ESSEC 1999 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUESIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e a` prendre.L’objectifdeceprobl`emeestl’´etudedelamod´elisationdel’accroissementd’unepopulation,tantparlesnaissancesque par l’immigration.Cette ´etude est effectu´ee dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on ´etablit un r´esultat probabilistepr´eliminaire.Dans tout le probl`eme enfin, on admettra que l’on a pour tout couple de nombres r´eels (α,x) tel que α > 0 et06x< 1, la formule suivante, dite formule du binˆome g´en´eralis´ee:1 α(α+1) α(α+1)...(α+n−1)2 n= 1+αx+ x +···+ x +...α(1−x) 2! n!c’est-`a-dire+∞X1 α(α+1)...(α+n−1) n= xα(1−x) n!n=0+∞Pk−1 nOn explicitera, `a l’aide de cette formule, la somme de la s´erie C x pour 06x< 1.n+k−1n=0Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pour α = 1 et 2?Partie 1On ...