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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 57 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corps
Exercice 1[ 00129 ][correction]
SoitAun anneau intègre fini. Montrer queAest un corps.
(indice : on pourra introduire l’applicationx7→axpoura∈A a6= 0A)
Exercice 2[ 00130 ][correction]
SoitKun corps fini commutatif. Calculer
Y
x
x∈K?
Exercice 3[ 00132 ][correction]
SoientK,Ldeux corps etfun morphisme d’anneaux entreKetL.
a) Montrer que∀x∈K {0} f(x)est inversible et déterminerf(x)−1.
b) En déduire que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 4[ 00133 ][correction]
a) Montrer que sipest nombre premier alors
∀k∈ {1 p−1} pdivise
pk!
b) En déduire que siKest un corps de caractéristiquep6= 0alors
∀a b∈K(a+b)p=ap+bp
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Il s’agit ici de montrer que touta∈A, tel quea6= 0A, est inversible.
L’applicationx7→axest une injection deAversAcarAest intègre, l’élémenta
est régulier.
PuisqueAest fini, cette application est bijective et il existe doncb∈Atel que
ab= 1.
Ainsiaest inversible.
Exercice 2 :[énoncé]
En regroupant chaquexavec son inverse, lorsqu’ils sont distincts, on simplifie
Yx=Yx
x∈K?x∈K?x=x−1
Orx=x−1équivaut àx2= 1et a pour solutions 1 et−1.
Que celles-ci soient ou non distinctes, on obtient
Yx=−1
x∈K?
Exercice 3 :[énoncé]
a) Pourx∈K {0},f(x)f(x−1) =f(xx−1) =f(1K) = 1Ldoncf(x)est
inversible etf(x)−1=f(x−1).
b) Sif(x) =f(y)alorsf(x)−f(y) =f(x−y) = 0L. Or0Ln’est pas inversible
doncx−y= 0Ki.e.x=y.
Ainsifest morphisme injectif.
Exercice 4 :[énoncé]
a)pk!=pkkp−−11!doncpdivisekkp!. Orp∧k= 1carpest premier et
k∈ {1 p−1}doncpdivisepk!.
b) Par la formule du binôme,
(a+b)p=pkXpk!akbp−k
=0
Or pourk∈ {1 p−1},kp!= 0dansKcarp|pk!
caractéristiquep.
Après simplification, on obtient
∀a b∈K(a+b)p=ap+bp
et le corpsKest de
2
On en déduit que l’applicationx7→xpest un endomorphisme du corpsK. De plus
celui-ci est injectif car
xp= 0K⇒x= 0K
et, si l’on sait queKest un corps fini, on peut ajouter quex7→xpest un
automorphisme [connu comme étant l’automorphisme de Frobenius].
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD