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I. Outils probabilistesCette approche des probas est due `a Kolmogorov(1903-1987).1. Espaces probabilis´es, variables al´eatoiresD´efinition.Soit Ω un ensemble et F une tribu (on dit aussiune σ-alg`ebre) sur Ω. Si P est une mesure sur Ftelle que P(Ω) = 1, on dit que P est une proba-bilit´e (ou mesure de probabilit´e). On dit aussi que(Ω,F,P) est unespace probabilis´e. (ou espace deprobabilit´e)Un ensemble A∈F est appel´e un ´ev´enement. Un´ev´enement A a lieu presque sˆurement (p.s.) siP(A)=1. On dit aussi P-presque surˆ ement.Dans toute la suite du cours, (Ω,F,P) d´esigne unespace probabilis´e.1Notation.Si A est un ensemble fini, #A est le cardinal de A,c’est-`a-dire le nombre d’´el´ements dans A.On note aussi CardA.Notation.Soit Ω un espace et x∈Ω. La masse de Dirac enx, not´ee δ , est la mesure d´efinie par :x(1 si x∈A∀A⊂Ω, δ (A)=x0 si x6∈AExemple.Si Ω est fini, la probabilit´e uniforme sur Ω est#Adonn´ee par P(A) = pour tout A ⊂ Ω, ce qui#ΩX1peut s’´ecrire P = δ .ω#Ωω∈Ω2D´efinition.Une variable al´eatoire r´eelle est une fonctionX:Ω →R mesurable pour F et B(R), o`u B(R) estla tribu des bor´eliens sur R.Si X est une fonction mesurable `a valeurs dans Cdou R , on parle de variable al´eatoire complexe ouvectorielle.Notation.P(X ∈B)=P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).De mˆeme : P(X ≤1), P(X =0)...2. Loi d’une variable al´eatoireD´efinition.Soit X une v.a. r´eelle. La loi de X est la mesureimage de P par X. C’est la mesure de probabilit´eP sur R ...

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Ajouté le 24 septembre 2011
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Langue Français
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I. Outils probabilistes
Cetteapprochedesprobasestduea`Kolmogorov (1903-1987).
1.Espacesprobabilis´es,variablesal´eatoires
e D´finition. Soit Ω un ensemble etFune tribu (on dit aussi uneσla-be`gSi)sreΩ.urPest une mesure surF telle queP on dit que(Ω) = 1,Pest uneproba-bilit´etidnssuaeuqiroepbibat´li.Oe)eduresum(o ,F, P) est unbobalisie´espacepr.(ou espace de probabilite´)
Un ensembleA∈ Fppelesta´eunnetneme´ev´. Un evenementAa lieutensˆueemurpqser(p.s.) si ´ ´ P(A i) = 1. On dit aP-pr ˆrement. uss esque su
Dans toute la suite du cours, (Ω,F, Pennusegi)´d espace probabilise. ´
1
Notation. SiAest un ensemble fini, #Aest lecardinalde A, cest-`a-direlenombrede´l´ementsdansA. On note aussiCardA.
Notation. Soit Ω un espace etxΩ. Lamasse de Dirac en xee,not´δxe,tsalemuser:rapeine´d sixA AΩ, δx(A) =(si01x6∈A
Exemple . SiΩestni,laprobabilite´uniformesurΩest donne´eparP(A) =##AΩpour toutAΩ, ce qui euts´ecrirePΩ=1Xδω. p#ωΩ
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De´nition. Uneeerelltae´erioabriallevaest une fonction ´ X: ΩRmesurable pourFetB(R`u,o)B(R) est la tribu des boreliens surR. ´ SiXselbaava`ruelnadsseruoimnnotcnufeestC ouRd,oarnpdelerecomplexeouavirbaellae´taio vectorielle.
Notation. P(XB) =P({ωΩ|X(ω)B}). Demeˆme:P(X1),P(X= 0)...
2.Loidunevariableale´atoire
D´enition. SoitXevunaL.ellee´r.a.loi deXest la mesure image dePparXprdeabobmelaresutilie´C.ets PXsurRrainep´ed B∈ B(R), PX(B)d=efP(XB). (Il existe d’autres notations :L(X),PX...)
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Ω.´ealdesrionsisat:esneelbmX: ce qu’on observe. Exemple .Roue de la fortune Rouedivise´een5zones´egales.Onfaittournerlarouepour obtenir une valeur. On peut prendreΩ ={1,10,20,50,1010},,ePtXla(ωp)ro=baωe´t.ilib uniforme surΩ(P(1) =∙ ∙ ∙=P(100) =5) (notation Dirac /#) On aPX=15(δ1+δ10+δ20+δ50+δ100) =#Ω1PωΩδω. Autrepossibilite´:onprendΩ = [0,2π[(ωuattne´lgaelna momentdelarreˆt),Pabobitilprlaemusre´nufiroΩ:P=2λπ (o`uλ= mesure de Lebesgue), et 1si0ω <2π X(ω) =1.0si25πω <455π 100si85πω <2π OntrouvelamˆemeloipourX. On peut aussi prendreΩ =tedelbmeapselsuonseram`etres physques de la roue au moment du lancer,P=... Ωrioesavntedontensecarolnee´ne´ger,utsebentıˆoione queΩsahaerlsuuerqmaeR.etsixe.mrnisietdrde´et Quand on parle de plusieurs v.a., on sous-entend toujours quellessontsurlemeˆmeespaceΩ.
Remarque surF(=P(Ω)snelade´onacdsrambe,blrerantme pre´cis´eenpratique).
Exemple . Onlance2foisunepie`cee´quilibre´e. Ω ={p, f}2: ensemble des tirages possibles.
Probabilite´uniforme:siAΩ,P(A) =##AΩ.
O d´finit la v.a.X: ΩRc´etaommenombrnetle n e de “pile” obtenu au cours des 2 lancers.
Xprend ses valeurs dans les entiers entre 0 et 2. P(X= 0) =P((p, p)) =14. P(X= 1) =P((p, f),(f,p)) =21. P(X= 2) =P((ff,)) =14.
Ceci nous donne la loi deX:PX=41δ0+21δ1+41δ2.
SoitYle nombre de “face”. ˆ PX=PYmais ce ne sont pas les memes v.a.
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D´enition. SoitPpenubarolibiest´(Ωur,F). On dit quePest discr`etectirce´bmocemmonlsoaiinreai´einllessie nieoude´nombrabledemassesdeDirac: P=Xpiδxi. iI P(xi) =pietP donc(Ω) = 1pi0 etXpi= 1. iI
Onditquunev.a.estdiscr`etesisaloiestdiscre`te.
unefonctionemsruablea`avelusrpo-
De´nition. Soitf:RR sitives telle queZRf(x)dx= 1. Pour toutB∈ B(R) on poseP(B) =ZBf(x)dx. AlorsPest une mesure deprobabilit´esurR. On dit quePest continue (ou absolumentcontinueparrapport`alamesurede Lebesgue). On dit quePtie´densstdeef(oufest ladensite´deP). On notedP=f(x)dx.
Remarque.x, P({x}) = 0. Donc, par exemple, P(Xa) =P(X < a).
Une v.a. est continue si sa loi est continue.
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3. Principales lois
3.1.Loisdiscre`tes
a) Loi de Bernoullib(p) =B(1, p)
La v.a.XlluonreBediolenuetr`eamarepidsuitp, 0< p <1,not´eeb(p) ouB(1, p), siP(X= 1) =p etP(X= 0) = 1p.
b(p) = (1p)δ0+1.
Ex : jeu de pile ou face. Lapi`eceeste´quilibreesip= 1/2. ´
b) Loi binomialeB(n, p)
La v.a.Xsuit une loi binomiale de taillen1 et deparam`etrep]0,1[ee´ton,B(n, p), si P(X=k) =Cknpk(1p)nkpour 0kn. n B(n, p) =XCnkpk(1p)nkδk. k=0
Ex : loi du nombre de 1 obtenus si on faitnlancers successifsdunepie`cedeloib(p). 6
c) Loi de PoissonP(λ)
Xutius`mteapareridePneloondeoissλ >0 si P(X=k) =eλλkk!pour tout entierkN.
δ. P(λ) =kXNeλλk!kk
Ex:nombredampouleschange´espendantun tempsdonne´sionchangeuneampoule`achaque fois qu’elle tombe en panne.
3.2. Lois continues
a) Loi uniformeU([a, b])
Xest de loi uniforme sur [a, b] (a < b), notee ´ U([a, bsnede´tieioledts),]sasib1a1l[a,b](x).
Probabilit´eproportionnelle`alamesuredeLe-besgue.
b) Loi exponentielleE(λ)
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Xleeledapar`mteerielodesttienonxpeλ >0,not´ee λx E(λ) ou exp(λeet´1lsts,)dasiisneR+(x)λe.
Ex
:
du ´ ree
de
vie
d’un
atome
radioactif.
c) Loi de Gauss, loi normaleN(m, σ2)
Loinormaler´eduiteN(0,d:)1isnee´t21πexp(x22).
Loi normaleN(m, σ2),σ2>0:densit´e 12πσ2exp(xm)2!. 2σ2 SiXest une v.a. de loiN(0,1) alorsσX+ma pour loiN(m, σ2). SiY=σX+m,P(YB) =PXσBm=R∙ ∙ ∙et par chanegement de variabley=σx+mon trouvePY=N(m, σ).
La loi normale est la “loi des erreurs .
d) Loi de Cauchy
1 Densite´:π1+1x2.
(particuleanime´edunmouvementbrownien, quandelles´ecrasesurunedroitedonn´ee:loide Cauchy.)
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3.3.
Mode`le
Unev.a.r´eelledeloiLpeutˆetre ,F, P) = (R,B(R),L) etX: Ω
realis´eeenprenant ´ R,X(ω) =ω.