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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 26 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
1.
2.a
2.b
3.a
3.b
1.a
Correction
Partie I
, ,
2−1←
1=,2=2−,3=3+2+2−3.
⋯ ⋯
Dans le cas=:=⋮⋮⋱⋱⋮=0⋮−⋱)0(a iv 2←
⋯0 (−)−
−(0)
donc en développant selon la première colonne=⋱=(−)−1.
(−)−[−1]
En transposant, on obtient=(−)−1dans le cas=.
+(−1) ⋯1⋯
1←1+⋯+donne=+(⋮−1) ⋱=(+(−1)) 1⋮⋱.
+(−1) 1
2←2−1,,←−1donne
1⋯
=(+(−1)) 0⋮−⋱0=(+(−1))(−)−1.
0 0−
⋱ ⋮
⋯
⋯0−
0
⋮
0 .
−
2−−
−1.
←
Via←−−1et −−1donne=
0
En développant selon la dernière colonne :
0
⋱ ⋮
= 0⋮= −(−)⋱ ⋮+(2−−)⋱ ⋮
⋯−
0⋯0−2−−0⋯0− ⋯
puis= −(−)(−)−2+(2−−)−et la relation demandée.
La suite ()≥1est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
2−(2−−)+(−)(−)=0 . En reconnaissant somme et produit des racines, les solutions de
cette équation caractéristique sont−et−, elles sont distinctes car≠et donc le terme général
de ( de la forme) est=λ(−)+(−).
Pour= on obtient1 ,λ(−)+(−)=(1)
Pour=2 , on obtientλ(−)2+(−)2=2−(2)
(−)×(1)−(2) donneλ(−)(−)=(−) doncλ=−et de même=−d’où
(−)−(−)
=
.
−
Partie II
En retranchant la première colonne à toutes les autres colonnes, on fait disparaître lesdes colonnes
2,…,. En développant alors le déterminant selon sa première colonne on obtient une somme de
1.b
1.c
2.a
2.b
coefficients qui sont des fonctions affines demultipliés par des cofacteurs qui eux ne dépendent par de
. Ainsi( comme une fonction affine de) apparaît.
Pour= −,(−)=∏(−)=β−α.
=1
Pour= −,(−)=∏(−)=β−α.
=1
α=(−)−(−)=∏=(−)−∏=(−et )
On en déduit1 1
− −
∏(−)−∏(−)
= − +α== =.
β()1−1
∏(−)−∏(−)
== ==
.
(0)β1−=1
Notons, (le coefficient d’indice, la matrice définissant) de. En fixantet en faisant, on
peut percevoir,comme une fonction de:֏,(Cette fonction est continue car soit) .
֏
,()=, soit,( dépend pas de) ne. Puisque()=∑ε(σ)∏σ( ),() , () est
σ∈=1
continue par opération sur les fonctions continue.
Par continuité :()=lim() .
→
∏(−)−∏(−)∏(−)−∏(−)
Or pour≠:()==1−=1donc()=li→m=1−=1.
∏(−)−∏(−) (−+)∏(−)−∏(−)∏(−)−∏(−)
=1 =1==1 =1=∏=(−)−=1 =1
− −1−
Mais li→m ∏(−)=∏(−) et lim∏1(−)−∏1(−)1()11()
=1=1→=−==∏=−== −∑=∏=−.
≠
Finalement, quand=:=∏(−)+∑∏(−) .
=1=1=1
≠