[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité et endomorphisme induit Exercice 6 [ 00858 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectoriel E de dimension finie.Exercice 1 [ 00854 ] [correction] Montrer que f et g commutent si, et seulement si, f et g sont simultanémentSoit f un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension diagonalisables. finie. Montrer que la restriction de f à tout sous-espace vectoriel F ={0} stable est diagonalisable. Exercice 7 [ 03374 ] [correction] Soient A,B,C∈M (R) vérifiantn Exercice 2 [ 00855 ] [correction] AB−BA =C Soit u un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B.finie. a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle.Montrer qu’un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que lail possède une base de vecteurs propres de u. matrice C est nulle. Exercice 3 [ 03038 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel pour lequel il existe une base B = (e ,...,e ) vérifiant u(e ) =e et u(e ) =e +e .1 n 1 1 2 1 2 L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Exercice 4 [ 00856 ] [correction] 3Soit f l’endomorphisme deR dont la matrice est 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3 dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f.
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue
Français
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Diagonalisabilité et endomorphisme induit
Enoncés
Exercice 1[ 00854 ][correction] Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer que la restriction defà tout sous-espace vectorielF6={0}stable est diagonalisable.
Exercice 2[ 00855 ][correction] Soituun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer qu’un sous-espace vectorielFnon nul est stable parusi, et seulement si, il possède une base de vecteurs propres deu.
Exercice 3[ 03038 ][correction] Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel pour lequel il existe une base B= (e1 en)vérifiantu(e1) =e1etu(e2) =e1+e2. L’endomorphismeu ?est-il diagonalisable
Exercice 4[ 00856 ][correction] Soitfl’endomorphisme deR3dont la matrice est 521−141−−123
dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables parf.
Exercice 5[ 00857 ][correction] Soientfetgdeux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer quefetgsont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.
Exercice 6[ 00858 ][correction] Soientfetgdeux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer quefetgcommutent si, et seulement si,fetgsont simultanément diagonalisables.
On suppose en outre queCcommute avec les matricesAetB. a) On suppose queAet diagonalisable. Montrer que la matriceCest nulle. b) On suppose que la matriceCest diagonalisable. Montrer à nouveau de que la matriceCest nulle.
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