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Universite Joseph Fourier Grenoble I

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Universite Joseph Fourier - Grenoble I THESE pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE JOSEPH FOURIER Specialite : “Mathematiques Appliquees” preparee au laboratoire Jean Kuntzmann dans le cadre de l'Ecole Doctorale “Mathematiques, Sciences et Technologies de l'Information, Informatique” presentee et soutenue publiquement le 30 Novembre 2007 par Carine Lucas Effets de petites echelles, du tenseur des contraintes, des conditions au fond et a la surface sur les equations de Saint-Venant. Directeurs de these : Didier Bresch, Christine Kazantsev JURY M. Stephane Labbe PR, Universite Joseph Fourier President M. Emmanuel Frenod PR, Universite de Bretagne Sud Rapporteur M. Daniel Le Roux PR, Universite de Laval, Quebec Rapporteur M. Mohamed Naaim DR, Cemagref de Grenoble Examinateur M. Didier Bresch DR, Universite de Savoie Directeur de these Mme Christine Kazantsev MCF, Universite Joseph Fourier Co-directrice de these

  • symetrique du gradient de vitesse

  • vitesse de rotation de la terre

  • docteur de l'universite joseph

  • ro2 coefficient

  • surface libre

  • frere pour les moments


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Publié le 01 novembre 2007
Nombre de lectures 69
Langue Français
Poids de l'ouvrage 4 Mo

´Universite Joseph Fourier - Grenoble I
`THESE
pour obtenir le grade de
´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
Sp´ecialit´e : “Math´ematiques Appliqu´ees”
pr´epar´ee au laboratoire Jean Kuntzmann
´dans le cadre de l’Ecole Doctorale
“Math´ematiques, Sciences et Technologies de l’Information, Informatique”
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 30 Novembre 2007
par
Carine Lucas
Effets de petites ´echelles, du tenseur des contraintes,
des conditions au fond et `a la surface
sur les ´equations de Saint-Venant.
Directeurs de th`ese :
Didier Bresch, Christine Kazantsev
JURY
´M. St´ephane Labbe PR, Universit´e Joseph Fourier Pr´esident
´M. Emmanuel Fr´enod PR, Universit´e de Bretagne Sud Rapporteur
M. Daniel Le Roux PR, Universit´e de Laval, Qu´ebec Rapporteur
M. Mohamed Naaim DR, Cemagref de Grenoble Examinateur
M. Didier Bresch DR, Universit´e de Savoie Directeur de th`ese
Mme Christine Kazantsev MCF, Universit´e Joseph Fourier Co-directrice de th`eseRemerciements.
Tout d’abord, je tiens a` remercier vivement Didier Bresch et Christine Kazantsev
d’avoir encadr´e cette th`ese. Plus particuli`erement, merci a` Didier de m’avoir montr´e qu’il est
possible de travailler diff´eremment en menant plusieurs batailles de front, de m’avoir incit´ee
a` viser toujours plus haut et de m’avoir permis de collaborer avec d’autres personnes; merci
a` Christine pour son aide pr´ecieuse, notamment lorsque j’ai duˆ apprivoiser le Fortran.
Ungrandmerci´egalement `aAntoineRousseauquim’a´enorm´ementapport´etoutaulong
decettederni`ereann´ee.J’aivraimentappr´eci´elafac¸ondonts’estd´eroul´eenotrecollaboration,
et j’esp`ere que nous aurons encore l’occasion de travailler ensemble.
´Jesouhaite aussiremercier EmmanuelFrenodet DanielLe Rouxd’avoir rapport´ecette
th`ese et, par leurs commentaires, de m’avoir aid´ee `a l’am´eliorer. Merci ´egalement `a St´ephane
´Labbe d’avoir pr´esid´e ce jury et `a Mohamed Naaim d’avoir accept´e d’en faire partie.
Mercia`tousceuxdelatourIRMAavec quij’aipartag´e cesann´ees,aussibienlesmembres
del’´equipe MOISE,ou` ilr`egne unetr`es bonneambiance, queles doctorants dulabo.Je pense
en particulier a` ceux qui sont partis depuis plusieurs mois maintenant, Aude, Basile, Claire,
Julie,Laurent,Olivier-s,ceuxquisontsurlafin,Ir`ene,Yann,Claire-s,sansoublier“lasalle3”
(ausenslarge), C´eline,Morgan,Marc,Elise,Cyril,William, Ehouarn,Florian,ainsiquecelles
qui´etaient d´ej`a `amescˆot´es surles bancsdel’Institut Fourier, Claire et Nath. Jerajoute Jean
`a cette liste, mˆeme si le LAMA n’est pas tout a` fait mon laboratoire!
Une pens´ee aussi pour Claudine, Imma, Juana et Cathy qui essayent toujours de nous sim-
plifier la vie au maximum.
Enfin, un ´enorme merci `a Maman qui m’a toujours soutenue et conseill´ee, en particulier
dans les moments difficiles, et qui a mˆeme accept´e de partir `a la recherche des fautes d’ortho-
graphedecemanuscrit!Merciaussi`amonp’titfr`erepourlesmomentspass´esaut´el´ephone ...
c’est justement a` toi Jean-Michel que je laisse la plume, plume que tu avais prise quelques
jours apr`es un rapide passage en salle 3 : cherchez bien, tous les d´etails y sont!
iTable des notations
z
D domaine consid´er´e, h(t,x) H(t,x)
h(t,x) surface libre,
b(t,x)
xb(x) ou b(t,x) topographie,
H(t,x) hauteur de la colonne de fluideH(t,x) =h(t,x)−b(t,x),
U =(u,w) vitesse, avec u la composante horizontale, w la composante verticale,
⊥ψ fonction courant, d´efinie par u=∇ ψ,
D(U) partie sym´etrique du gradient de vitesse, tenseur des d´eformations,
W(U) partie anti-sym´etrique du gradient de vitesse,
(e ,e ,e ) base canonique,1 2 3
(v ,v ,v ) composantes du vecteur v dans la base canonique,1 2 3
v¯ moyenne verticale du vecteur v sur la hauteur du fluide,
⊥V vecteur orthogonal au vecteur V
⊥si V =(V ,V ), alors V =(−V ,V ),1 2 2 1
σ tenseur total des contraintes,
σ tenseur des contraintes suppl´ementaires,
τ tenseur de cisaillement,
Ω vitesse de rotation de la Terre,
θ latitude,
g constante universelle de gravitation,
a coefficient de capillarit´e,
A coefficient de capillarit´e non-dimensionnel,
κ courbure moyenne,
k =1/ℓ coefficient de frottement,
K coefficient de frottement non-dimensionnel,
k coefficient de frottement turbulent,t
K coefficient de frottement turbulent non-dimensionnel,t
p pression,
, λ viscosit´es,
ν viscosit´e non-dimensionnelle,
ε rapport des ´echelles caract´eristiques du fluide,
Ro nombre de Rossby (voir d´efinition page 15),
Fr nombre de Froude,
2 2F =Fr /Ro coefficient qui lie les nombres de Froude et de Rossby,
k=(k ,k )1 2 nombres d’onde,
K=(K ,K )1 2
ω, W pulsations,
iiiiv. Table des notations.
λ temps de relaxation,
G taux de plasticit´e,
r rapport entre l’´elasticit´e et la viscosit´e,
q =Hu d´ebit,
ǫ, η petits param`etres,
X =x/ǫ variable rapide en espace,
χ=ǫx variable lente en espace,
ˆf transform´ee de Fourier de la fonction f,
J(f,g) jacobien des fonctions f(x) et g(x), J(f,g) =∂ f∂ g−∂ f∂ g,x x x x1 2 2 1
′DDD espace des distributions.Table des mati`eres
Introduction 1
I Les´equationsdeSaint-Venant:mod`elesetpropri´et´esmath´ematiques 11
1 L’´equation de Saint-Venant visqueuse 2D avec effet cosinus 13
1.1 Obtention de l’´equation de Saint-Venant visqueuse . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 Mise sous forme non-dimensionnelle des ´equations de Navier-Stokes . 15
1.1.2 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.3 Syst`eme de Saint-Venant (ou Shallow-Water) . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4 Cas de la latitude non constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Existence d’une solution de l’´equation de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Convergence et compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Ondes pour les fluides tournants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Conservation de la vorticit´e potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Mod`ele lin´earis´e et ondes de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.3 Ondes ´equatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Effets des conditions au fond et a` la surface 37
2.1 Choix des conditions au fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Condition de non-glissement ℓ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Condition au bord de type Navier ℓ=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Influence de ces conditions au fond sur le mod`ele de Saint-Venant. . . 39
2.2 Un mod`ele avec ´evaporation en surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Syst`eme de Saint-Venant avec ´evaporation au premier ordre . . . . . . 46
2.2.2 Syst`eme de Saint-Venant avec ´evaporation au second ordre . . . . . . 46
3 Effets du tenseur des contraintes : exemple de la loi d’Oldroyd B 49
3.1 Obtention du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Mise sous forme non dimensionnelle des ´equations de Navier-Stokes . . 50
3.1.2 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Syst`eme de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Propri´et´es math´ematiques de ce syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Cas ou` α est le vecteur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Cas ou` α est un vecteur non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
v
6`vi. TABLE DES MATIERES.
4 Echelles multiples autour des ´equations de Saint-Venant 59
4.1 Introduction aux d´eveloppements multi-´echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Diff´erents r´egimes pour les ´equations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 D´eveloppement multi-´echelles en espace avec une variable lente . . . . . . . . 62
4.4 Cas ou` la topographie est une fonction oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 Syst`eme de Saint-Venant faiblement non-lin´eaire . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Syst`eme de Saint-Venant non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.3 Syst`eme de Saint-Venant avec viscosit´e d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . 66
4.4.4 Cas d’une viscosit´e de l’ordre du nombre de Froude. . . . . . . . . . . 68
5 Propri´et´es de mod`eles de type Saint-Venant 71
5.1 Un mod`ele de Saint-Venant coupl´e `a une formule de s´edimentation . . . . . . 72
5.1.1 In´egalit´es d’´energie et estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Th´eor`eme de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Fluides de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1 Pr´esentation du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2 Propri´et´es ´energ´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
´II Equations Quasi-G´eostrophiques et ´equation des lacs 97
6 Mod`ele de Saint-Venant Quasi-G´eostrophique en deux dimensions 99
6.1 Obtention des ´equations de Saint-Venant Quasi-G´eostrophiques 2D . . . . . . 100
6.2 Commentaires et propri´et´es math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Un premier commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Un second commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.3 Propri´et´es math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Etude num´erique de l’effet cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.1 M´ethodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.2 R´esultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Une m´ethode d’approximation multi-´echelles 117
7.1 R´esultats th´eoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.1 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.2 Existence et unicit´e de la solution a` ǫ fix´e . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2 Une m´ethode d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.3 Convergence quand ǫ tend vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Premiers r´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.1 Le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.2 R´esultats obtenus en stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 D´ependance en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.5 Modification du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.5.1 Support du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.5.2 Validation de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133`TABLE DES MATIERES. vii.
7.6 Solutions du probl`eme lin´eaire simplifi´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8 Influence de la topographie dans les ´equations Quasi-G´eostrophiques 137
8.1 Equation simplifi´ee avec la topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.1.1 R´esultats th´eoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.1.2 Un premier cas : fond `a l’ordre principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
−18.1.3 Une seconde ´etude : fond d’ordreǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Passage en deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.1 D´eveloppement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.2 Programmes et r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2.3 Comparaisons et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.3 Equation Quasi-G´eostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.1 D´ependance en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.2 Terme de frottement de fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9 Quelques mots sur l’´equation des lacs 169
9.1 Obtention du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.1.1 Mod`ele complet avec viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.1.2 Formulation courant-vorticit´e pour un mod`ele simplifi´e . . . . . . . . . 171
9.2 Existence d’une solution de l’´equation des lacs . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
09.2.1 Cas ou` H reste strictement positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
09.2.2 Cas ou` H s’annule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Conclusion et perspectives 177
Bibliographie 179`viii. TABLE DES MATIERES.