Colle N°31: Déterminants, applications

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S31 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´DETERMINANTSETAPPLICATIONS Applications n-lin´eaires altern´ees D´efinition : Applications n-lin´eaires altern´ees—. Soit E, F des K-ev, n≥ 2. n Une application ϕ :E →F est dite n-lin´eaire si elle est lin´eaire par rapport a` chacune de ses variables : n∀(~a ,...,~a )∈ E , ∀i∈ [1,n]], (~x ∈ E) →ϕ(~a ,...,~a ,~x ,~a ,...,~a ) est lin´eaire de E vers F.1 n i 1 i−1 i i+1 n n 2 ϕ est dite altern´ee si pour tout n-uplet (~a ,...

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 25
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S31

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
DETERMINANTS ET APPLICATIONS

Applicationsnee´nretlaseriae´-lins
D´efinition:Applicationsnserietlae´nr.—seli-ean´SoitE,FdesK-ev,n≥2.
Une applicationϕ:En→Fest diteniae´nil-erelba:sseseiravelleistra`paopnudehccain´eestlparraire
∀(~a1~an)∈En∀i∈[1 n]](x~i∈E)7→ϕ(~a1~ai−1x~ia~i+1~an)ai´eintleseredEversF.
ϕest diteern´ealtesi pour toutn-uplet(~a1~an)∈En, pour tout couple(i j)∈[1 n]]2fiantire´v1≤i < j≤n
et~ai=~aj, on aϕ(~a1  n)~0F.
  ai     aj     a=
~ ~ ~
Notation :lorsqueFest le corps des scalairesK, on dit queϕest une formen´neeusrriaetlreean´li-E. On note
Λn(E)l’ensemble desformesnalreersn´teein-lai´esurE(versK).

Proposition.—Antisym´etriedesformesline´airesaltern´ees—.Soitϕ∈Λn(E). Alors
∀σ∈Sn∀(~x1~xn) ϕ~xσ(1)x~σ(n)=ε(σ)ϕ(x~1~xn)

Th´eor`eme*.—Formesneessernsaltairenie´l-ruEn—.SoitEunK-e.v. de dimensionn∈N⋆,B= (e~1e~n) une
´
base deE, etϕ∈Λn(E). Pour tout (x~1x~n)∈Endprrese´eatemceritatn,eviMB(~x1x~n) = (aij), on a
ϕ(x~1     xn) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2×    ×aσ(n)n×ϕ(e~1e~2~en)
~
σ∈Sn

Corollaire*.—Λn(E) est un espace vectoriel de dimension 1.
De´terminantd’unefamilledenvecteurs
De´finition:SoientEunK-e.v. de dimensionn∈N⋆etB= (e~1~en)une base deE. Il existe une formenreai´ein-l
alterne´esurEon,t´eeDetB∈Λn(E), unique, telle queDetB(~e1~en) = 1El.esle´etdiefinap:r
∀(x~1x~2~xn)∈EnDetB(x~1x~2x~n) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2×    ×aσ(n)n
σ∈Sn
= (aij) =MB(x~1x~2~xn)devetitaenesr´epellimafalcireamrttsale(x~1x~2~xn)∈Endans la baseB. Le
`A
ou
scalaireDetB(x1x~n)leppele´atsereim´dteedantn(~x1~xn)dans la baseB.
~

The´ore`me.—Formuledechangementdebase—.SoitEunK-e.v. de dimn,BetB′deux bases deE.

Th´eo`
reme.—

∀(~1~xn)∈EnDetB′(~x1x~n) = DetB′(B)×DetB(x~1~xn)
x

se eu1    
Caracte´risationdesbases—.SoitEunKev de dimn,B dune baEet (~u~n)∈En

(u~1~un) est une base deEsi et seulement siDetB(~u1~un)6= 0

De´terminantsd’unendomorphis,d’unematricec´
me arree
D´efinition:SoitEunK-e.v. de dimnetf∈ L(E)un endomorphisme deE. Le scalaireDetBf(B)tnstineendad´ep
de la baseBteen,dqenepd´deuef. On appelle ce scalaire leemrninadtde´etf. On le noteDet(f).

Proposition.—SoitEunK-e.v. de dimn, (f g)∈ L(E)× L(E) et (~x1~xn)∈En. Alors
DetBf(~x1)     f(x~n)= Det(f)×DetB(~x1~xn)Det(g◦f) = Det(g)×Det(f)

1

Th´eor`eme.—Caracte´risationdesautomorphismes—.SoitEunK-ev de dimn,f∈ L(E).

fest un automorphisme deEsi et seulement siDet(f)6= 0En ce cas, Det(f−1) =Det(f)−1

D´efinition:SoitA∈ Mn(K). On appellereim´dtedelananticematrA= (aij)1≤ij≤nle scalaire :
n
Det(A) =Xε(σ)aσ(1)1×aσ(2)2×   aσ(n)n=Xε(σ)Yaσ(i)i
σ∈Snσ∈Sni=1

Corollaire.—SoitEunK-ev de dimnsebaneau´t`epproarB= (e~1e~n).
soit (x~1  ~xn)∈Enet notonsA=MB(~x1x~n). Alors Det(~x1x~n) = Det(A).
soitf∈ L(E) et notonsA=MB(f). Alors Det(f) = Det(A).

Proposition.—SoitA∈ Mn(K). Alors Det(tA) = Det(A).

The´ore`me.—Propri´et´efondamentale:caract´erisationdesmatricesinversibles—.SoitA∈ Mn(K).
Aest inversiblesi et seulement siDet(A)6= 0En ce cas, Det(A−1) =Det(A)−1

Calculdesde´terminants

Proposition*.—D´eterminantd’unematricetriangulaire—.SoitAefniuoerueire´preeurirtcienamue(sulairanguetri
´
d’ordren. Alors Det(Aoesciefficsdntgoiaxuan.)est´eagalpuorudtiedes

Savoir-faire :utiliser lanrietm´sy,peteDednairtruodnurelug-liir´t´naenait,e’l.tnaete´nimr

The´`me*
ore .—
[1 n]],

D´eveloppementparuneligneouunecolonne—.SoitA= (aij)1≤ij≤n∈ Mn(K) et (io jo)∈

n
Det(A) =Xaioj(−1)io+jΔioj
j=1

n
Det(A) =Xaijo(−1)i+joΔijo
i=1

` `
o`uΔij´dsegienel´dteretiartxeeededentnamiictrmalaAen supprimant saiemeligne et sajemecolonne.

Savoir-faire :tıernureaeppraˆaer´ecurrelationdecne.rsuioppeeveld´nuuoengilenutnavirfaurponeonolec
Applicationsdesde´terminants

D´efinition:Comatrice—.SoitA= (aij)1≤ij≤n. Notons pour tout couple(i j)∈[1 n]]2,bij= (−1)i+jΔijle
cofacteur deaij. On appellecomatricedeA, la matrice des cofacteurs deA,B= (bij)1≤ij≤n. On noteB= Com(A)

The´ore`me.—Applicationdude´terminantaucalculdel’inversed’unematrice—.SoitA∈ Mn(K), alors

Aest inversiblesi et seulement siDet(A)6= 0. En ce cas,A−1De=1t(A)tCom(A)

The´ore`me.—Applicationdud´eterminanta`lar´esolutiondessyst`emesdeCramer
Soit (S)AX=Bemt`eedu,sysnnsna`qu´eioatninconnues (x1 x2     xn). Alors

(S) est de Cramer,ssiDet(A)6= 0. En ce cas,laeeap:rsedtno´nsolution∀i∈[1 n]]xDet(Ai)
i=D(teA) .

`uAileitdrparanue`obtericeamatAerpmneatsan¸claieemi`colonne par le second membreB.
o

2