La lecture à portée de main
Description
Sujets
Informations
Publié par | colle-mpsi |
Nombre de lectures | 25 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S31
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
DETERMINANTS ET APPLICATIONS
Applicationsnee´nretlaseriae´-lins
D´efinition:Applicationsnserietlae´nr.—seli-ean´SoitE,FdesK-ev,n≥2.
Une applicationϕ:En→Fest diteniae´nil-erelba:sseseiravelleistra`paopnudehccain´eestlparraire
∀(~a1~an)∈En∀i∈[1 n]](x~i∈E)7→ϕ(~a1~ai−1x~ia~i+1~an)ai´eintleseredEversF.
ϕest diteern´ealtesi pour toutn-uplet(~a1~an)∈En, pour tout couple(i j)∈[1 n]]2fiantire´v1≤i < j≤n
et~ai=~aj, on aϕ(~a1 n)~0F.
ai aj a=
~ ~ ~
Notation :lorsqueFest le corps des scalairesK, on dit queϕest une formen´neeusrriaetlreean´li-E. On note
Λn(E)l’ensemble desformesnalreersn´teein-lai´esurE(versK).
Proposition.—Antisym´etriedesformesline´airesaltern´ees—.Soitϕ∈Λn(E). Alors
∀σ∈Sn∀(~x1~xn) ϕ~xσ(1)x~σ(n)=ε(σ)ϕ(x~1~xn)
Th´eor`eme*.—Formesneessernsaltairenie´l-ruEn—.SoitEunK-e.v. de dimensionn∈N⋆,B= (e~1e~n) une
´
base deE, etϕ∈Λn(E). Pour tout (x~1x~n)∈Endprrese´eatemceritatn,eviMB(~x1x~n) = (aij), on a
ϕ(x~1 xn) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2× ×aσ(n)n×ϕ(e~1e~2~en)
~
σ∈Sn
Corollaire*.—Λn(E) est un espace vectoriel de dimension 1.
De´terminantd’unefamilledenvecteurs
De´finition:SoientEunK-e.v. de dimensionn∈N⋆etB= (e~1~en)une base deE. Il existe une formenreai´ein-l
alterne´esurEon,t´eeDetB∈Λn(E), unique, telle queDetB(~e1~en) = 1El.esle´etdiefinap:r
∀(x~1x~2~xn)∈EnDetB(x~1x~2x~n) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2× ×aσ(n)n
σ∈Sn
= (aij) =MB(x~1x~2~xn)devetitaenesr´epellimafalcireamrttsale(x~1x~2~xn)∈Endans la baseB. Le
`A
ou
scalaireDetB(x1x~n)leppele´atsereim´dteedantn(~x1~xn)dans la baseB.
~
The´ore`me.—Formuledechangementdebase—.SoitEunK-e.v. de dimn,BetB′deux bases deE.
Th´eo`
reme.—
∀(~1~xn)∈EnDetB′(~x1x~n) = DetB′(B)×DetB(x~1~xn)
x
se eu1
Caracte´risationdesbases—.SoitEunKev de dimn,B dune baEet (~u~n)∈En
(u~1~un) est une base deEsi et seulement siDetB(~u1~un)6= 0
De´terminantsd’unendomorphis,d’unematricec´
me arree
D´efinition:SoitEunK-e.v. de dimnetf∈ L(E)un endomorphisme deE. Le scalaireDetBf(B)tnstineendad´ep
de la baseBteen,dqenepd´deuef. On appelle ce scalaire leemrninadtde´etf. On le noteDet(f).
Proposition.—SoitEunK-e.v. de dimn, (f g)∈ L(E)× L(E) et (~x1~xn)∈En. Alors
DetBf(~x1) f(x~n)= Det(f)×DetB(~x1~xn)Det(g◦f) = Det(g)×Det(f)
1
Th´eor`eme.—Caracte´risationdesautomorphismes—.SoitEunK-ev de dimn,f∈ L(E).
fest un automorphisme deEsi et seulement siDet(f)6= 0En ce cas, Det(f−1) =Det(f)−1
D´efinition:SoitA∈ Mn(K). On appellereim´dtedelananticematrA= (aij)1≤ij≤nle scalaire :
n
Det(A) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2× aσ(n)n=Xε(σ)Yaσ(i)i
σ∈Snσ∈Sni=1
Corollaire.—SoitEunK-ev de dimnsebaneau´t`epproarB= (e~1e~n).
soit (x~1 ~xn)∈Enet notonsA=MB(~x1x~n). Alors Det(~x1x~n) = Det(A).
soitf∈ L(E) et notonsA=MB(f). Alors Det(f) = Det(A).
Proposition.—SoitA∈ Mn(K). Alors Det(tA) = Det(A).
The´ore`me.—Propri´et´efondamentale:caract´erisationdesmatricesinversibles—.SoitA∈ Mn(K).
Aest inversiblesi et seulement siDet(A)6= 0En ce cas, Det(A−1) =Det(A)−1
Calculdesde´terminants
Proposition*.—D´eterminantd’unematricetriangulaire—.SoitAefniuoerueire´preeurirtcienamue(sulairanguetri
´
d’ordren. Alors Det(Aoesciefficsdntgoiaxuan.)est´eagalpuorudtiedes
Savoir-faire :utiliser lanrietm´sy,peteDednairtruodnurelug-liir´t´naenait,e’l.tnaete´nimr
The´`me*
ore .—
[1 n]],
D´eveloppementparuneligneouunecolonne—.SoitA= (aij)1≤ij≤n∈ Mn(K) et (io jo)∈
n
Det(A) =Xaioj(−1)io+jΔioj
j=1
n
Det(A) =Xaijo(−1)i+joΔijo
i=1
` `
o`uΔij´dsegienel´dteretiartxeeededentnamiictrmalaAen supprimant saiemeligne et sajemecolonne.
Savoir-faire :tıernureaeppraˆaer´ecurrelationdecne.rsuioppeeveld´nuuoengilenutnavirfaurponeonolec
Applicationsdesde´terminants
D´efinition:Comatrice—.SoitA= (aij)1≤ij≤n. Notons pour tout couple(i j)∈[1 n]]2,bij= (−1)i+jΔijle
cofacteur deaij. On appellecomatricedeA, la matrice des cofacteurs deA,B= (bij)1≤ij≤n. On noteB= Com(A)
The´ore`me.—Applicationdude´terminantaucalculdel’inversed’unematrice—.SoitA∈ Mn(K), alors
Aest inversiblesi et seulement siDet(A)6= 0. En ce cas,A−1De=1t(A)tCom(A)
The´ore`me.—Applicationdud´eterminanta`lar´esolutiondessyst`emesdeCramer
Soit (S)AX=Bemt`eedu,sysnnsna`qu´eioatninconnues (x1 x2 xn). Alors
(S) est de Cramer,ssiDet(A)6= 0. En ce cas,laeeap:rsedtno´nsolution∀i∈[1 n]]xDet(Ai)
i=D(teA) .
`uAileitdrparanue`obtericeamatAerpmneatsan¸claieemi`colonne par le second membreB.
o
2