Universite Claude Bernard Lyon et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee Unite d'enseignement algebre approfondie Examen partiel du novembre Enseignant responsable Bertrand REMY

Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard – Lyon 1 et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee 2006/2007 Unite d'enseignement : algebre approfondie Examen partiel du 20 novembre 2006 Enseignant responsable : Bertrand REMY Duree : 2 heures 45. Appareils electroniques autorises : aucun. Documents autorises : aucun. La clarte et la pertinence des explications sont un element d'appreciation significatif de la copie. Exercice A. On rappelle qu'un corps quadratique est un corps K de caracteristique 0 tel que [K : Q] = 2. On se donne un tel corps K. 1) Justifier qu'on peut ecrire K = Q[ √ d] ou d est un nombre entier sans facteur carre. Le but de cet exercice est de decrire l'ensemble, note OK , des elements de K = Q[ √ d] comme ci-dessus qui sont entiers sur Z ; plus precisement, on souhaite demontrer que OK est un Z-module libre de rang 2. 2) Prouver qu'un anneau factoriel est integralement clos. 3) Determiner les automorphismes de corps de K. On note ? l'automorphisme non trivial de K. 4) Prouver que ?(OK) = OK . On se donne maintenant x = a + b √ d dans K. 5) Prouver que si x?OK, alors on a 2a?Z et a2 ? db2?Z. 6) Prouver l'implication reciproque.

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