Symétries continues

Franck Laloe

Description

Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.

Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.

Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.

I Transformations de symétrie 1

A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24

AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 29

1 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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II Notions sur la théorie des groupes 37

A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48

AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 57

1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61

A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86

AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 97

1 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 97

2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L  . . . . . 99

3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 101

4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

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IV Représentations induites dans l’espace des états 105

A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107

B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114

D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115

E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120

AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 127

1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 133

1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139

A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 171

1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173

BV Groupe des déplacements géométriques 177

1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 178

2 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190

CV Groupe de Lorentz propre 201

1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 207

3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

DV Réflexions d’espace (parité) 213

1 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 215

3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221

A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222

B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234

AVI Lagrangiens des équations d’onde 245

1 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

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VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251

A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252

B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281

AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 297

1 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 297

2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 299

3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 301

5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303

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VIII Transformation des observables par rotation 305

A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345

AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 355

1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 361

6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 367

1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 367

2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369

CVIII Les moments multipolaires 373

1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 374

2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 387

3 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393

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IX Groupes SU(2) et SU(3) 399

A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401

B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417

C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 449

1 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 449

2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 451

3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 455

1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

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X Brisures de symétrie 461

A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462

B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

APPENDICE 477

I Le renversement du temps 477

1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 478

2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 483

3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 491

4 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 498

5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Sujets

• Sciences expérimentales
• Physique
• Quantum Theory
• Sciences et techniques
• Physical attractiveness
• Physics
• Dirac
• Science

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 21 janvier 2021
• Nombre de lectures: 4
• EAN13: 9782759830244
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Franck Laloë
Symétries continues
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2021
ISBN papier : 9782759826315 ISBN numérique : 9782759830244
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
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Présentation

Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.
Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.
Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.
L'auteur

Franck Laloë

Est directeur de recherche émérite au CNRS. Il travaille à l’École normale supérieure de Paris dans le laboratoire Kastler Brossel, à la pointe de la physique quantique. Avec Claude Cohen-Tannoudji et Bernard Diu, il est également co-auteur de l’ouvrage Mécanique Quantique (tomes I, II et III) disponible dans la collection Savoirs Actuels, devenu un classique dans les universités françaises et étrangères.
Table des matières Préface (PhilippeGrangier) Introduction Chapitre I. Transformations de symétrie A. Symétries fondamentales B. Symétries en mécanique classique C. Symétries en mécanique quantique Complément A I . Points de vue d Euler et de Lagrange en mécanique classique 1. Point de vue d Euler 2. Point de vue de Lagrange Chapitre II. Notions sur la théorie des groupes A. Propriétés générales des groupes B. Représentations linéaires d un groupe Complément A II Classes résiduelles d un sous-groupe ; groupe quotient 1. Classes résiduelles à gauche 2. Groupe quotient Chapitre III. Introduction aux groupes continus et groupes de Lie A. Propriétés générales B. Exemples C. Groupes de Galilée et de Poincaré Complément A III . Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 1. Représentation adjointe à l algèbre de Lie 2. Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans 3. Constantes de structure totalement antisymétriques 4. Opérateur de Casimir Chapitre IV. Représentations induites dans l espace des états A. Conditions imposées aux transformations dans l espace des états B. Théorème de Wigner C. Transformations des observables D. Représentations linéaires dans l espace des états E. Facteurs de phase et représentations projectives Complément A IV . Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1. Cas où 𝒢 est simplement connexe 2. Cas où 𝒢 est p-connexe Complément B IV . Théorème de Uhlhorn-Wigner 1. Espace réel 2. Espace complexe Chapitre V. Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie A. Groupe de Galilée B. Groupe de Poincaré Complément A V . Quelques propriétés des opérateurs S et W 2 1. Opérateur S 2. Valeurs propres de l opérateur W 2 Complément B V . Groupe des déplacements géométriques 1. Rappels : propriétés classiques des déplacements 2. Opérateurs associés dans l espace des états Complément C V . Groupe de Lorentz propre 1. Lien avec le groupe SL (2, C ) 2. Petit groupe associé à un quadrivecteur Opérateur W 2 Complément D V . Réflexions d espace (parité) 1. Action dans l espace réel 2. Opérateur associé dans l espace des états 3. Conservation de la parité Chapitre VI. Construction d espaces des états et d équations d onde simples A. Groupe de Galilée, équation de Schrödinger B. Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac Complément A VI . Lagrangiens des équations d onde 1. Lagrangien pour un champ 2. Equation de Schrödinger 3. Equation de Klein-Gordon 4. Equation de Dirac Chapitre VII. Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs A. Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations B. Particules de spin 1/2 ; spineurs C. Composition des moments cinétiques Complément A VII . Homomorphisme entre les matrices de SU (2) et celles de rotation 1. Transformation d un vecteur P induite par une matrice de SU (2) 2. La transformation est une rotation 3. Homomorphisme 4. Lien avec le raisonnement du chapitre VII 5. Lien avec les représentations bivaluées Chapitre VIII. Transformation des observables par rotation Introduction A. Opérateurs vectoriels B. Opérateurs tensoriels C. Théorème de Wigner-Eckart D. Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles Complément A VIII . Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 1. Vecteurs 2. Tenseurs 3. Propriétés 4. Critère de tensorialité 5. Tenseurs symétriques et antisymétriques 6. Tenseurs particuliers 7. Tenseurs irréductibles Complément B VIII . Opérateurs tensoriels du second ordre 1. Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels 2. Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général Complément C VIII . Les moments multipolaires 1. Moments multipolaires électriques 2. Moments multipolaires magnétiques 3. Moments multipolaires d un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné Chapitre IX. Groupes SU (2) et SU (3) Introduction A. Système de particules discernables mais équivalentes B. Groupe SU (2) et symétrie d isospin C. Symétrie SU (3) Complément A IX . La nature d une particule est équivalente à un nombre quantique interne 1. Antisymétrisation partielle ou totale d un vecteur d état 2. Correspondance entre les états de deux systèmes physiques 3. Conséquences physiques Complément B IX . Opérateurs changeant la symétrie d un vecteur d état par permutation 1. Fermions 2. Bosons Chapitre X. Brisures de symétrie A. Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation B. Quelques autres exemples Appendice I. Le renversement du temps 1. Renversement du temps en mécanique classique 2. Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique 3. Renversement du sens du temps et antilinéarité 4. Forme explicite de l opérateur de renversement du temps 5. Applications Bibliographie Index
Préface

Philippe Grangier

CNRS - Institut d Optique Graduate School - Ecole Polytechnique.

L a naissance de la mécanique quantique a souvent été comparée à celle de la relativité, initialement introduite en 1905 par Albert Einstein. La force du raisonnement d Einstein a été de partir d idées physiques fondées sur l invariance de la vitesse de la lumière, d en déduire un principe de symétrie très général (équivalence de tous les référentiels inertiels), puis de traduire ces idées en équations, pour enfin construire une théorie conséquence nécessaire de ces équations. Il est ainsi arrivé à la relativité, sous sa forme dite spéciale (ou restreinte). Cette construction déductive a donné aux théories de la relativité, tant spéciale que générale (elle aussi basée sur un principe physique, le principe d équivalence), un caractère particulièrement convaincant. Par opposition en quelque sorte, la découverte de la mécanique quantique n est pas issue d un tel superbe raisonnement abstrait, mais plutôt d une collection de mystères expérimentaux : comment calculer le rayonnement du corps noir, les spectres atomiques, ou l effet photoélectrique ?
Après 25 ans d efforts, de 1900 à 1925, la solution est apparue, comme un algorithme presque magique, fournissant des résultats permettant d expliquer toutes les expériences. En quelques années, il a aussi été démontré que ce formalisme était mathématiquement cohérent, même s il pouvait être écrit sous différentes formes, soit en tant qu équations d onde, soit en tant que mécanique matricielle. Il s agissait donc d un succès fantastique pour la physique, assorti d une énorme réserve : alors que les équations étaient cohérentes et claires, et les prédictions toujours vérifiées, les objets physiques eux-mêmes restaient mal définis. De nombreuses interprétations contradictoires ont donc été proposées, en tentant désespérément de reconstruire des objets et des propriétés à partir de ces extraordinaires équations. Le manque de succès de ces tentatives a pu conduire à la conclusion qu elles étaient irrémédiablement vouées à l échec et qu il n y avait rien, ou alors quelque chose vide de sens, entre les données expérimentales et le formalisme mathématique.
Alors que nous approchons du centenaire de la mécanique quantique, la situation est-elle toujours la même ? Ou est-il possible d identifier quelques pierres blanches le long de ce chemin accidenté, qui pourraient finalement donner un sens à toute la construction ? Et il s agirait ici de revenir à l idée simple qui fonde la physique, en affirmant qu elle décrit bien des objets et leurs prop