Universite Claude Bernard Lyon et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee Unite d'enseignement algebre approfondie Examen partiel du novembre Enseignant responsable Bertrand REMY
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Niveau: SupérieurUniversite Claude Bernard – Lyon 1 et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee 2006/2007 Unite d'enseignement : algebre approfondie Examen partiel du 20 novembre 2006 Enseignant responsable : Bertrand REMY Duree : 2 heures 45. Appareils electroniques autorises : aucun. Documents autorises : aucun. La clarte et la pertinence des explications sont un element d'appreciation significatif de la copie. Exercice A. On rappelle qu'un corps quadratique est un corps K de caracteristique 0 tel que [K : Q] = 2. On se donne un tel corps K. 1) Justifier qu'on peut ecrire K = Q[ √ d] ou d est un nombre entier sans facteur carre. Le but de cet exercice est de decrire l'ensemble, note OK , des elements de K = Q[ √ d] comme ci-dessus qui sont entiers sur Z ; plus precisement, on souhaite demontrer que OK est un Z-module libre de rang 2. 2) Prouver qu'un anneau factoriel est integralement clos. 3) Determiner les automorphismes de corps de K. On note ? l'automorphisme non trivial de K. 4) Prouver que ?(OK) = OK . On se donne maintenant x = a + b √ d dans K. 5) Prouver que si x?OK, alors on a 2a?Z et a2 ? db2?Z. 6) Prouver l'implication reciproque.superieure de lyon annee relation de dependance integrale de degre minimal aj ? anneau noetherien polynome rationnel de degre ≤ xr·?m ? degre
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´ Universit´eClaudeBernard–Lyon1etEcoleNormaleSupe´rieuredeLyon Ann´ee2006/2007 Unite´d’enseignement:alg`ebreapprofondie Examen partiel du 20 novembre 2006 ´ Enseignant responsable :Bertrand REMY
Dure´eheures 45.: 2 Appareils´electroniquesautorise´s: aucun. Documents autoris´es: aucun. Laclarte´etlapertinencedesexplicationssontun´ele´mentd’appr´eciationsignificatif de la copie.
Exercice A.On rappelle qu’uncorps quadratiqueest un corpsKde caract´eristique 0 tel que [K:QOn se donne un tel corps] = 2.K. √ 1) Justifier qu’on peut ´ecrireK=Q[do]u`dest un nombre entier sans facteur carr´e. √ Le but de cet exercice est de d´ecrire l’ensemble, not´eOK, des ´el´ements deK=Q[d] comme cidessus qui sont entiers surZeuqrerulp;tno,e´emcesips´rmonted´ehaitnsou OKest unZmodule libre de rang 2. 2)Prouverqu’unanneaufactorielestinte´gralementclos. 3) D´eterminer les automorphismes de corps deK. On noteσl’automorphisme non trivial deK. 4) Prouver queσ(OK) =OK. √ On se donne maintenantx=a+b ddansK. 2 2 5) Prouver que six∈ OK, alors on a 2a∈Zeta−db∈Z. 6) Prouver l’implication r´eciproque. Onsupposede´sormaisquex∈ OK. 7) Prouver que 2aet 2bsont des nombres entiers relatifs. 8) En d´eduire queOKest form´e des ´el´ements de la formea+b davecaetbdansZ √ 1 sid(vaut 2 ou 3 modulo 4, et des ´elements de la formeu+v d) avecuetvdans 2 Z.et de mˆeme parit´e dans le cas restant (que l’on pr´ecisera) 9) Conclure.
Exercice B.SoitAun anneau commutatif unitaire et soitMunAmodule. 1)De´montrerquelespropri´et´essuivantessont´equivalentes: (i) tout sousAmodule deMest de type fini ; (ii) toute suite croissante de sousAmodules deMest stationnaire ; (iii) toute famille non vide de sousAmodules deMeneml´´ealimaxtm.nua 1
