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Publié par | devoir-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
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1.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚07
a`rendrelelundi7janvier2013
`
PROBLEME 1:eirdoeme`irepesivi´eRana’dsnorpedesyl
´
Partie I. Etude def
Soitfitcn´dnoofalniefiarepf(0) = 0 etf(t) = lnt(tninos).
D´eterminezl’ensembledede´finitionDdef.
f?0tl-eeeslerd´abivenle
Justifiez quefest de classeC1sur [01[.
Dressez le tableau de variations def.erefsuoVniasisertnffie´imetseilaraˆzapplesdıtre
que la valeur def(e).
Partie II. Etude de la fonctiong
Soitglafonctirapeinfie´dnog(t) =tt2ln−(t)1
On admet que surD {0},gleetivabd´erest
g′(t) =t21+ln2t(2t)×h(t)`ouh(t) = ln(t1)+1−+tt22
Etudiez les variations deg.
D´eterminezlalimitedegen 1.
e
D´terminez les positions relatives des graphes defet deg.
De´terminezl’airedudomaineplande´limite´parlescourbesrepr´esentativesdefetg, ainsi
quelesdroitesd’´equationst= 2 ett=e.
PartieIII.Trace´d’unecobeparam´et´
ur ree
Onconside`reΓlacourbeparam´etre´eencoordonne´escart´esiennespar
xy==fg((tt))t∈D {0}
Dressezletableaudesvariationssimultane´esde
1
xety.
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3.
Pre´cisezlatangenteaupointdeparam`etret=e.
Etudiezlesasymptotesde(Γ)ainsiquelespositionsrelativesde(Γ)parrapport`acelles-ci.
Tracez la courbe (Γ).
PartieIV.Solutionsd’unee´quationdiff´erentielle
Onconside`rel’e´quationdiff´erentiellenonlin´eaire:
(E1)
−t2z′(t) +tz(t) =z2(t)
On cherche les fonctionszsolutions de (E1) surI=]1+∞[ et qui ne s’annulent pas sur
I.
On poseytner.oM1=uezqyest solution surIdeuil´naerientielleondiff´erqe´eitaunu’d
z
premier ordre (E2).
Re´solvez(E2) surIonsslutielafontdfiize´Vreseosuqce.emroga(t ln() =at.)
t
Ve´rifiezquepoura >1, la fonctiongane s’annule pas surI. Concluez.
PartieV.Etuded’unefonctionde´finiea`l’aided’uneint´egrale
1x
On poseH(x)xZ0t)dt.
=f(
D´eterminezl’ensembleded´efinitionJdeH.
Eudiez la limite deHen 0.
Justifiezl’existenced’unr´eela∈]01] tel que
∀t∈[a1[32(t−1)≤ln(t)≤12(t−1)
De´duisez-enlalimite`agaucheaupoint1.
2
Fin du sujet