I. Outils probabilistesCette approche des probas est due `a Kolmogorov(1903-1987).1. Espaces probabilis´es, variables al´eatoiresD´efinition.Soit Ω un ensemble et F une tribu (on dit aussiune σ-alg`ebre) sur Ω. Si P est une mesure sur Ftelle que P(Ω) = 1, on dit que P est une proba-bilit´e (ou mesure de probabilit´e). On dit aussi que(Ω,F,P) est unespace probabilis´e. (ou espace deprobabilit´e)Un ensemble A∈F est appel´e un ´ev´enement. Un´ev´enement A a lieu presque sˆurement (p.s.) siP(A)=1. On dit aussi P-presque surˆ ement.Dans toute la suite du cours, (Ω,F,P) d´esigne unespace probabilis´e.1Notation.Si A est un ensemble fini, #A est le cardinal de A,c’est-`a-dire le nombre d’´el´ements dans A.On note aussi CardA.Notation.Soit Ω un espace et x∈Ω. La masse de Dirac enx, not´ee δ , est la mesure d´efinie par :x(1 si x∈A∀A⊂Ω, δ (A)=x0 si x6∈AExemple.Si Ω est fini, la probabilit´e uniforme sur Ω est#Adonn´ee par P(A) = pour tout A ⊂ Ω, ce qui#ΩX1peut s’´ecrire P = δ .ω#Ωω∈Ω2D´efinition.Une variable al´eatoire r´eelle est une fonctionX:Ω →R mesurable pour F et B(R), o`u B(R) estla tribu des bor´eliens sur R.Si X est une fonction mesurable `a valeurs dans Cdou R , on parle de variable al´eatoire complexe ouvectorielle.Notation.P(X ∈B)=P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).De mˆeme : P(X ≤1), P(X =0)...2. Loi d’une variable al´eatoireD´efinition.Soit X une v.a. r´eelle. La loi de X est la mesureimage de P par X. C’est la mesure de probabilit´eP sur R ...
e D´finition. Soit Ω un ensemble etFune tribu (on dit aussi uneσla-be`gSi)sreΩ.urPest une mesure surF telle queP on dit que(Ω) = 1,Pest uneproba-bilit´etidnssuaeuqiroepbibat´li.Oe)eduresum(o (Ω,F, P) est unbobalisie´espacepr.(ou espace de probabilite´)
Un ensembleA∈ Fppelesta´eunnetneme´ev´. Un evenementAa lieutensˆueemurpqser(p.s.) si ´ ´ P(A i) = 1. On dit aP-pr ˆrement. uss esque su
Dans toute la suite du cours, (Ω,F, Pennusegi)´d espace probabilise. ´
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Notation. SiAest un ensemble fini, #Aest lecardinalde A, c’est-`a-direlenombred’e´l´ementsdansA. On note aussiCardA.
Notation. Soit Ω un espace etx∈Ω. Lamasse de Dirac en xee,not´δxe,tsalemuser:rapeinfie´d six∈A ∀A⊂Ω, δx(A) =(si01x6∈A
Exemple . SiΩestfini,laprobabilite´uniformesurΩest donne´eparP(A) =##AΩpour toutA⊂Ω, ce qui euts’´ecrirePΩ=1Xδω. p#ω∈Ω
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De´finition. Uneeerelltae´erioabriallevaest une fonction ´ X: Ω→Rmesurable pourFetB(R`u,o)B(R) est la tribu des boreliens surR. ´ SiXselbaava`ruelnadsseruoimnnotcnufeestC ouRd,oarnpdelerecomplexeouavirbaellae´taio vectorielle.
D´efinition. SoitXevunaL.ellee´r.a.loi deXest la mesure image dePparXprdeabobmelaresutilie´C.e’ts PXsurRraifinep´ed ∀B∈ B(R), PX(B)d=efP(X∈B). (Il existe d’autres notations :L(X),PX...)
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Ω.´ealdesrionsisat:esneelbmX: ce qu’on observe. Exemple .Roue de la fortune Rouedivise´een5zones´egales.Onfaittournerlarouepour obtenir une valeur. On peut prendreΩ ={1,10,20,50,1010},,ePtXla(ωp)ro=baωe´t.ilib uniforme surΩ(P(1) =∙ ∙ ∙=P(100) =5) (notation Dirac /#) On aPX=15(δ1+δ10+δ20+δ50+δ100) =#Ω1Pω∈Ωδω. Autrepossibilite´:onprendΩ = [0,2π[(ωuattne´lgae’lna momentdel’arreˆt),Pabobitilprlaemusre´nufiroΩ:P=2λπ (o`uλ= mesure de Lebesgue), et 1si0≤ω <2π X(ω) =1.0si25π≤ω <455π 100si85π≤ω <2π OntrouvelamˆemeloipourX. On peut aussi prendreΩ =tedelbmeapselsuonseram`etres physques de la roue au moment du lancer,P=... Ωrioesavntedontensecarolnee´ne´ger,”utseb“entıˆoione queΩsahae“rlsuuerqmaeR.etsixe.mrnisietdrd”e´et Quand on parle de plusieurs v.a., on sous-entend toujours qu’ellessontsurlemeˆmeespaceΩ.
Exemple . Onlance2foisunepie`cee´quilibre´e. Ω ={p, f}2: ensemble des tirages possibles.
Probabilite´uniforme:siA⊂Ω,P(A) =##AΩ.
O d´finit la v.a.X: Ω→Rc´etaommenombrnetle n e de “pile” obtenu au cours des 2 lancers.
Xprend ses valeurs dans les entiers entre 0 et 2. P(X= 0) =P((p, p)) =14. P(X= 1) =P((p, f),(f,p)) =21. P(X= 2) =P((ff,)) =14.
Ceci nous donne la loi deX:PX=41δ0+21δ1+41δ2.
SoitYle nombre de “face”. ˆ PX=PYmais ce ne sont pas les memes v.a.
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D´efinition. SoitPpenubarolibiest´(Ωur,F). On dit quePest discr`etectirce´’bmocemmonlsoaiinreai´einllessie finieoude´nombrabledemassesdeDirac: P=Xpiδxi. i∈I P(xi) =pietP donc(Ω) = 1pi≥0 etXpi= 1. i∈I
Onditqu’unev.a.estdiscr`etesisaloiestdiscre`te.
unefonctionemsruablea`avelusrpo-
De´finition. Soitf:R→R sitives telle queZRf(x)dx= 1. Pour toutB∈ B(R) on poseP(B) =ZBf(x)dx. AlorsPest une mesure deprobabilit´esurR. On dit quePest continue (ou absolumentcontinueparrapport`alamesurede Lebesgue). On dit quePtie´densstdeef(oufest ladensite´deP). On notedP=f(x)dx.
Remarque.∀x, P({x}) = 0. Donc, par exemple, P(X≤a) =P(X < a).
Une v.a. est continue si sa loi est continue.
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3. Principales lois
3.1.Loisdiscre`tes
a) Loi de Bernoullib(p) =B(1, p)
La v.a.XlluonreBediolenuetr`eamarepidsuitp, 0< p <1,not´eeb(p) ouB(1, p), siP(X= 1) =p etP(X= 0) = 1−p.
b(p) = (1−p)δ0+pδ1.
Ex : jeu de pile ou face. Lapi`eceeste´quilibreesip= 1/2. ´
b) Loi binomialeB(n, p)
La v.a.Xsuit une loi binomiale de taillen≥1 et deparam`etrep∈]0,1[ee´ton,B(n, p), si P(X=k) =Cknpk(1−p)n−kpour 0≤k≤n. n B(n, p) =XCnkpk(1−p)n−kδk. k=0
Ex : loi du nombre de 1 obtenus si on faitnlancers successifsd’unepie`cedeloib(p). 6
c) Loi de PoissonP(λ)
Xutius`mteapareridePneloondeoissλ >0 si P(X=k) =e−λ∙λkk!pour tout entierk∈N.
δ. P(λ) =k∈XNe−λ∙λk!kk
Ex:nombred’ampouleschange´espendantun tempsdonne´sionchangeuneampoule`achaque fois qu’elle tombe en panne.
3.2. Lois continues
a) Loi uniformeU([a, b])
Xest de loi uniforme sur [a, b] (a < b), notee ´ U([a, bsnede´tieioledts),]sasib−1a1l[a,b](x).
Probabilit´eproportionnelle`alamesuredeLe-besgue.
b) Loi exponentielleE(λ)
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Xleeledapar`mteerielodesttienonxpeλ >0,not´ee λx E(λ) ou exp(λeet´1lsts,)dasiisneR+(x)λe−.
Ex
:
du ´ ree
de
vie
d’un
atome
radioactif.
c) Loi de Gauss, loi normaleN(m, σ2)
Loinormaler´eduiteN(0,d:)1isnee´t√21πexp(−x22).
Loi normaleN(m, σ2),σ2>0:densit´e √12πσ2exp(x−m)2!. − 2σ2 SiXest une v.a. de loiN(0,1) alorsσX+ma pour loiN(m, σ2). SiY=σX+m,P(Y∈B) =PX∈σB−m=R∙ ∙ ∙et par chanegement de variabley=σx+mon trouvePY=N(m, σ).