Devoir Libre N°07
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Devoir Libre N°07

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 7 janvier 2013 DEVOIR LIBRE N˚07 `PROBLEME 1 : R´evisions d’analyse de premi`ere p´eriode Partie I.

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Langue Français

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚07

a`rendrelelundi7janvier2013

`
PROBLEME 1:eirdoeme`irepesivi´eRana’dsnorpedesyl
´

Partie I. Etude def
Soitfitcn´dnoofalniefiarepf(0) = 0 etf(t) = lnt(tninos).
D´eterminezl’ensembledede´finitionDdef.
f?0tl-eeeslerd´abivenle
Justifiez quefest de classeC1sur [01[.
Dressez le tableau de variations def.erefsuoVniasisertnffie´imetseilaraˆzapplesdıtre
que la valeur def(e).
Partie II. Etude de la fonctiong
Soitglafonctirapeinfie´dnog(t) =tt2ln−(t)1
On admet que surD {0},gleetivabd´erest

g′(t) =t21+ln2t(2t)×h(t)`ouh(t) = ln(t1)+1−+tt22

Etudiez les variations deg.
D´eterminezlalimitedegen 1.
e
D´terminez les positions relatives des graphes defet deg.
De´terminezl’airedudomaineplande´limite´parlescourbesrepr´esentativesdefetg, ainsi
quelesdroitesd’´equationst= 2 ett=e.
PartieIII.Trace´d’unecobeparam´et´
ur ree

Onconside`reΓlacourbeparam´etre´eencoordonne´escart´esiennespar
xy==fg((tt))t∈D {0}

Dressezletableaudesvariationssimultane´esde

1

xety.

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Pre´cisezlatangenteaupointdeparam`etret=e.
Etudiezlesasymptotesde(Γ)ainsiquelespositionsrelativesde(Γ)parrapport`acelles-ci.
Tracez la courbe (Γ).
PartieIV.Solutionsd’unee´quationdiff´erentielle

Onconside`rel’e´quationdiff´erentiellenonlin´eaire:

(E1)

−t2z′(t) +tz(t) =z2(t)

On cherche les fonctionszsolutions de (E1) surI=]1+∞[ et qui ne s’annulent pas sur
I.
On poseytner.oM1=uezqyest solution surIdeuil´naerientielleondiff´erqe´eitaunu’d
z
premier ordre (E2).
Re´solvez(E2) surIonsslutielafontdfiize´Vreseosuqce.emroga(t ln() =at.)
t
Ve´rifiezquepoura >1, la fonctiongane s’annule pas surI. Concluez.
PartieV.Etuded’unefonctionde´finiea`l’aided’uneint´egrale
1x
On poseH(x)xZ0t)dt.
=f(
D´eterminezl’ensembleded´efinitionJdeH.
Eudiez la limite deHen 0.

Justifiezl’existenced’unr´eela∈]01] tel que

∀t∈[a1[32(t−1)≤ln(t)≤12(t−1)

De´duisez-enlalimite`agaucheaupoint1.

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Fin du sujet