RemerciementsJ’aimerais tout d’abord remercier chaleureusement Alexandru Dimca quia accept´e de diriger ma th`ese. Son d´evouement et sa gentillesse, qui ne m’ontjamais fait d´efaut, ainsi que l’admirable ´etendue de ses comp´etences ont ´et´ed’une aide pr´ecieuse tout au long de mon travail.Je voudrais exprimer toute ma gratitude `a Michel Merle et Adam Paru-sinski qui ont accept´e d’ˆetre rapporteurs pour l’attention qu’ils ont prˆet´e `ala lecture de ma th`ese.Ma reconnaissance va aussi aux autres membres du Jury : PierretteCassou-Nogu´es, Peter Russell ainsi qu’Alain Yger.J’ai une pens´ee particuli`ere pour Jean-Marc Couveignes et Nicolas Bri-sebarre qui n’ont ´et´e avares ni en temps ni en travail ni en conseils et quim’ont apport´e une aide inestimable et indispensable.Je ne saurais finir ces remerciements sans porter une mention `a tous mescamarades du laboratoire dont l’humour et la chaleur m’ont permis d’appro-fondir les math´ematiques dans la joie.Table des mati`eres1 Cohomologie de De Rham 91.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Cas de deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Cas de n courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Topologie des fonctions r´eguli`eres sur une surface affine 252.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Stratifications et ...
J’aimerais tout d’abord remercier chaleureusement Alexandru Dimca qui aaccepte´dedirigermath`ese.Sonde´vouementetsagentillesse,quinem’ont jamaisfaitd´efaut,ainsiquel’admirable´etenduedesescomp´etencesont´ete´ d’uneaidepre´cieusetoutaulongdemontravail. Jevoudraisexprimertoutemagratitude`aMichelMerleetAdamParu-sinskiquiontaccepte´d’eˆtrerapporteurspourl’attentionqu’ilsontprˆete´a` lalecturedemathe`se. Ma reconnaissance va aussi aux autres membres du Jury : Pierrette Cassou-Nogu´es,PeterRussellainsiqu’AlainYger. J’aiunepense´eparticuli`erepourJean-MarcCouveignesetNicolasBri-sebarrequin’ont´et´eavaresnientempsnientravailnienconseilsetqui m’ontapport´euneaideinestimableetindispensable. Jenesauraisfinircesremerciementssansporterunemention`atousmes camarades du laboratoire dont l’humour et la chaleur m’ont permis d’appro-fondirlesmath´ematiquesdanslajoie.
SoitP2le plan projectif complexe,C⊂P2equriebg´itdu´eerenulaebruoc dontlescomposantesirr´eductiblessontnote´esC1, , Cn. Soitfi= 0 une ´equationpourlacomposanteCi. Danscetteth`ese,ons’inte´resse`alatopologieducomple´mentU=P2\C, quiestunesurfacelisseetaffine.Danslepremierchapitre,intitule´“Co-homologiedeDeRham”,ond´ecritdesbasesexplicitespourlesgroupes decohomologiea`coefficientscomplexes,Hi(U) pouri= 1,2 en supposant donne´esdesbasespourlesgroupesHi(Ujo)u`Uj=P2\Cj. Si les courbesCj sont lisses, de telles bases pour lesHi(Ujr[12espa].os)e´nnodtn Ler´esultatprincipaliciestlesuivant:
Th´eor`eme1.SoientC1, , Cnncourbes deP2snoitauqe´selfiniespard´e irr´eductiblesf1= 0, , fn= 0. AlorsH2(P2\ ∪in=1Ciedsrt´eenge)nesparl formes PΩ f1fi2fi3,1≤i1, i2, i3≤n, i o`uΩestlacontractiondelaformevolumedel’espaceaffineA3par le champ de vecteurs d’Euler. Onremarquequelath´eorieg´ene´rale,cf.[3],donnedesde´nominateursdu type (f1 fn)2eslldesqeeceuelpmo´uqippuocsullesbeaucdesformu,odcn notreThe´ore`me1.Plusieursexemplesexplicitessontcalcule´s,enparticulier lecaso`uC1est une cubique lisse etC2est la tangente d’inflexion deC1, situationquimontredeuxchosesinte´ressantes: –Lafiltrationparl’ordredupoˆlePsne coincide pas avec la filtration de HodgeFssurH∗(U), bien que l’on sache queFs⊂Pspar [3] ; –Lafiltrationparl’ordredupoˆlen’estpascompatibleaveclesisomor-phismes induits par les inclusions.
6
` TABLE DES MATIERES
Un autre exemple donne une base pour la cohomologieH1(F)o`uF⊂C2 estunecourbeaffinelissetellequesaclˆotureprojectiveF⊂P2soit aussi lisse. Dansledeuxi`emechapitre,onge´ne´ralisebeaucoupdere´sultatssurla topologie d’une fonction polynomiale,f:C2→Cdans le cas d’une fonction r´eguli`eref:U→C. On suppose quefteaseluetnemssedugnitilaest´olises´e onmontre,enutilisantunth´eor`emedeBertini,qu’alorsFire´euq,lafibreg´en def, est connexe. On introduit respectivement le nombre de Milnor total(f) defcomme la somme de tous les nombres de Milnor locaux pourfsurUet le saut total `al’infiniλ(fmos,edem)Oni.fininl’desncauxtslossauroa`iMnlseedmorb montre que l’on a la formule : b1(F) = 1−χ(U) +(f) +λ(f), quige´ne´raliselaformulebienconnuepourlecasU=C2, voir [9]. Iciχ(U) estlacaracte´ristiqued’EulerdeU.´egaL’in:eludneioce´enidqutet´lieve´ (f) +λ(f)≥χ(U)−1 montre que sur une surface avecχ(U)>outeue)tqire´ne´gsacelts’e(c1 fonctionadmetsoitdessingularite´ssurU, soit un saut pour les nombres de Milnordesessingularite´sa`l’infini. Onmontrel’analoguesuivantduth´eor`emed’Abhyankar-Moh-Suzuki The´ore`me2.On se donne sur la surface affineU=P2\Cu`oCest une courbeirr´eductibledeP2i`uleeritno´rgeuenofcnf. On suppose quef:U→C est une fibration localement triviale alorsCest une courbe rationelle qui est hom´eomorphea`P1. En general, soitB⊂Cl’ensemble de bifurcation defet posonsS=C\B, ´ ´ X=f−1(S). Alors,f:X→Sest une fibration localement triviale et on a unerepr´esentationdemonodromie: ρ:π(S, s0)→AutH1(Fs0) pours0∈Spse’decaoisnlednestltauxsfivei´L.ree´usleladimeantcalcu cocyclesinvariantsetge´ne´raliselaformuleobtenuedans[7]pourlecasU= C2.
` TABLE DES MATIERES
Proposition 1.
dimH1(Fs0)ρ=n(C)−1 +X(n(Fb)−1)− |B| b∈B
oun(Fbprresee)irr´educposantesrbdecemotnlenemodeesbltirefibla ` ´ Fb. Finalement,lesr´esultatsdupremierchapitresontutilis´esdanslesecond pour obtenir une base de la cohomologie de De RhamH1(F) de la fibre ge´n´eriqueF.
7
Chapitre 1
Cohomologie de De Rham
1.1 Introduction L’objetdecechapitreestl’´etudeduplongementd’unecourbealg´ebrique dansP2eia`logoicneocffienstsdaapcsedenurndioptriomohacelCde l’espace compl´ementaire. Dans[12],P.Griffithsd´efinitunefiltrationparl’ordredupoˆleP, sur le complexededeRhamalg´ebriqueducomple´mentaired’undiviseurDlisse dePnl’espace projectif complexe. Il montre que toute classe de cohomologie peutˆetrerepr´esente´eparuneformedontlepoˆleestd’ordreauplusnle long deDelhxsui,eDlp.deigolomohocedepougrdusebaneeuibedegr´en. Lamajorationdel’ordredupoˆlea´ete´g´ene´ralise´edans[3]aucompl´ement ` ne hy urface dePnnne´onasri´csetlisemense. a u pers Nousnousproposonsdanscechapitred’am´eliorerlamajorationdel’ordre dupˆolepourdesdiviseursre´ductiblesdeP2atprsulter´e.Ltselapelniic suivant : Th´eoreme3.SoientC1, , Cnncourbes deP2d´efin´sqeauitneoipssrael ` irre´ductiblesf1= 0, , fn= 0. AlorsH2(P2\ ∪in=1Cidrenpa´ees)ngtelrse formes PΩ fi1f fi,1≤i1, i2, i3≤n, i2 3 ou`Ωestlacontractiondelaformevolumedel’espaceaffineA3par le champ de vecteurs d’Euler. Sauf mention du contraire, les groupes de cohomologiesonttoujours`acoefficientsdansC.