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Publié par | profil-zyak-2012 |
Publié le | 01 novembre 2007 |
Nombre de lectures | 115 |
Langue | Français |
Poids de l'ouvrage | 4 Mo |
Extrait
´Universite Joseph Fourier - Grenoble I
`THESE
pour obtenir le grade de
´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
Sp´ecialit´e : “Math´ematiques Appliqu´ees”
pr´epar´ee au laboratoire Jean Kuntzmann
´dans le cadre de l’Ecole Doctorale
“Math´ematiques, Sciences et Technologies de l’Information, Informatique”
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 30 Novembre 2007
par
Carine Lucas
Effets de petites ´echelles, du tenseur des contraintes,
des conditions au fond et `a la surface
sur les ´equations de Saint-Venant.
Directeurs de th`ese :
Didier Bresch, Christine Kazantsev
JURY
´M. St´ephane Labbe PR, Universit´e Joseph Fourier Pr´esident
´M. Emmanuel Fr´enod PR, Universit´e de Bretagne Sud Rapporteur
M. Daniel Le Roux PR, Universit´e de Laval, Qu´ebec Rapporteur
M. Mohamed Naaim DR, Cemagref de Grenoble Examinateur
M. Didier Bresch DR, Universit´e de Savoie Directeur de th`ese
Mme Christine Kazantsev MCF, Universit´e Joseph Fourier Co-directrice de th`eseRemerciements.
Tout d’abord, je tiens a` remercier vivement Didier Bresch et Christine Kazantsev
d’avoir encadr´e cette th`ese. Plus particuli`erement, merci a` Didier de m’avoir montr´e qu’il est
possible de travailler diff´eremment en menant plusieurs batailles de front, de m’avoir incit´ee
a` viser toujours plus haut et de m’avoir permis de collaborer avec d’autres personnes; merci
a` Christine pour son aide pr´ecieuse, notamment lorsque j’ai duˆ apprivoiser le Fortran.
Ungrandmerci´egalement `aAntoineRousseauquim’a´enorm´ementapport´etoutaulong
decettederni`ereann´ee.J’aivraimentappr´eci´elafac¸ondonts’estd´eroul´eenotrecollaboration,
et j’esp`ere que nous aurons encore l’occasion de travailler ensemble.
´Jesouhaite aussiremercier EmmanuelFrenodet DanielLe Rouxd’avoir rapport´ecette
th`ese et, par leurs commentaires, de m’avoir aid´ee `a l’am´eliorer. Merci ´egalement `a St´ephane
´Labbe d’avoir pr´esid´e ce jury et `a Mohamed Naaim d’avoir accept´e d’en faire partie.
Mercia`tousceuxdelatourIRMAavec quij’aipartag´e cesann´ees,aussibienlesmembres
del’´equipe MOISE,ou` ilr`egne unetr`es bonneambiance, queles doctorants dulabo.Je pense
en particulier a` ceux qui sont partis depuis plusieurs mois maintenant, Aude, Basile, Claire,
Julie,Laurent,Olivier-s,ceuxquisontsurlafin,Ir`ene,Yann,Claire-s,sansoublier“lasalle3”
(ausenslarge), C´eline,Morgan,Marc,Elise,Cyril,William, Ehouarn,Florian,ainsiquecelles
qui´etaient d´ej`a `amescˆot´es surles bancsdel’Institut Fourier, Claire et Nath. Jerajoute Jean
`a cette liste, mˆeme si le LAMA n’est pas tout a` fait mon laboratoire!
Une pens´ee aussi pour Claudine, Imma, Juana et Cathy qui essayent toujours de nous sim-
plifier la vie au maximum.
Enfin, un ´enorme merci `a Maman qui m’a toujours soutenue et conseill´ee, en particulier
dans les moments difficiles, et qui a mˆeme accept´e de partir `a la recherche des fautes d’ortho-
graphedecemanuscrit!Merciaussi`amonp’titfr`erepourlesmomentspass´esaut´el´ephone ...
c’est justement a` toi Jean-Michel que je laisse la plume, plume que tu avais prise quelques
jours apr`es un rapide passage en salle 3 : cherchez bien, tous les d´etails y sont!
iTable des notations
z
D domaine consid´er´e, h(t,x) H(t,x)
h(t,x) surface libre,
b(t,x)
xb(x) ou b(t,x) topographie,
H(t,x) hauteur de la colonne de fluideH(t,x) =h(t,x)−b(t,x),
U =(u,w) vitesse, avec u la composante horizontale, w la composante verticale,
⊥ψ fonction courant, d´efinie par u=∇ ψ,
D(U) partie sym´etrique du gradient de vitesse, tenseur des d´eformations,
W(U) partie anti-sym´etrique du gradient de vitesse,
(e ,e ,e ) base canonique,1 2 3
(v ,v ,v ) composantes du vecteur v dans la base canonique,1 2 3
v¯ moyenne verticale du vecteur v sur la hauteur du fluide,
⊥V vecteur orthogonal au vecteur V
⊥si V =(V ,V ), alors V =(−V ,V ),1 2 2 1
σ tenseur total des contraintes,
σ tenseur des contraintes suppl´ementaires,
τ tenseur de cisaillement,
Ω vitesse de rotation de la Terre,
θ latitude,
g constante universelle de gravitation,
a coefficient de capillarit´e,
A coefficient de capillarit´e non-dimensionnel,
κ courbure moyenne,
k =1/ℓ coefficient de frottement,
K coefficient de frottement non-dimensionnel,
k coefficient de frottement turbulent,t
K coefficient de frottement turbulent non-dimensionnel,t
p pression,
, λ viscosit´es,
ν viscosit´e non-dimensionnelle,
ε rapport des ´echelles caract´eristiques du fluide,
Ro nombre de Rossby (voir d´efinition page 15),
Fr nombre de Froude,
2 2F =Fr /Ro coefficient qui lie les nombres de Froude et de Rossby,
k=(k ,k )1 2 nombres d’onde,
K=(K ,K )1 2
ω, W pulsations,
iiiiv. Table des notations.
λ temps de relaxation,
G taux de plasticit´e,
r rapport entre l’´elasticit´e et la viscosit´e,
q =Hu d´ebit,
ǫ, η petits param`etres,
X =x/ǫ variable rapide en espace,
χ=ǫx variable lente en espace,
ˆf transform´ee de Fourier de la fonction f,
J(f,g) jacobien des fonctions f(x) et g(x), J(f,g) =∂ f∂ g−∂ f∂ g,x x x x1 2 2 1
′DDD espace des distributions.Table des mati`eres
Introduction 1
I Les´equationsdeSaint-Venant:mod`elesetpropri´et´esmath´ematiques 11
1 L’´equation de Saint-Venant visqueuse 2D avec effet cosinus 13
1.1 Obtention de l’´equation de Saint-Venant visqueuse . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 Mise sous forme non-dimensionnelle des ´equations de Navier-Stokes . 15
1.1.2 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.3 Syst`eme de Saint-Venant (ou Shallow-Water) . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4 Cas de la latitude non constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Existence d’une solution de l’´equation de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Convergence et compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Ondes pour les fluides tournants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Conservation de la vorticit´e potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Mod`ele lin´earis´e et ondes de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.3 Ondes ´equatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Effets des conditions au fond et a` la surface 37
2.1 Choix des conditions au fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Condition de non-glissement ℓ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Condition au bord de type Navier ℓ=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Influence de ces conditions au fond sur le mod`ele de Saint-Venant. . . 39
2.2 Un mod`ele avec ´evaporation en surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Syst`eme de Saint-Venant avec ´evaporation au premier ordre . . . . . . 46
2.2.2 Syst`eme de Saint-Venant avec ´evaporation au second ordre . . . . . . 46
3 Effets du tenseur des contraintes : exemple de la loi d’Oldroyd B 49
3.1 Obtention du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Mise sous forme non dimensionnelle des ´equations de Navier-Stokes . . 50
3.1.2 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Syst`eme de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Propri´et´es math´ematiques de ce syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Cas ou` α est le vecteur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Cas ou` α est un vecteur non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
v
6`vi. TABLE DES MATIERES.
4 Echelles multiples autour des ´equations de Saint-Venant 59
4.1 Introduction aux d´eveloppements multi-´echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Diff´erents r´egimes pour les ´equations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 D´eveloppement multi-´echelles en espace avec une variable lente . . . . . . . . 62
4.4 Cas ou` la topographie est une fonction oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 Syst`eme de Saint-Venant faiblement non-lin´eaire . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Syst`eme de Saint-Venant non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.3 Syst`eme de Saint-Venant avec viscosit´e d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . 66
4.4.4 Cas d’une viscosit´e de l’ordre du nombre de Froude. . . . . . . . . . . 68
5 Propri´et´es de mod`eles de type Saint-Venant 71
5.1 Un mod`ele de Saint-Venant coupl´e `a une formule de s´edimentation . . . . . . 72
5.1.1 In´egalit´es d’´energie et estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Th´eor`eme de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 R´esultats num´eriques