Cours-bases

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66666Universit´e de Provence -Licence MI 1`ere ann´ee-S2Algèbrelinéaire16 CaractérisationdesbasesDans toute cette section E est unK-espace vectoriel avecK un corps (R ouC).Proposition 1. Une famille de vecteurs e = (e ) est li´ee si et seulement si un des vecteursi i∈Ide e s’´ecrit comme C.L. des autres.D´emonstration. Si e est li´ee alors il existe une C.L. de vecteurs de e a` coefficients non nuls quiXdonne 0 :∃J ⊂I fini tel que λ e = 0 avec les λ dans le corpsK et∃k∈J tel que λ = 0.i i i ki∈JX X−1Donc λ e + λ e = 0 d’ou` e =− λ λ e : e est C.L. des autres vecteurs de e.k k i i k i i kki∈J\{k} i∈J\{k} XR´eciproque:Sie ∈eestC.L.desautresvecteursdeealors∃J ⊂I finitelquee = λ ek k i ii∈J\{k}Xavec les λ dans le corpsK. Donc 0 =e − λ e . La famille est li´ee. i k i ii∈J\{k}3Exemple1. DansR ,{(2,0,0),(0,3,0),(4,6,0)} estli´eecar(4,6,0) = 2×(2,0,0)+2×(0,3,0).Proposition2. Une famille e = (e ) est une base de E si et seulement si tout vecteur de Ei i∈Is’´ecrit d’une mani`ere unique comme C.L. des vecteurs de e.D´emonstration. (⇒) Comme e est g´en´eratrice, tout vecteur s’´ecrit comme C.L. des vecteursX Xde e. Supposons que x∈E soit ´egal `a deux C.L. d’´el´ements de e : x = λ e = μ e aveci i i ii∈J i∈LJ ⊂I, L⊂I tous deux finis. Si on pose M =J∪L, alors M est fini. On d´efinit alors λ si i∈J μ si i∈L′ i ′ iλ = μ =i i0 si i∈M\J 0 si i∈M\LX X X′ ′ ′ ′ ′On a alorsx = λ e = μ e d’ou` (λ −μ )e = 0. Donc∀i∈M,λ =μ car la famillei i i ii i i i ii∈M ...

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Universit´edeProvence Licence MI

Algèbre linéaire 1

 1e`reanne´eS2

6 Caractérisationdes bases Dans toute cette sectionEest unKespace vectoriel avecKun corps (RouC). Proposition 1.Une famille de vecteurse= (e i ) i∈I e´etsilesi et seulement siun des vecteurs deeauesestr.’s.d.LeCmmcoitcr´e

D´emonstration.SieeiltsesdnuCeL.d.veceetru´eealorsilexisteeqslunnoniuco`atsencieffi X donne 0 :∃J⊂Ifini tel queλ i e i = 0 avec lesλ i dans le corpsKet∃k∈Jtel queλ k 6= 0. i∈J X X −1 Doncλ k e k +λ i e i o`u=0d’e k =−λ λ i e i :e k est C.L. des autres vecteurs dee. k i∈J\{k}i∈J\{k} X Re´ciproque:Sie k ∈eest C.L. des autres vecteurs deealors∃J⊂Ifini tel quee k =λ i e i i∈J\{k} X avec lesλ i dans le corpsK. Donc 0 =e k −λ i e i .faLallmitseee´il.e i∈J\{k} 3 Exemple 1.DansR,{(2,0,0),(0,3,0),(4,6,0)}(racee´iltse4,6,0) = 2×(2,0,0)+2×(0,3,0). Proposition 2.Une famillee= (e i ) i∈I est une base deEsi et seulement sitout vecteur deE s’´ecritd’unemani`ereuniquecommeC.L.desvecteursdee.

De´monstration.(⇒) Commeet,uovtceetru’se´estg´en´eratricerseuctvesed.L.Cemmoctirc X X dee. Supposons quex∈EL.d’uxC.`adeegalio´tsedst´le´nemee:x=λ i e i =µ i e i avec i∈J i∈L J⊂I,L⊂Itous deux finis. Si on poseM=J∪L, alorsMestrsfieinatolnfi.inO´d   ′ λ i sii∈J ′ µ i sii∈L λ=µ= i i 0 sii∈M\J0 sii∈M\L X XX ′ ′′ ′ ′ rsx=µ e`u’od(λ−µ)e= 0. Donc∀i∈M,λ=µcar la famille On a aloλ i e i = i i ii ii i i∈M i∈M i∈M eocffielusestonicnessonnnulmˆemtles.)seestlibD.erlcnoL.Catse.mˆlae(emseauo`ns Re´ciproque(⇐ouit:S)urteectvlsromafaitislanoecd´poommeadnetuilleertci.eeLg´en´eraest vecteurnuladmetunede´compositionavectouslescoefficientsnuls.Commecetted´ecomposition est unique alors la famille est libre. Définition 3.Les scalairesλ i unnsdaL.’aesaseb’led.Ceuqinueesdonn´eeltnppleoodrelcsx dans la base.

Onadoncvuquesedonnerlescoordonn´eesdexieevrcteurevelrennodesa`tnxo`ul’aspcetd’ pratique des bases. 2 Exemple 2.DansR, (1,0) et (0,1) forment une base. Trouvons d’autres bases. Un seul vecteur estil suffisant? Siu= (a, b)6= (0,0). Supposonsb6= 0 (sinona6= 0). Le vecteurun’est pas 2 ge´n´erateurdeR. En effet siw= (a+ 1, b) =λ(a, b) alorsλ= 1 commeb6= 0 et donca=+ 1a soit 1 = 0. Contradiction!

1

2 Il faut plus d’un vecteur pour former une base deR. Soientu= (a, b) etv= (c, d). Pour que {u, v}soit une base il faut queλu+µv= 0⇒(λ= 0 etµ= 0).  λa+µc= 0 λu+µv= 0⇔ λb+µd= 0 Onmultiplielapremie`religneparbrdaueeltemapixe`a. En soustrayant on obtientµ(ad−bc) = 0.Demˆemeenmultipliantlapremie`relignepardxuedme`irapeetlac, puis en soustrayant on obtientλ(ad−bc) = 0. Ainsi siad−bc6= 0 alorsλ=µ= 0 donc{u, v}est libre. Siad−bc= 0 alorsd×u−b×v= 0. Donc (u, v) est libresi et seulement siad−bc6= 0. Siad−bc6= 0, estce que la famille{u, v}´gneetsrtcie´are.Siw= (x, y), alorsw=λu+µvest ´equivalentausyst`eme:  λa+µc=x λb+µd=y Parlamˆemem´ethodequepr´ece´demmentontrouveµ= (bx−ya)/(bc−ad) etλ= (dx− yc)/(ad−bc).imllaLafodcneets´erag´ene.tric En conclusion{u, v}est une basesi et seulement siad−bc6= 0.

2 Et si maintenant on se donne trois vecteurs deR:{u, v, w}? Si{u, v}est une base alorswest C.L. deuetvmifalancdooniS.ee´iltseelln{u, v}e`edtelciaeremtnr`apceesipquecr´se´ilt’dee 2 unesurfamilled’unefamillelie´eestli´ee.OntrouvedoncquedansRles bases sont toutes de cardinal2.Lanotiondedimensioncommence`asedessiner.

Maintenanton´enonceunth´eor`emefondamentalsansled´emontrer: Théorème 4.Tout espace vectoriel admet une base.

Lade´monstrationdecethe´or`emereposesurlelemmedeZornquiestequivalent`a“l’axiomedu Choix”(Silade´monstrationvousint´eressejepourraivousdonnerdesre´f´erencesa`consulter.) Définition 5.Un espace vectoriel est dit de dimension finiesi et seulement siil admet une base finie.

On introduit naturellement Définition 6.Un espace vectoriel est dit de dimension infinie s’il n’est pas de dimension finie. Proposition 7.Une sousfamille d’une famille libre de vecteurs est libre.

De´monstration.Soite= (e i ) i∈I une famille libre et soitJ⊂I. Si∃L⊂J,Lfini et des X coefficientsλ i ,i∈L, tels que 0 =λ i e i alors commeL⊂Iet commeeest libre cela i∈L implique que tous lesλ i sont nuls. Donc (e i ) i∈J est libre. Proposition 8.trraeeicg´st´eenrtar.eciUnesurfamilled’nufemaliel´gnee´

De´monstration.Soite⊂f. Si tout vecteur deEtcriec’´L.C.meometcevsedsedsruealors,a fortioriuesredd.seevtcmmco.LeC´es’itcrli,f. Onvoitmaintenantuncaracte´risationimportantedesbases: Proposition 9.SoitEunKespace vectoriel ete= (e i ) i∈I une famille de vecteurs deE. Il y a e´quivalenceentre:

2

1.eest une base 2.eest une famille libre maximale 3.ee´´nretaafimllgeestunelemacerinimi

Par ‘libre maximale’ on veut dire que si l’on rajoute devientlie´e.Par‘ge´n´eratriceminimale’onveutdire familleellen’estplusg´en´eratrice.

un vecteur que si l’on

quelconquea` retire un des

la famille, elle vecteurs de la

D´emonstration.1.⇒2.Sieest une base alorseest libre. Six∈E\ealorsxs’´ecirctmoem C.L. des vecteurs deedonce∪ {x}´ee.Doncestlieest libre maximale.

2.⇒1. eest libre maximale. Six∈E\ealorse∪ {x}tli´esetsixelicnoD.eeJ∈Ifini tel X X que 0 =λx+λ i e i avec lesλ,λ i non tous nuls. Siλ= 0 alors 0 =λ i e i ce qui donne que i∈J i∈J X −1 lesλ i sont nuls care; doncest libreλ6= 0 et ainsix=−λ λ i e i . Doncx∈Vect(e).eest i∈J g´ene´ratrice.

1.⇒3. etairecS.gte´´nrestpasminiellen’esrolaelamies∃k∈Itel que (e i ) i∈I\{k} se´iogt ne´ratrice.Donce k est C.L. des vecteurs de (e i ) i∈I\{k} , donceli´ee,orc’estuneabes:tse contradiction !Donce.n´´etgesecirtareelaminim

3.⇒1.Soite´en´girecqrseetuaratmneoliMm.ninoeest libre. Sieli´eestsrolae∃k∈Itel que X e k est C.L. des autres vecteurs :e k =µ i e i avecL⊂Ifini. Six∈Ealorsx=λ k e k + i∈L\{k} X XX λ i e i , avecJ⊂Ifini, caregte´setair´nredona.Ocencx=λ k µ i e i +λ i e i , i∈J\{k}i∈L\{k}i∈J\{k} autrement ditxest C.L. des vecteurs de (e i ) i∈I\{k} . Ainsi la famille (e i ) i∈I\{k} seceriatern´´etg ce qui nie queeidaroitc.elatnoCDon!ncti´gosinimicemratren´eeeetsilrb´ieeE.llst’eslpaen eteest une base. n n+1 Proposition 10.Soite= (e 1 ,∙ ∙ ∙, e n )∈Eetf= (f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )∈(Vect(e)) .Alorsfest li´ee.

De´monstration.nproc`edeparr´ecruercnseruOn. 2 n= 1 (initialisation)e= (e 1 ). Soitf= (f 1 , f 2 )∈Vect(e 1 ) . Doncf 1 =λ 1 e 1 etf 2 =λ 2 e 2 . Si −1−1 inone=λ=λ f λ 1 ouλ 2 =0 alors la famillefltsecarei´eeontillecveceneltunsletru 1 1 f 1 22 −1 donleestlie´e. et doncf 1 =λ 1 λ 2 f 2 c la famil

Onsupposelaproprie´t´evraieaurangnet on la montre au rangn+1. Soitf= (f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+2 )∈ n+2 Vect(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n+1 ) .SoitF= Vect(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n ), alors f 1 =h 1 +α 1 e n+1 , . n+2 f n+2 =h n+2 +α n+2 e n+1 ,(u`oh 1 ,∙ ∙ ∙, h n+2 )∈F . n+2 Si∀i∈ {1,∙ ∙ ∙, n+ 2}, α i = 0 alorsf∈Vect(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n )esrcuedes´eerpyhr`hto´iltapee rence. S’il existei∈ {1,∙ ∙ ∙, n+2}, α i 6= 0. On prendα n+2 6encnsdvoolre´eerarse`utrttueiq(0=

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