Automatique, cours AO202

Nicolas Petit

Description

Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAutomatiqueDynamique et Contrôle des SystèmesNICOLAS PETITCentre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques etMINES [e-mail]1er octobre 2010Amphi 2Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentPlan de l’amphi 21 Systèmes dynamiques2 Propriétés des solutions3 Stabilité4 Étude locale par le linéarisé tangentSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentÉquations différentielles du premier ordredx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m1 1 1 1dtdx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m2 2 1 1dt...dx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n n 1 n 1 mdtT Tforme d’état, x = (x ;:::;x ) : état, u = (u ;:::;u ) : entrée1 n 1 mdx = v(x;u;t)dtTy = (y ;:::;y ) sortie1 qy = h(x;u;t)Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAvec feedbacku = k(t;x); ou u = k(t;y)Système libre (instationnaire ou stationnaire)d dx = v(x;t); x = v(x)dt dtSystème linéaired u = K (t)xx = A(t)x +B(t)udt dx = (A(t) +B(t)K (t))xy = C(t)x +D(t)u dtSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentExistence et unicité des solutionsProblème de Cauchyd 0x(t) = v(x(t);t); x(0) = xdtPropriétés importantes1 existence2 unicité03 dépendance continue par rapport à xSystèmes dynamiques ...

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Extrait

SystèmesdynamiqeuPsorrpéiétdsselusoontitasSlibitÉétledulacorapenéarleliangeiséttn

Centre Automatique et Systèmes Unité Mathématiques et Systèmes MINES ParisTech [e-mail]

N ICOLAS P ETIT

Automatique Dynamique et Contrôle des Systèmes

1er octobre 2010 Amphi 2

SsyètemdsnymaitulosseibatSsnorosPueiqsdtéiéprilénraelténarasiÉtudlitéalepeloctneg

Systèmes dynamiques

4

Stabilité

1

Étude locale par le linéarisé tangent

Propriétés des solutions

Plan de l’amphi 2

3

2

esquminaétriopPrlossedsétSsnoituySseydtsmèngtatenabilitéÉtudelocaelaplrleniaéirés

Équations différentielles du premier ordre

d d t x 1 =v 1 (x 1 , ...,x n ,u 1 , ...,u m ,t) d 2 =v 2 (x 1 , ...,u m ,t) x dt 1 , ...,x n ,u

.

d d t x n =v n (x 1 , ...,x n ,u 1 , ...,u m ,t) forme d’état,x= (x 1 , ...,x n ) T :état,u= (u 1 , ...,u m ) T :entrée d d x=v(x,u,t) t

y=h(x,u,t)

y= (y 1 , ...,y q ) T sortie

SsysdyntèmeuesPamiqétéirporulossedstasSontiÉttélibiegnatnraéntésiareplileeludaloc

d d t x=A(t)x+B(t)u y=C(t)x+D(t)u

u=K(t)x d d t x= (A(t) +B(t)K(t))x

Avec feedback

u=k(t,x),ouu=k(t,y)

d d t x=v(x,t),

d d t x=v(x)

Système libre (instationnaire ou stationnaire)

Système linéaire

uqimrPseirposétéssdeutolnsioabStSystèmesdynatngenatésiraénilelraplecalodetuéÉitil

Existence et unicité des solutions

Problème de Cauchy

d d t x(t) =v(x(t),t),

x(0) =x 0

Propriétés importantes 1 existence 2 unicité 3 dépendance continue par rapport àx 0

SorPséirpdsétossetèyssdmeamynueiqlecotÉduraellapeonsSlutilitétabiisarnélintgeanét

Existence et unicitéThéorème de Cauchy-Lipschitz Soitv(x,t)continue etLipschitzenxdans la région R={|x−x 0 | ≤b,|t| ≤a}. SoitMla borne supérieuredekvk surR. Il existe une unique solutionx(t)au problème de Cauchy définie sur l’intervalle|t| ≤min(a, M b )

Fonction Lipschitz Une fonction scalaire(x,t)∈R n ×R→v(x,t)∈Rest Lipschitzenxavec la constantek>0 si

Existence et unicité

pour tout(x 1 ,x 2 ,t)

kv(x 1 ,t)−v(x 2 ,t)k ≤kkx 1 −x 2 k

kv(x,t)k ≤M 0 (t) +M 1 (t)kxk

Existence pour tout temps n Si pour toutx∈R,

avecM 0 >0,M 1 >0 localement intégrables alors la solution (unique) au problème de Cauchy est définie pourt∈]− ∞,+∞[

Propriétés avancées

netatgnirésedutÉétilibatSsnéainelrlpalecaloesdynamiquesPropirtéséedsslotuoiySmèts

stSynadyesèm

Dépendance en la condition initiale

Propriétés avancées (suite)

Si ∂v continues par rapport àxett, alors la solution du ∂x i problème de Cauchy est continûment différentiable par rapport àx 0

tenngriopésétqumiPressnoibatSssedtulodelocaleilitéÉtuaéirésataplrleni

n egnatnarnéétisarepliledulecolaibiléttÉtionsStasdessoluétéirporPseuqimaynsdmetèysS

Stabilité

Stabilité asymptotique L’équilibrex ¯ ∈R n estasymptotiquement stables’il est stable et si, de plus,∃η >0 tel que

lorsquet−→+∞

Stabilité L’équilibrex ¯ ∈Reststablesi et seulement si∀ >0,∃η >0 tel∀x 0 ,kx 0 −x ¯ k ≤η, la solution de dt d x=v(x,t)issue dex 0 à t=0 vérifie kx(t)−x ¯ k ≤,∀t≥0

x ¯ est point d’équilibredex ˙ =v(x,t), siv(x ¯ ,t) =0 (pour toutt)

kx 0 −x ¯ k ≤η,impliquex(t)−→x ¯

SystèmesparlcaleéarielinlititSbaedolÉéutssdeésétnsioutoluqimanydirporPsettaséenng

¯ xstable

Pendule amorti ou non amorti d d t 2 2 x+k d d x t + g R sinx=0

x ¯ asympt. stable

Exemple

tniopsec

d dt x 1 =−a 1 x 1 −x 2 x 1 +a 2 d d t x 2 =−x 2 +x 12

Exemple de plan de phases

Portrait de phases d’un système non linéaire

s tèmeSysqimanydsrporPseuessdtéiéontilusoSsatibiléttÉduleocaleparlelinéartésiegnatn tiplicitMulst’dqéiudéseopniormpmetebrlicoe,otua ed ruidtnsrev