ne seront jamais gales – sur aucun intervalle, y compris un intervalle infinitsimal. Le manuel a besoin d’indices pour diffren- cier les deux, commev t etv orb (pourvorbitale).v orb = Δl/Δt, maisv t 6= Δl/Δt, et 2 donc l’quationa=v /r devrait tre luea=v t v orb /r si le manuel suivait sa propre mthode correctement.

2 v t v orb v 6=. r r

Il n’est finalement pas clair siv, dans l’quation actuelle, s’applique Ā la vitesse orbitale ou Ā la vitesse tangentielle, car la drivation fait les deux suppositions.

á l’intention de ceux qui sont djĀ dans la confusion, permettez-moi de le dire d’une manire lgrement diffrente. Cette drivation moderne est un tour de prestidigitation, un tour de passe-passe. Tout comme un magicien repenti, je vais vous rvler le truc. Retournez Ā l’illustration et notez qu’ils ont tiquet les deux vitesses tangentiellesv 0 etv? Les deux vecteurs sont des vitesses tan-. Pourquoi gentielles, ils sont juste en des positions diffrentes. Mais ce qui nous intresse, c’est la longueur ou valeur numrique des vecteurs, pas leur position. Les valeurs numriques sont les mmes, et donc les vecteurs devraient porter le mme nom. Envaleur,v 0 =v; les nommer diffremment est juste un trucage. C’est ce trucage qui permet aux magiciens ici de vous faire aller dev 0 Āvet de complter cette preuve malhonnte. Examinez de nouveau l’quation

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Δv/v= Δl/r.

Demandez-vous : ne devrions-nous pas plutÔt avoir ici

Δv/v 0 = Δl/r ?

C’est en cet endroit que la substitution a lieu. C’est lĀ que la main est plus rapide que l’œil. Comme vous le voyez,v 0 est devenuv, de faÇon Ā ce que lorsque l’arc estÉgalementdfini parv, les deux sembleront les mmes sur la page. Ensuite, les magiciens peuvent substituer l’un pour l’autre et obtenir le rsultat dsir.

Il est vraiment choquant de trouver de telles tricheries maladroites en mathma- tique et en physique fondamentales.

Mais il y a encore plus de problmes. notez que les magiciens se permettent de faire des substitutions dans une quation aux limites. Je parle de l’quation

Δv aiml= t→0 Δt

Ils substituentvΔl/r lĀ-dedans. Mais vous ne pouvez pas faire cela, parce que ces variables sont captures par le signe limite. Cette quation se lit : «la limite, lorsquetva vers zro, du changement env, etc ». Ce n’est pas la mme chose que simplement «changement env». La substitution est interdite. Aprs la substitu- tion, vous voyez, vous avezΔlallant vers la limite, tandis qu’avant vous aviezΔv. Pour faire la substitution, vous devez assumer que les deux variables delta vont vers la limite de la mme faÇon, mais vous ne pouvez pas assumer cela. La raison spcifique pour laquelle vous ne pouvez pas l’assumer est parce que les deux deltas ne sont pas quivalents.Δl, commeΔt, est un simple intervalle. MaisΔvest un changement en vitesse, ce qui n’est pas un simple intervalle. Un changement en vitesse est djĀ une acclration, par dfinition, ce qui signifie qu’il ne s’agit pas de la mme sorte de variable queΔl. Dans le calcul, vous devez diffrencier des longueurs, des vitesses et des acclrations, habituellement Ā l’aide de variables primes, mais ici nous n’avons rien de tout cela. Une acclration ressemble exac- tement Ā une vitesse ici, sans la moindre diffrence de notation.

Et les problmes continuent. La partie (b) tout entire de l’illustration est fausse. Δv6=v−v 0 , parce que cette math est concerne par des valeurs, comme je l’ai dit. La valeur numrique devest la mme que la valeur numrique dev 0 , et doncΔvne peut valoir que zro ici. Un corps en orbite ne change pas la valeur numrique de sa vitesse. Il possde une vitesse constante. La diffrence entrev etv 0 n’est ici qu’une diffrence d’angle. Rsoudre de cette faÇon ne peut donc

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