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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Corps

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Corps Exercice 1 [ 00129 ] [correction] Soit A un anneau intègre fini. Montrer que A est un corps.

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Langue Français

Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corps

Exercice 1[ 00129 ][correction]
SoitAun anneau intègre fini. Montrer queAest un corps.
(indice : on pourra introduire l’applicationx7→axpoura∈A a6= 0A)

Exercice 2[ 00130 ][correction]
SoitKun corps fini commutatif. Calculer
Y

x
x∈K?

Exercice 3[ 00132 ][correction]
SoientK,Ldeux corps etfun morphisme d’anneaux entreKetL.
a) Montrer que∀x∈K {0} f(x)est inversible et déterminerf(x)−1.
b) En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Exercice 4[ 00133 ][correction]
a) Montrer que sipest nombre premier alors

∀k∈ {1     p−1} pdivise

pk!

b) En déduire que siKest un corps de caractéristiquep6= 0alors

∀a b∈K(a+b)p=ap+bp

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Il s’agit ici de montrer que touta∈A, tel quea6= 0A, est inversible.
L’applicationx7→axest une injection deAversAcarAest intègre, l’élémenta
est régulier.
PuisqueAest fini, cette application est bijective et il existe doncb∈Atel que
ab= 1.
Ainsiaest inversible.

Exercice 2 :[énoncé]
En regroupant chaquexavec son inverse, lorsqu’ils sont distincts, on simplifie
Yx=Yx
x∈K?x∈K?x=x−1

Orx=x−1équivaut àx2= 1et a pour solutions 1 et−1.
Que celles-ci soient ou non distinctes, on obtient
Yx=−1
x∈K?

Exercice 3 :[énoncé]
a) Pourx∈K {0},f(x)f(x−1) =f(xx−1) =f(1K) = 1Ldoncf(x)est
inversible etf(x)−1=f(x−1).
b) Sif(x) =f(y)alorsf(x)−f(y) =f(x−y) = 0L. Or0Ln’est pas inversible
doncx−y= 0Ki.e.x=y.
Ainsifest morphisme injectif.

Exercice 4 :[énoncé]
a)pk!=pkkp−−11!doncpdivisekkp!. Orp∧k= 1carpest premier et
k∈ {1     p−1}doncpdivisepk!.
b) Par la formule du binôme,
(a+b)p=pkXpk!akbp−k
=0

Or pourk∈ {1     p−1},kp!= 0dansKcarp|pk!

caractéristiquep.
Après simplification, on obtient

∀a b∈K(a+b)p=ap+bp

et le corpsKest de

2

On en déduit que l’applicationx7→xpest un endomorphisme du corpsK. De plus
celui-ci est injectif car
xp= 0K⇒x= 0K
et, si l’on sait queKest un corps fini, on peut ajouter quex7→xpest un
automorphisme [connu comme étant l’automorphisme de Frobenius].

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