COURS DE MATHÉMATIQUES TERMINALE

Denis Monasse

Description

Depuis 2014, le site Lycée Numérique offre aux bons élèves de Terminale l'accès à un enseignement de mathématiques qui leur donne toutes les chances d'aborder avec succès des études scientifiques dans l'Enseignement Supérieur, et en particulier en Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles. Cet enseignement se déroule sur 25 semaines correspondant à 25 chapitres. L'ouvrage Cours de mathématiques terminale S reprend l'intégralité de ce cours.L'esprit des mathématiques que l'élève y rencontre est le même que celui qu'il retrouvera dans l'enseignement supérieur : un cours complet, avec définitions, théorèmes, lemmes, corollaires et dans lequel tout (ou presque) est démontré à partir d'une axiomatique simple. Les sujets sont abordés indépendamment de tout programme officiel, pour leur intérêt de formation et pour leur caractère introductif aux mathématiques rigoureuses que les étudiants rencontreront dans la suite de leur parcours scientifique.Ils correspondent à ce que l'on pourrait considérer comme un " programme idéal " de mathématiques en terminale scientifique. Ce livre s'adresse donc à de bons élèves de terminale S qui désirent aborder avec de grandes chances de succès des études dans lesquelles les mathématiques joueront un rôle important.

Sujets

• Lycée
• Secondaire
• Secondary education in France
• Liceos en Francia
• lycée

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 01 janvier 2023
• Nombre de lectures: 322
• EAN13: 9782820810908
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

COURS DE
MATHÉMATIQUES
TERMINALE

Auteur
Denis Monasse

© 2020, Epistemon
ISBN : 9782820810908
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en février 2020
Dépôt légal : mars 2020

Table des matières

Préface

Avant propos

9

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Chapitre 1. Logique et théorie des ensembles15
1. Élémentsde logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2. Théoriedes ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3. Méthodesde démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
4. Relationssur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Chapitre 2. Polynômes27
1. Polynômesà coefficients réels, coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2. Opérationssur les polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3. Racinesdes polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
4. Polynômesà coefficients complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Chapitre 3. Construction deN. Raisonnement par récurrence.35
1. L’ensembledes entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2. Principesde récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3. Structurede l’ensembleN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
4. Diversesformes du raisonnement par récurrence. . . . . . . . . . . . . . .38

Chapitre 4. Dénombrement.41
1. Nombred’applications d’un ensemble dans un autre. . . . . . . . . . . . .41
2. Injections,bijections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
3. Nombrede parties àpéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4. Formuledu binôme de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Chapitre 5. Divisibilité dansZ.47
1. Ladivision euclidienne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2. Larelation de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3. Plusgrand commun diviseur PGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4. Nombrespremiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

3

4

5.
6.

Plus petit commun multiple PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 6. Nombres premiers.
1. Notionde nombre premier, congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Théorèmesde Fermat et de Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Décompositionen produit de nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 7. Nombres réels.
1. Axiomatiquedes nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Premièresconséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Développementp-adique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 8. Nombres complexes . (point de vue algébrique).
1. Constructiondu corps des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Conjuguéd’un nombre complexe, module. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Équationdu second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Polynômesà coefficients complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 9. Nombres complexes . (point de vue géométrique).
1. Affixed’un point du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Exponentiellecomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Moduleet argument, forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Similitudeset nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c−a
5. Interprétationgéométrique du module et de l’argument de. . . . . .
b−a

Chapitre 10. Suites de nombres réels.
1. Généralitéssur les suites de nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suitesmonotones de nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Suitesconvergentes de nombres réels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Opérationsur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Limitesinfinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Suitesmajorées, minorées, bornées.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.
8.

Convergence des suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence et sous-suites, théorème de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . .

Chapitre 11. Limites et continuité.
1. Préambule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Notionde limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Limiteà gauche, limite à droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Opérationssur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Limitesen±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Limiteset inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Limitesinfinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Comparaisondes fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Opérationssur les fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Fonctionscontinues à valeurs réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 12. Dérivation.93
1. Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
2. Opérationssur les dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
3. Tableauxdes dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
4. Extremums,théorème de Rolle et formule des accroissements finis. . . . .98
5. Applicationsde la dérivée à la monotonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
6. Dérivéeseconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
7. Fonctionsconvexes, concaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

Chapitre 13. Intégration.105
1. Partiespositives et négatives.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
2. Intégraled’une fonction positive sur un segment. . . . . . . . . . . . . . .105
3. Intégraled’une fonction continue sur un segment.. . . . . . . . . . . . . .107
4. Sommesde Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

Chapitre 14. Primitives et intégrales.113
1. Conventionde Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

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Application intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Primitives et intégrales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Changement de variables dans les intégrales.. . . . . . . . . . . . . . . . .115
Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
Quelques primitives usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Chapitre 15. Exponentielle, logarithme, puissance.119
1. Fonctionlogarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
2. Fonctionexponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
3. Fonctionspuissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
4. Comparaisondes fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Chapitre 16. Équations différentielles.125
1. Généralitéssur les équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . .125
2. Solutionsd’une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
3. Équationsdifférentielles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
′
4. Équationlinéaire du premier ordre à coefficient constanty=ay+b(t). .128
′
5. Équationlinéaire du premier ordrey=a(t)y+b(t). . . . . . . . . . . . .128
′′2
6. Équationlinéaire du second ordre à coefficient constanty=−ω y+b(t).130
′′2
7. Équationlinéaire du second ordre à coefficients constantsy=ω y+b(t).132
′′ ′
8. Équationlinéaire du second ordre à coefficients constantsy=ay+by+c(t)135

Chapitre 17. Espaces vectoriels.137
1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
n
2. L’espaceR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
n
3. Combinaisonlinéaire dans l’espaceR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
4. Structured’espace vectoriel sur le corps des réels. . . . . . . . . . . . . . .141
5. Combinaisonlinéaire dans unR-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . .143
6. Basesd’unR-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
7. Autresexemples de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
8. Équationsde droites dans le plan, de plans dans l’espace.. . . . . . . . . .152
9. Pourconclure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

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Chapitre 18. Applications linéaires et matrices.155
1. Définitionet premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
2. Imageet Noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
3. Matriced’une application linéaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
4. L’espacevectorielMn(R).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
5. Compositionde deux endomorphismes, multiplication matricielle.. . . . .164
6. Endomorphismebijectif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
7. Matricecarrée inversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
8. Casparticulier des matrices carrées d’ordre 2.. . . . . . . . . . . . . . . .173

Chapitre 19. Géométrie affine.175
1. Notiond’espace affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175