Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAutomatiqueDynamique et Contrôle des SystèmesNICOLAS PETITCentre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques etMINES ParisTechnicolas.petit@mines-paristech.fr1er octobre 2010Amphi 2Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentPlan de l’amphi 21 Systèmes dynamiques2 Propriétés des solutions3 Stabilité4 Étude locale par le linéarisé tangentSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentÉquations différentielles du premier ordredx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m1 1 1 1dtdx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m2 2 1 1dt...dx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n n 1 n 1 mdtT Tforme d’état, x = (x ;:::;x ) : état, u = (u ;:::;u ) : entrée1 n 1 mdx = v(x;u;t)dtTy = (y ;:::;y ) sortie1 qy = h(x;u;t)Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAvec feedbacku = k(t;x); ou u = k(t;y)Système libre (instationnaire ou stationnaire)d dx = v(x;t); x = v(x)dt dtSystème linéaired u = K (t)xx = A(t)x +B(t)udt dx = (A(t) +B(t)K (t))xy = C(t)x +D(t)u dtSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentExistence et unicité des solutionsProblème de Cauchyd 0x(t) = v(x(t);t); x(0) = xdtPropriétés importantes1 existence2 unicité03 dépendance continue par rapport à xSystèmes dynamiques ...
Existence et unicitéThéorème de Cauchy-Lipschitz Soitv(x,t)continue etLipschitzenxdans la région R={|x−x0| ≤b,|t| ≤a}. SoitMla borne supérieuredekvk surR. Il existe une unique solutionx(t)au problème de Cauchy définie sur l’intervalle|t| ≤min(a,Mb)
Fonction Lipschitz Une fonction scalaire(x,t)∈Rn×R→v(x,t)∈Rest Lipschitzenxavec la constantek>0 si
Existence et unicité
pour tout(x1,x2,t)
kv(x1,t)−v(x2,t)k ≤kkx1−x2k
kv(x,t)k ≤M0(t) +M1(t)kxk
Existence pour tout temps n Si pour toutx∈R,
avecM0>0,M1>0 localement intégrables alors la solution (unique) au problème de Cauchy est définie pourt∈]− ∞,+∞[