HEC 2007 mathematiques 3 classe prepa hec (eco)

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6H.E.C. 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans{a mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE3 31. On consid`ereR muni de sa base canonique (e ,e ,e ); soit t l’endomorphisme deR , dont la1 2 3matrice associ´ee T relativement a` cette base s’´ecrit : 1 1 1 T = 0 1 00 1 0Calculer les valeurs propres de t. D´eterminer les sous-espaces propres de t associ´es, et donnerune base de chacun d’entre eux.L’endomorphisme t est-il diagonalisable? Est-il bijectif?L’objet des questions suivantes est une g´en´eralisation des r´esultats pr´ec´edents.∗ 2n+12. Soit n un entier de N . On consid`ere l’espace vectoriel R 1 muni de sa base canonique2n+1(e ,e ,··· ,e ). Soit t l’endomorphisme deR d´efini par :1 2 2n+1– pour tout entier i de [1,2n+1], avec i = n+1 : t(e ) = e ;i 1– t(e ) = e +e +···+e .n+1 1 2 2n+1a) D´eterminerlamatriceT associ´eea`l’endomorphismetrelativementa`labase(e ,e ,··· ,e )1 2 2n+1b) D´ le rang de t, ainsi que la dimension du noyau de t.c) Justifier que 0 est valeur propre de t. D´eterminer la dimension du ...

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H.E.C. 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES III

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdans{se´ratluedstrueledurosupblsieselsecsaalmculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautorise´e.

EXERCICE 3 3 1.Onconsid`ereRmuni de sa base canonique (e 1 , e 2 , e 3 soit) ;tl’endomorphisme deR, dont la matriceassocie´eTlernemevitat`acettebases’´ercti:   1 1 1   T = 01 0 0 1 0

Calculer les valeurs propres detedseelssnireetmrD.e´roprcespespaous-te,se´icossarneontd une base de chacun d’entre eux. L’endomorphismet?? Est-il bijectifest-il diagonalisable L’objetdesquestionssuivantesestuneg´ene´ralisationdesre´sultatspr´ece´dents. ∗2n+1 2. Soitnun entier deNlee’pscaveceotir.Onconsid`erleR1 muni de sa base canonique 2n+1 (e 1 , e 2 ,∙ ∙ ∙, e 2n+1 ). Soittl’endomorphisme deR´dinfier:pa – pourtout entieride [1,2n+ 1],aveci6=n+ 1 :t(e i ) =e 1 ; –t(e n+1 ) =e 1 +e 2 +∙ ∙ ∙+e 2n+1 . a)D´eterminerlamatriceTehismmorpendoee´i’la`acosstre(sealabtna`evemalite 1 , e 2 ,∙ ∙ ∙, e 2n+1 ) b)De´terminerlerangdet, ainsi que la dimension du noyau det. c) Justifier que 0 est valeur propre detetmrD.e´ladiineriondmensse-suosuporpecapre associ´e`alavaleurpropre0,ainsiqu’unebasedecesous-espace. 2n+1 3. Montrerque Im(t◦t)⊂Im (t(Im`u,o)unu’degami’lengis´e)dehismmorpendoudeR ˜ ˜ 4. Soittslunei’m(rImodnhproemsifie´dt) par : pour toutxde Im(t),t(x) =t(x)  P 2n+1 ´ ´ ˜ Etablir queB=e 1 , e i (constitue une base de Imtlamarireeeea`sastorcii´c.cE)t i=1 relativementa`labaseB 5. a)Soitλune valeur propre non nulle det, etxvecteurpunco´i`eaorrpaessλ. Montrer que x(mIpaapeitra`tnt). b)Ende´duiretouteslesvaleurspropresdet. L’endomorphismetest-il diagonalisable?

` PROBLEME Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontconside´re´escommed´efiniessur desespacesprobabilis´esnonn´ecessairementidentiques,maisqui,parsoucidesimplification,seront tousnote´s(Ω,A,P)

HEC III 2007 eco

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