HEC 2007 mathematiques 3 classe prepa hec (eco)

6H.E.C. 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans{a mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE3 31. On consid`ereR muni de sa base canonique (e ,e ,e ); soit t l’endomorphisme deR , dont la1 2 3matrice associ´ee T relativement a` cette base s’´ecrit : 1 1 1 T = 0 1 00 1 0Calculer les valeurs propres de t. D´eterminer les sous-espaces propres de t associ´es, et donnerune base de chacun d’entre eux.L’endomorphisme t est-il diagonalisable? Est-il bijectif?L’objet des questions suivantes est une g´en´eralisation des r´esultats pr´ec´edents.∗ 2n+12. Soit n un entier de N . On consid`ere l’espace vectoriel R 1 muni de sa base canonique2n+1(e ,e ,··· ,e ). Soit t l’endomorphisme deR d´efini par :1 2 2n+1– pour tout entier i de [1,2n+1], avec i = n+1 : t(e ) = e ;i 1– t(e ) = e +e +···+e .n+1 1 2 2n+1a) D´eterminerlamatriceT associ´eea`l’endomorphismetrelativementa`labase(e ,e ,··· ,e )1 2 2n+1b) D´ le rang de t, ainsi que la dimension du noyau de t.c) Justifier que 0 est valeur propre de t. D´eterminer la dimension du ...