66666Universit´e de Provence -Licence MI 1`ere ann´ee-S2Algèbrelinéaire16 CaractérisationdesbasesDans toute cette section E est unK-espace vectoriel avecK un corps (R ouC).Proposition 1. Une famille de vecteurs e = (e ) est li´ee si et seulement si un des vecteursi i∈Ide e s’´ecrit comme C.L. des autres.D´emonstration. Si e est li´ee alors il existe une C.L. de vecteurs de e a` coefficients non nuls quiXdonne 0 :∃J ⊂I fini tel que λ e = 0 avec les λ dans le corpsK et∃k∈J tel que λ = 0.i i i ki∈JX X−1Donc λ e + λ e = 0 d’ou` e =− λ λ e : e est C.L. des autres vecteurs de e.k k i i k i i kki∈J\{k} i∈J\{k} XR´eciproque:Sie ∈eestC.L.desautresvecteursdeealors∃J ⊂I finitelquee = λ ek k i ii∈J\{k}Xavec les λ dans le corpsK. Donc 0 =e − λ e . La famille est li´ee. i k i ii∈J\{k}3Exemple1. DansR ,{(2,0,0),(0,3,0),(4,6,0)} estli´eecar(4,6,0) = 2×(2,0,0)+2×(0,3,0).Proposition2. Une famille e = (e ) est une base de E si et seulement si tout vecteur de Ei i∈Is’´ecrit d’une mani`ere unique comme C.L. des vecteurs de e.D´emonstration. (⇒) Comme e est g´en´eratrice, tout vecteur s’´ecrit comme C.L. des vecteursX Xde e. Supposons que x∈E soit ´egal `a deux C.L. d’´el´ements de e : x = λ e = μ e aveci i i ii∈J i∈LJ ⊂I, L⊂I tous deux finis. Si on pose M =J∪L, alors M est fini. On d´efinit alors λ si i∈J μ si i∈L′ i ′ iλ = μ =i i0 si i∈M\J 0 si i∈M\LX X X′ ′ ′ ′ ′On a alorsx = λ e = μ e d’ou` (λ −μ )e = 0. Donc∀i∈M,λ =μ car la famillei i i ii i i i ii∈M ...
6 Caractérisationdes bases Dans toute cette sectionEest unKespace vectoriel avecKun corps (RouC). Proposition 1.Une famille de vecteurse= (ei)i∈Ie´etsilesi et seulement siun des vecteurs deeauesestr.’s.d.LeCmmcoitcr´e
D´emonstration.SieeiltsesdnuCeL.d.veceetru´eealorsilexisteeqslunnoniuco`atsencieffi X donne 0 :∃J⊂Ifini tel queλiei= 0 avec lesλidans le corpsKet∃k∈Jtel queλk6= 0. i∈J X X −1 Doncλkek+λieio`u=0d’ek=−λ λiei:ekest C.L. des autres vecteurs dee. k i∈J\{k}i∈J\{k} X Re´ciproque:Siek∈eest C.L. des autres vecteurs deealors∃J⊂Ifini tel queek=λiei i∈J\{k} X avec lesλidans le corpsK. Donc 0 =ek−λiei.faLallmitseee´il.e i∈J\{k} 3 Exemple 1.DansR,{(2,0,0),(0,3,0),(4,6,0)}(racee´iltse4,6,0) = 2×(2,0,0)+2×(0,3,0). Proposition 2.Une famillee= (ei)i∈Iest une base deEsi et seulement sitout vecteur deE s’´ecritd’unemani`ereuniquecommeC.L.desvecteursdee.
De´monstration.(⇒) Commeet,uovtceetru’se´estg´en´eratricerseuctvesed.L.Cemmoctirc X X dee. Supposons quex∈EL.d’uxC.`adeegalio´tsedst´le´nemee:x=λiei=µieiavec i∈J i∈L J⊂I,L⊂Itous deux finis. Si on poseM=J∪L, alorsMestrsfieinatolnfi.inO´d ′λisii∈J′µisii∈L λ=µ= i i 0 sii∈M\J0 sii∈M\L X XX ′ ′′ ′′ rsx=µ e`u’od(λ−µ)e= 0. Donc∀i∈M,λ=µcar la famille On a aloλiei=ii ii ii i i∈M i∈M i∈M eocffielusestonicnessonnnulmˆemtles.)seestlibD.erlcnoL.Catse.mˆlae(emseauo`ns Re´ciproque(⇐ouit:S)urteectvlsromafaitislanoecd´poommeadnetuilleertci.eeLg´en´eraest vecteurnuladmetunede´compositionavectouslescoefficientsnuls.Commecetted´ecomposition est unique alors la famille est libre. Définition 3.Les scalairesλiunnsdaL.’aesaseb’led.Ceuqinueesdonn´eeltnppleoodrelcsx dans la base.
Onadoncvuquesedonnerlescoordonn´eesdexieevrcteurevelrennodesa`tnxo`ul’aspcetd’ pratique des bases. 2 Exemple 2.DansR, (1,0) et (0,1) forment une base. Trouvons d’autres bases. Un seul vecteur estil suffisant? Siu= (a, b)6= (0,0). Supposonsb6= 0 (sinona6= 0). Le vecteurun’est pas 2 ge´n´erateurdeR. En effet siw= (a+ 1, b) =λ(a, b) alorsλ= 1 commeb6= 0 et donca=+ 1a soit 1 = 0. Contradiction!
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2 Il faut plus d’un vecteur pour former une base deR. Soientu= (a, b) etv= (c, d). Pour que {u, v}soit une base il faut queλu+µv= 0⇒(λ= 0 etµ= 0). λa+µc= 0 λu+µv= 0⇔ λb+µd= 0 Onmultiplielapremie`religneparbrdaueeltemapixe`a. En soustrayant on obtientµ(ad−bc) = 0.Demˆemeenmultipliantlapremie`relignepardxuedme`irapeetlac, puis en soustrayant on obtientλ(ad−bc) = 0. Ainsi siad−bc6= 0 alorsλ=µ= 0 donc{u, v}est libre. Siad−bc= 0 alorsd×u−b×v= 0. Donc (u, v) est libresi et seulement siad−bc6= 0. Siad−bc6= 0, estce que la famille{u, v}´gneetsrtcie´are.Siw= (x, y), alorsw=λu+µvest ´equivalentausyst`eme: λa+µc=x λb+µd=y Parlamˆemem´ethodequepr´ece´demmentontrouveµ= (bx−ya)/(bc−ad) etλ= (dx− yc)/(ad−bc).imllaLafodcneets´erag´ene.tric En conclusion{u, v}est une basesi et seulement siad−bc6= 0.
2 Et si maintenant on se donne trois vecteurs deR:{u, v, w}? Si{u, v}est une base alorswest C.L. deuetvmifalancdooniS.ee´iltseelln{u, v}e`edtelciaeremtnr`apceesipquecr´se´ilt’dee 2 unesurfamilled’unefamillelie´eestli´ee.OntrouvedoncquedansRles bases sont toutes de cardinal2.Lanotiondedimensioncommence`asedessiner.
Maintenanton´enonceunth´eor`emefondamentalsansled´emontrer: Théorème 4.Tout espace vectoriel admet une base.
Lade´monstrationdecethe´or`emereposesurlelemmedeZornquiestequivalent`a“l’axiomedu Choix”(Silade´monstrationvousint´eressejepourraivousdonnerdesre´f´erencesa`consulter.) Définition 5.Un espace vectoriel est dit de dimension finiesi et seulement siil admet une base finie.
On introduit naturellement Définition 6.Un espace vectoriel est dit de dimension infinie s’il n’est pas de dimension finie. Proposition 7.Une sousfamille d’une famille libre de vecteurs est libre.
De´monstration.Soite= (ei)i∈Iune famille libre et soitJ⊂I. Si∃L⊂J,Lfini et des X coefficientsλi,i∈L, tels que 0 =λieialors commeL⊂Iet commeeest libre cela i∈L implique que tous lesλisont nuls. Donc (ei)i∈Jest libre. Proposition 8.trraeeicg´st´eenrtar.eciUnesurfamilled’nufemaliel´gnee´
De´monstration.Soite⊂f. Si tout vecteur deEtcriec’´L.C.meometcevsedsedsruealors,a fortioriuesredd.seevtcmmco.LeC´es’itcrli,f. Onvoitmaintenantuncaracte´risationimportantedesbases: Proposition 9.SoitEunKespace vectoriel ete= (ei)i∈Iune famille de vecteurs deE. Il y a e´quivalenceentre:
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1.eest une base 2.eest une famille libre maximale 3.ee´´nretaafimllgeestunelemacerinimi
Par ‘libre maximale’ on veut dire que si l’on rajoute devientlie´e.Par‘ge´n´eratriceminimale’onveutdire familleellen’estplusg´en´eratrice.
un vecteur que si l’on
quelconquea` retire un des
la famille, elle vecteurs de la
D´emonstration.1.⇒2.Sieest une base alorseest libre. Six∈E\ealorsxs’´ecirctmoem C.L. des vecteurs deedonce∪ {x}´ee.Doncestlieest libre maximale.
2.⇒1. eest libre maximale. Six∈E\ealorse∪ {x}tli´esetsixelicnoD.eeJ∈Ifini tel X X que 0 =λx+λieiavec lesλ,λinon tous nuls. Siλ= 0 alors 0 =λieice qui donne que i∈J i∈J X −1 lesλisont nuls care; doncest libreλ6= 0 et ainsix=−λ λiei. Doncx∈Vect(e).eest i∈J g´ene´ratrice.
1.⇒3. etairecS.gte´´nrestpasminiellen’esrolaelamies∃k∈Itel que (ei)i∈I\{k}se´iogt ne´ratrice.Doncekest C.L. des vecteurs de (ei)i∈I\{k}, donceli´ee,orc’estuneabes:tse contradiction !Donce.n´´etgesecirtareelaminim
3.⇒1.Soite´en´girecqrseetuaratmneoliMm.ninoeest libre. Sieli´eestsrolae∃k∈Itel que X ekest C.L. des autres vecteurs :ek=µieiavecL⊂Ifini. Six∈Ealorsx=λkek+ i∈L\{k} X XX λiei, avecJ⊂Ifini, caregte´setair´nredona.Ocencx=λkµiei+λiei, i∈J\{k}i∈L\{k}i∈J\{k} autrement ditxest C.L. des vecteurs de (ei)i∈I\{k}. Ainsi la famille (ei)i∈I\{k}seceriatern´´etg ce qui nie queeidaroitc.elatnoCDon!ncti´gosinimicemratren´eeeetsilrb´ieeE.llst’eslpaen eteest une base. n n+1 Proposition 10.Soite= (e1,∙ ∙ ∙, en)∈Eetf= (f1,∙ ∙ ∙, fn+1)∈(Vect(e)) .Alorsfest li´ee.
De´monstration.nproc`edeparr´ecruercnseruOn. 2 n= 1 (initialisation)e= (e1). Soitf= (f1, f2)∈Vect(e1) . Doncf1=λ1e1etf2=λ2e2. Si −1−1 inone=λ=λ f λ1ouλ2=0 alors la famillefltsecarei´eeontillecveceneltunsletru1 1f1 22 −1 donleestlie´e. et doncf1=λ1λ2f2c la famil