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Publié par | devoir-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelemercredi12novembre2012
DEVOIR LIBRE N˚04
` ´
PROBLEME 1:ordrervaudrpmeeietreecparam`Elnoitauqeriae´ni
Soitn∈N⋆el:itlereneisnore`dcnO.ontiff´di’´eluaeq
xy′+ny+=11x2
(En
)
R´esoudresurI=]0+∞(nsioatqu´ees[lE1), (E2) et (E3).
Pourx >0, on pose
φn(x) =Z0x1tn+−1t2dt
Exprimezlasolutiong´en´eralede(En) surI`dedia’laonctelafionφn.
Enremarquantquepourtoutre´elt∈[0 x],+11x2≤11+t2≤1, donnez un encadrement
deφn(x) puis la limite de :φnx(nx)0.en
De´duisez-enquel’´equation(En) admet surIune solution unique,fneitimelopss,tnnue´ad
finie en 0+mite..esice´rPilettecz
On prolongefnn0eeel.Dnc’ereadtnemedpraoctnniiu´tfn(x) sur [0+∞zeuqudsid,e´[e
′
fnzesice´rP.0neableerivstd´efn(0).
Enutilisantl’´equationdiff´erentielle(Enelzesnesete´nimrndioevadeatri),dfnsur [0+∞[
De´duisez-enquefna une limite finieℓen +∞.
On suppose queℓ >0teitcnnocoonidnsre`efolagnur]0fie´dsein+∞[ par
gn(x) =fn(x) +n2ℓln(x)
De´terminezleslimitesen+∞degn(x) et dexg′n(x). Trouvez
de´duisez-enlavaleurdeℓ.
Donnezl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfn.
1
une
contradiction
et
Fin du sujet