Correction sur les fonctions trigonométriques

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CORRECTION DM8 EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique f est la fonction définie sur R par : f(x) = sin x (1 + cosx) 1) a) i) Pour tout x ∈ R, (x + 2 ) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(x + 2 ) = sin(x + 2 )(1 +cos(x + 2 ) = sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2 périodiques. = f(x) Donc f est périodique de période 2 . b) i) Pour tout x ∈ R, (-x) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x) = - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. = - f(x) Donc f est impaire. c) f est périodique de période 2 donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2 comme [0 ; 2 ] ou [- ; ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet pour centre de symétrie, l’origine O du repère. Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; ]. 2) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R .

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Publié le 22 octobre 2013
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CORRECTIO


EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique

f est la fonction définie sur par : = sin x (1 + cosx) f(x)

N DM8

1) a)i) Pour tout x∈ , (x + 2ϑ)∈ 
ii) Pour tout x∈ , f(x + 2ϑ) = + 2 sin(xϑ)(1 +cos(x + 2ϑ)
sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinu
=
= f(x)

s et c

o

sin

us so

nt 2ϑpériodiques.

Donc f est périodique de période 2ϑ.

b)i) Pour tout x∈ , (-x)∈ 
ii) Pour tout x∈  sin(-x )(1 +cos(-x), f(-x ) =
= - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.
= - f(x)

Donc f est impaire.

c)f est périodique de période 2ϑdonc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2ϑcomme
[0 ; 2ϑ] ou [ϑ;ϑ [0 ; +] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur[. Sa courbe admet
-
pour centre de symétrie, l’origine O du repère.

Finalement on peut étudier f sur I = [0 ;ϑ].

2) a)f est dérivablecomme produit de fonctions dérivables sur.
Ainsi f est dérivable sur I = [0 ;ϑ]
Pour tout x de I, f ’(x) = cosx(1 + cosx) + sinx(- sinx) = cosx + cos²x sin²x
= cosx + cos² x (1 cos²x) = 2cos²x + cosx - 1
D’autre part, 2( cosx 1 )(cosx + 1) = (2 cosx 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2cosx cos x 1= 2cos²x + cos x 1

2
Ainsi pour tout x de I,1) +x os(c ) ’(xf 21so x(2c ) =
b)A l’aide du cercle trigonométrique ,
Sur I, signe de cos x 21 : cos x 12 = 0 ⇔ x ruop3 = oc= 12s x onc dϑ
cos x 1 > 0 pour x ∈ ;[03 ϑ e[ x ruop 0 <12 x s cot ∈3] ϑ ; ϑ]
2
signe de cos x + 1 : cos x + 1 = 0 lorsque cos x = - 1 donc pour xϑ
=
cos x + 1 > 0 quand cos x > -1 donc pour x∈[0 ;ϑ[ et cos x + 1 < 0 n’a pas de solutio

ϑ
0
0


D’où le tableau de signe de f ’(x) :ϑ
x 0
3

cos x 12 + 0 -

cos x + 1 + +

f ’(x) 0 -
+

On a donc sur I,
f ’(x) = 0⇔x =ϑ3 ou x =ϑ
f ’(x) > 0⇔x∈[0 3 ;ϑ f est strictement croissante sur[ donc [0 ;ϑ3 ]
f ’(x) < 0⇔x∈3 ]ϑ;ϑoissdécrent ctemtsirse t c fd no[ 3 [ rus etnaϑ;ϑ ]

n sur I

0

0,0

3 3

4

0

ϑ

0ϑ/3

ϑ

ϑ






















10ϑ∋)

(


D'où le tableau de variations de f s

x


f



f(0) = sin(0)(1 + cos (0)) = 0

%(

1
f( 3ϑ s = (in3 ) ϑ s3 +oc 1 )(ϑ 2( 1 3 3 ) =43 2) =
+
f(ϑ) = sin (ϑ) ( 1 + cos (ϑ))= 0


3)Tableau de valeurs :

ϑ ϑ ϑ ϑ2
x 0 6 4 3 2 3

f(x) 0 0,93 1,21 1,3 1 0,43



Représentation graphique de f sur [-2ϑ; 2ϑ]

r I :

u

7

5
6

0,21

3
4

x

y

ϑ

f

C

1

0ϑ/6)
ϑ∋

%ϑ∋)

%10ϑ∋)

0

EXERCICE 2: Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes

1) Comme OABC est un carré direct,
¾| ¾|
OC = OA et ( OA , OC ) =ϑ[ 2ϑ]

B

y

2
Or, A a pour coordonnées polaires2;3donc,C21
OC = 2 et
| ¾| | ¾| ¾| ¾|
( i , OC ) = ( i , OA ) + ( OA , OC ) [2ϑ] 1-2 -1 0
3ϑ+ϑ[2ϑ65 = ]ϑ[ 2ϑ] d’où,
= 2-1
C a pour coordonnées polaires C( 2 , 5 6ϑ).

A partir des coordonnées polaires de C on a ses coordonnées cartésiennes :
xC2 cos(5 6 = ϑy3 - t e-(23) = ) = 2C = s 2( ni6 5ϑ, =1 ) 1= ×22
Les coordonnées cartésiennes de C sont : C( - 3 ; 1)

2)De même à partir des coordonnées polaires de A, on obtient ses coordonnées carté
xA= 2 cos(ϑ ty 1e =1×2 = 2 3)A= 2 sin (ϑ = ) , 3(×2 23 =3) soit 3).A( 1 ;

¾| ¾|
Comme le quadrilatère OABC est un carré, on a l’égalité vectorielle OA = CB .
On en déduit que xB+ 3 = 1 et yB 3 - 1 = d’où xB 3 = 1 - et yB + 1 = 3

Les coordonnées cartésiennes du point B sont : 3, 3 + 1).B(1 -

3) OB = (1 + ( 3 - 3)² 2 = 2 8 + 1)²=
¾
Comme, OABC est un carré de sens direct (¾OB|, OA|) = -ϑ4 [2ϑ]
Ainsi, ( i|,¾OB|) = ( i|,¾OA|) + (¾OA|,¾OB|) [ 2ϑ] =ϑ3 +ϑ4 [2ϑ =] 712ϑ [2ϑ]

A

2

siennes :

3

x

Les coordonnées polaires de B sont ( 22, 71 2ϑ)
On utilise la relation qui existe entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes du point B pour
déterminer co 7ϑ12et sin7 ϑ.
s 12
On a 1 - 3 = 2 2cos 71 2ϑ+ 1 3 2 si= 2 12 n 7t e ϑ

= so t
D’où, cos 71 2ϑ32- 1 = te 2 7 nis ϑ i ,3 + 1
12 2 2

cos 71 2ϑ 7nis te= ( 1 223)2 2 = - 2 46ϑ21)+ 3 ( = 42. 6 +=
12 2 2 2
Comme 71 2ϑ=ϑ2 + 1ϑ2 , cosϑsin 7ϑet sin 1ϑ12 cos 7 2= - ϑ où : d’
=
12 12

ϑ

cos12=




6
+

4

2 etsin =
12

6
-
4

2

EXERCICE 3 : Coordonnées polaires et construction de points

1) A ( 3 1 2 ; -3 12) donc rA= OA
=
8 4 3 = 4(2 - 3)
4 4 =2 - 3.

(

3 2 1) ² +(- 32 1)² =

3 2 3 + 1 3 - 2 3 +1

4 + 4 =

3 et 6 - 2nt positifs, comparons leur carré.
Les deux nombres 2 - 2so
(2 - 3 )² = 2 - 3 et (6 2- 2) ² = 6 2 412 + 2 =8 4 32 -
=
4

Les deux nombres positifs ont même carré, ils sont donc égaux6 -

. D où,rA2=

3 1
2
=
cos (A ) 3 = 2 +)2= 1 - 2 () 66 - 26 -8 + 6 - - 61= 2 = 3+ 6 (62)3 ()(-1
6 - 2
2
3 1
-
sin (A = 2 2 6) =- 22d’après les calculs précédents. Ainsi,A= -ϑ [2ϑ]
- 4

2

2
.

2 -

4

22
=
2.

3

Les coordonnées polaires de A sont bien ( 6 -2 2 ; - ϑ ).
4

Si OAB est un triangle direct, isocèle et rectangle en O, alors B est l’image de A par la rotation de centre O et
d’angle 2ϑ.

Ainsi puisque A a pour c données p 6 -
oor olaires ( 2
-

( 6 2ϑ+ϑ2 ) soit 22 ;4B -(6ϑ)
2 ; - 4

2)

2
; -ϑ coordonnées polaires4 ) , B a pour

2 3 + 1
DA = (xA xD)² + ( yA- yD=² 3 +1) 2+ 3 (- ² ) 2²) 1 ( 3 ² = -1) 12- 3 + (
4 2
4 2 3 +1
= 4 + 3 + 2 4 3 = 2.
+ 2 2 12 + 2 2 3 + 2
Les coordonnées cartésiennes de C sont xC 6 + =oc s2 24ϑ ×= 6 = = =
2 2 4 4
6 + 2 iϑ22+ 22 × 3 = 1 +d 2rpa’c sèuq ei précède 4 = 6
et yC = n2 s
Les coordonnées cartésiennes de C sont (3 2+ 1 , 3 2+ 1) .

DC =
(32+1 )² + (3 2+ 1 - 1)² =3 + 2 43 + 1 + (3 + 21 2 )² = 4 + 42 3 + 3 2 43 + 1
= 48 = 2
On a DA = DC = 2, les points A et C sont situés sur le cercle de centre D et de rayon2.




3 + 1

2

3)

-3

-2

-1

y

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

D

A

B

1I

C

2

3

4

x



| |
Dans le repère orthonormal direct (O, i , j ), placer D(0 ; 1) puis construire le cerclede centre D passant par

I (1 ; 0). Ce cercle a pour rayon 2 .DI =
| ¾|ϑ[
On construit ensuite la demi droite [OE) avec E(1 ; 0) , c’est la première bissectrice et ( i , OE ) = 4 2ϑ]
Le point C est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle.
| ¾|ϑ
Construire la demi droite [OF) avec F(1 ; -1), on a alors ( i , OF ) = -4 [2ϑ]
Le point A est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle.

B se trouve sur la demi droite [OC) et vérifie OB = OA, pour le placer il faut construire le cercle de centre O

passant par A.B est alors le point d’intersection de ce cercle et de [OC).