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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 43 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Racines et arithmétique
Exercice 1[ 02166 ][correction]
Soientpetqentiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.deux
Montrer
(Xp−1)(Xq−1)|(X−1)(Xpq−1)
Exercice 2[ 02167 ][correction]
Justifier les divisibilités suivantes :
a)∀n∈N,X2|(X+ 1)n−nX−1
b)∀n∈N?,(X−1)3|nXn+2−(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)X−n
Exercice 3[ 02168 ][correction]
Montrer qu’il existe un unique polynômePde degré inférieur à 3 tel que :
Déterminer celui-ci.
(X−1)2|P−1et(X+ 1)2|P+ 1
Exercice 4[ 02169 ][correction]
Justifier
∀(n p q)∈N3,1 +X+X2|X3n+X3p+1+X3q+2
Exercice 5[ 02170 ][correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante surn∈Npour que
X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1
Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02668 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X]tels que(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).
Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02673 ][correction]
On cherche les polynômesPnon nuls tels que
P(X2) =P(X−1)P(X)
a) Montrer que toute racine d’un telPest de module 1.
b) Déterminer les polynômesP.
Enoncés
Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02672 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X] {0}tels queP(X2) =P(X)P(X−1).
Exercice 9X MP[ 03041 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]tels que
P(1) = 1,P(2) = 2,P0(1) = 3,P0(2) = 4,P00(1) = 5etP00(2) = 6
Exercice 10[ 03406 ][correction]
[Equation de Fermat polynomiale]
a) SoientP Q R∈C[X]premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels
que
P+Q+R= 0
Soientp q rle nombre de racines distinctes des polynômesP Q R
respectivement.
Prouver que le degré dePest strictement inférieur àp+q+r.
(indice : introduiteP0Q−Q0P)
b) Trouver tous les triplets de polynômes complexes(P Q R)tels que
Pn+Qn=Rn
pourn>3donné.
c) Le résultat s’étend-il àn= 2?
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Les racines deXp−1sont simples et toutes racines deXpq−1.
Les racines deXq−1sont simples et toutes racines deXpq−1.
En dehors de 1, les racines deXp−1etXq−1sont distinctes.
Comme 1 racine double de(X−1)(Xpq−1), on peut conclure
(Xp−1)(Xq−1)|(X−1)(Xpq−1).
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
a) PosonsP= (X+ 1)n−nX−1. On aP(0) = 0etP0=n(X+ 1)n−1−ndonc
P0(0) = 0.
0 est au moins racine double dePdoncX2|P.
b) PosonsP=nXn+2−(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)X−n. On observe
P(1) =P0(1) =P00(1) = 0.
1 est au moins racine triple dePdonc(X−1)3|P.
Exercice 3 :[énoncé]
1 est au moins racine double deP−1donc 1 est au moins racine simple de
0
(P−1)0=P.
De mme−1est au moins racine simple deP0. Par suiteX2−1|P0.
PuisquedegP062, on peut écrireP0=λ(X2−1)avecλ∈K.
Par suiteP=λ3X3−λX+µ.P(1) = 1etP(−1) =−1permettent de déterminer
λetµ.
On obtient :λ=−32etµ= 0.
Exercice 4 :[énoncé]
1 +X+X2= (X−j)(X−j2).
jetj2sont racines deX3n+X3p+1+X3q+2donc
1 +X+X2|X3n+X3p+1+X3q+2.
Exercice 5 :[énoncé]
On peut factoriser
X2+X+ 1 = (X−j)(X−j2)
On en déduit
X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1⇔jetj2sont racines deX2n+Xn+ 1
2
PuisqueX2n+Xn+ 1est un polynôme réeljen est racine si, et seulement si,j2
l’est.
sin [3]= 0
(X2n+Xn+ 1)(j) =j2n+jn+ 1 =(03sinon
Finalement
X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1⇔n6 [3]= 0
Exercice 6 :[énoncé]
SoitPsolution.X|(X+ 4)P(X)doncX|Ppuis(X+ 1)|P(X+ 1)donc
(X+ 1)|(X+ 4)P(X)puisX+ 1|Petc. . .
Ainsi on obtient queP(X) =X(X+ 1)(X+ 2)(X+ 3)Q(X)avec
Q(X+ 1) =Q(X)doncQconstant.
La réciproque est immédiate.
Exercice 7 :[énoncé]
a) Siaest une racine dePnon nulle alorsa2 a4 sont racines deP. OrP6= 0
doncPn’admet qu’un nombre fini de racines. La série précédente est donc
redondante et par suiteaest une racine de l’unité et donc|a|= 1.
Sia= 0est racine dePalors1 = (0 + 1)2aussi puis4 = (1 + 1)2 . . etl’est encore,.
finalementPadmet une infinité de racines ce qui est exclu.
Finalement les racines dePsont toutes de module 1.
b) Soita∈Cune racine deP.a+ 1est racine deP(X−1)donc(a+ 1)2est
aussi racine deP. Il s’ensuit que|a|=|a+ 1|= 1. En résolvant cette double
équation on obtienta=jouj2et doncPest de la forme
P(X) =λ(X−j)α(X−j2)β
Le nombrejest racine de multiplicitéαdePdoncjest racine de multiplicité au
moinsαde
P(X2) = (X2−j)α(X2−j2)β
et par suiteβ>α. Un raisonnement symétrique permet de conclureβ=αet le
polynômePest de la forme
λ(X2+X+ 1)α
Un telPest solution du problème posé si, et seulement si,
λ2(X4+X2+ 1)α=λ((X−1)2+ (X−1) + 1)α(X2+X+ 1)α
égalité qui est vérifiée si, et seulement si,λ= 1.
Finalement les solutions du problème posé sont les polynômesP= (X2+X+ 1)α
avecα∈N.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 8 :[énoncé]
SupposonsPsolution. Le coefficient dominant dePest égal à 1. Siaest racine de
Palorsa2et(a+ 1)2le sont aussi.
Siaest une racine dePnon nulle alorsa2 a4 sont racines deP. OrP6= 0
doncPn’admet qu’un nombre fini de racines. La série précédente est donc
redondante et par suiteaest une racine de l’unité et donc|a|= 1.
Sia= 0est racine dePalors1 = (0 + 1)2aussi puis4 = (1 + 1)2l’est encore,. . . et
finalementPadmet une infinité de racines ce qui est exclu.
Finalement les racines dePsont toutes de module 1.
Or siaest racine deP,(a+ 1)2l’étant encore, on a|a|=|a+ 1|= 1. Les seuls
complexes vérifiant cette identité sontjetj2.On en déduit que
P= (X2+X+ 1)nOn vérifie par le calcul qu’un tel polynôme est bien solution..
Exercice 9 :[énoncé]
Dans un premier temps cherchonsPvérifiantP(0) = 1,P(1) = 2,P0(0) = 3,
P0(1) = 4,P00(0) = 5etP00(1) = 6puis on considèreraP(X−1)au terme des
calculs.
Un polynôme vérifiantP(0) = 1etP(1) = 2est de la forme
P(X) =X+ 1 +X(X−1)Q(X)
Pour que le polynômePvérifieP0(0) = 3,P0(1) = 4,P00(0) = 5etP00(1) = 6
on veut queQvérifieQ(0) =−2,Q(1) = 3,Q0(0) =−92etQ0(1) = 0.
Le polynômeQ(X) = 5X−2 +X(X−1)R(X)vérifie les deux premières
conditions et vérifie les deux suivantes siR(0) = 192etR(1) =−5.
Le polynômeR=−229X+129convient.
Finalement
P(X) =X+ 1 +X(X−1)5X−2 +X(X−1)−229X+912
est solution du problème transformé et
P(X) =−292X5+ 111X4−5625X3+ 464X2−314X+ 82
est solution du problème initial.
Les autres solutions s’en déduisent en observant que la différence de deux
solutions possède 1 et 2 comme racine triple.
Finalement, la solution générale est
−922X5+ 111X4−6552X3+ 464X2−314X+ 82 + (X−1)3(X−2)3Q(X)
avecQ∈C[X].
Exercice 10 :[énoncé]
a) Puisque les racines communes àPetP0permettent de dénombrer les
multiplicités des racines deP, on a
p= degP−deg(pgcd(P P0))
et des relations analogues pourqetr.
De plus, on a
P0Q−Q0P=Q0R−R0Q=R0P−P0R
3
et ce polynôme est non nul car les polynômesP Q Rsont non constants. En effet,
siP0Q−Q0P= 0, alors une racine dePest nécessairement racine deQce qui est
exclu.
Puisque les polynôme pgcd(P P0), pgcd(Q Q0)et pgcd(R R0)divisent chacun le
polynômeQ0R−R0Qet puisqu’ils sont deux à deux premiers entre eux (car
P Q Rle sont), on a
pgcd(P P0)pgcd(Q Q0)pgcd(R R0)|Q0R−R0Q
Par considérations des degrés
et donc
degP−p+ degQ−q+ degR−r6degQ+ degR−1
degP6p+q+r−1
b) Soientn>3etP Q Rvérifiant
Pn+Qn=Rn
Siaest racine commune aux poly