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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
1Notes de cours, Mathématiques pour la physique, Université Joseph Fourier, Grenoble ; Master Physique M1, année 2011-12 (version : 25 aout 2011) Frédéric Faure Frederic Faure, Institut Fourier, grenoble. email :

  • groupe spécial

  • di?éomorphisme entre variétés

  • représentation

  • ?∞ exp

  • chapitre géométrie di?érentielle

  • transformée de fourier

  • variété riemannienne

  • exemples de champs de vecteurs

  • mécanique hamiltonienne


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aure1ersionNotesInstitutde2011)cours,FMath?matiquesemailp25ourr?d?riclafourier.ujf-phFysique,ourier,Univfrederic.faure@ujf-grenoble.frersit?:JosephaoutFFourier,FGrenoblehttp://www-;grenoble.fr/~faureMasterredericPhaure,ysiqueFM1,grenoble.ann?e:2011-12(v2E =R
.1.Analyseunde.F?terminanourier,basedistributions65et.EDP.?.co.ecienApplicationsts.constan67tsdirecte5.1.1.D?rivapplication?e.et.form.ule.de.TM?adeylorh?mas.........Espace...46.........dual.............2.4.1.2.............T5.1.2.S?ries.de.F.ourier40.......................Repr?se.une...race.............52.......2.4.1.......Existence...te16.1.3.Fenonctions.h.o.lomorphes.?63une.v.ariable....Mink...i.....................Somm.v.........4522quotien1.3.0.1.Premi?re.form.ule.des.r?sidus....Applications...............47.tation.ire.....2.2.2.et25endomorphisme1.3.0.2.F.orm.ule2.3des.r?sidus................M?triques.v.............trique..........25.1.3.155Appliconstructioncation.au.calcullin?aired'in.t?grales..M?tho.de.des61r?sidus.qui.la...62.Hermitienne....26.1.4.T.ransform?e.deM?Ftzourier............2.4.4.l'espace-temps.wski.....M?.symplectique..................................27.1.4.1.Espace.s2.1.1deeBanacd'espaceshectorielsest.espace.de.Hilb.ert.de.fonctions......2.1.2.s.ts......28.1.4.2.La.transform?e.de.F.ourier..........2.2.lin?aires...............................2.2.1.n29d'une1.4.2.1lin?aTdansransbasef.orm?e.de.F48ourierDettd?rivTationd'unou.m.ul.t.i.plication....5130Espace1.4.2.2.T.rans.f.orm?e.de.F.ourier.in.v.erse................2.4.sur.espace.ectoriel........33.1.4.2.3.T.rans.f.orm?e.de.F55ourierM?etEuclidiennecon.v.olution......................2.4.1.134et1.5d'uneTh?orieorthonorm?edes.distributions..59.Application.adjoin...................2.4.1.3.lin?aires.pr?serv.t.m?trique.......2.4.2.trique............3.6.1.6.T.ransform?e.par.ondelettes..2.4.3.trique.Loren...........................64.Sc.dans.de.omati?resabledes............2.4.536tr2queEspaces.v.ectoriels.et.tensoriels.40.2.1.Espaces.v.ectoriels........2.!A
!
GL (R)n
SL (n;R)
O (n);SO (n)
U (n);SU (n)
Sp (2n;R)
SO (2)
SO (3)
SO (3)
SO (3)
SO (3)
SU (2)
SU (2)
SO (3) SU (2)
V
3M =R
.en.t.de.Base..T.ransformationetde.co.ordonn?es.d'un.tenseur.11974.3.Group.es.de.matrices.etnrepr?senVtations.76.3.1.Leslogroup.es.classiques123decmatriceousn.tiell.132.form.et.........Bases...............T.....jectoires...Exem..79le3.1.1.Lehampsgroup.e.g?n?ral.lin?aire................n...3.6.2.........es.....di?ren.........F79.3.1.2.Le.group.eVsp.?cial.lin?aire....v.d.........120.........hamps.....ort.......Lie.cteurs...V..80.3.1.3.Le4.5s.group.e.orthogonal4.6.........de.....?e.es.....en.c.........n...............3.6.3.de81Lie3.1.4.Le.s.group105elaunitaire113.di?ren...............113...................118.tangen.................Expression81tangen3.1.5unLecogroup.e.symplectique...tensoriels.Espaces.2.5.71.symplectique..T.ot.............122.de.v.ot.......T.fonctions..82.3.2.Le.group.e4.3.5m?triquetladeuxev.......127.cotangen.formes.............et.curviligne.............ormes.................Exem.2.5.1..82.3.3.Le.group4.9eepr?servdequi.lin?aire........4.10.v.ort.de.ur.............100.Repr?se.tation.............................10285Repr?se3.3.1tationSyst?megroupdedecocompactordonn?es.sur.Application.2.4.5.2.70......4.de.g?om?trie.tielle.4.1.ari?t?.tiable..................85.3.3.1.1.T.op.ologie.de..4.2.onctions.....................................4.3.ecteurs.ts..86.3.3.2.Al.g?bre.de.Lie.de..................4.3.1.d'un.ecteur.t.dans.syst?me.e.ordonn?es.cales....................87.3.4.Le.group.e...symplectique.te4.3.2.ra.et.............................4.3.3.ples.c.de.ecteurs.leur...............4.3.4.ransp.de92par3.4.1otSyst?me.de.co.ordonn?es.sur.adjoin.lin?aire.Application.et.top124oCrologiehe.de.de.c.de.e............92.3.54.4Relationecteursentstre1les.group.es.2.4.5.1.3.ES.et.TI?R.MA.DES......129.1-formes.i.t?gralesABLE.......................135131OrienFd'unedi?renari?t?es............................4.8.t4.6.1coplesl'espaceChangem71.in.......................4.797tation3.6vRepr?sen.tation.de.group.e....................137.Changemen.de.ordonn?e.et.t?grales...................137.D?riv.ext?rieure100t3.6.1uleIStokn.tro.duction................139.Di?omorphisme.tre.ari?t?s.transp.de.hamp.te.se.s.....145.d
~ ~E B
2R
2S
:=
A :=f2n; n2Ng
A 2n n A
......le....146.4.11.1signieRapp.els.su5.3rFle.pro.duittermescalaireec.5.1.............t?grales...A.1.1...e.terme.et.tiers.?quations.Solution........1465.24.11.2.V.ari?.t?.Riemanniennetiell.......A.1.................notation.our.est.ar.4.11.l'ensem.DES.t?.Hamilton.165.exercices.Analyse..147.4.11.3.M?trique.induite.sur.l'alg?bre.ext?rieure.etalg?brel'op.?rateur.adjoin.t.......150.4.11.4g?om?trieL'op.?rateur.Laplacian.de.Ho.dge..175.ules.et.................t?grales.............Con.tions153On4.11.5.EquationsquedegaucMaxwparedroite.ll:surari?t?uneESvMAari?t?desLanorenatzienneen.et.de.....5.des.167.Chapitre..155.4.11.5.1.Remarques.sur.les.c.h.a.mps.?lectrique.....et.magn?tiques....167160Chapitre4.12.G?om?trie.symplectique.et.M?canique.Hamiltonienne......................170.Chapitre161di?ren4.12.1eIn.tro.duction....................A.orm.180.Analyse.in...............................180.In161Gaussiennes4.12.1.1.M?canique.Hamiltonienne.sur.le.plan..............180.v.n.de.:.utilise161signe4.12.1.2pM?caniquesignierHamiltoniennelesurdelahesph?red?ni.le.de.P.exemple.?lectromagn?tisme.Riemannienne.V.4estTI?Rlquebleestenblepenrs.s'?crivormetsymplectiqueABLEsurvuneTvtier.ari?.donc.'ensem.des.tiers163ai4.12.2FZ +1 p
2exp X dX =
1
R +1 2xI = e dx
1
Z Z Z Z +1 +1 +1 +1
2 22 22 x y x +y( )I = e dx e dy = e dxdy
1 1 1 1
Z Z Z 11 2 1 12 2 2r r r= drr d e = 2 re dr = 2 e =
20 0 0 0
p
I =
2Q(x) =Ax +Bx +C
A;B;C2C < (A)> 0 :
rZ +1 2 B
exp ( Q(x))dx = exp C +
A 4A 1
1etFormt?gralesF.doncSoitGaussiennesulest?gralesInule.uleD?monstr180A.1etinA.1.1aormconAvAlorseAnnexergenceSoitormation.Alors(A.1)F2Analysel(A.2)pourn 0
Z +1 p2 (2n 1)!!2n xx e dx =
n2 1
(2n)!
(2n 1)!! := (2n 1) (2n 3)::: 5:3:1 ==
n2 (n!)
R 2+1 2n+1 xx e dx =
1
0
R 2+1 xe dx = 1
1
rZ +1 2 xI := e dx =
1
Z +1n pd I 2 1 3 2n 1 n2 x= x e dx = :::
nd 2 2 2 1
Z
+1 p2 (2n 1)!!2n xx e dx =
n2 1
app:Fnormla.?ourfaireeetsym?trie,?doubleortdoncrapp3.par@@ule181formANNEXEOn(parerfactorielle?rivel?edo?faut,IlPsoitation.uleD?monstrF).:impairePreuvpuissanceORMULESuneA.apourlahmiIndext,auto-adjoinet,des31aub13ord,de2293L1,compl?t?,k,28olconstan29te15detzienne,structuredene,515normecon?rateur,tin21ue,de6duitcon34v,olution,1534comd?rivherel,?e,126M?thod?riv26?esFpartielles,euclidi7Hilbdi?ren,tiable,56normedi?rennotielle,Diric6?leespacepde22Banac29h,con28tiespaceanalytiquededeHilbRiemann-Lebert,asymptotique28deespacesuppdeacphase,de37182extensionBoltzmann,analytiqueLoren,2613deextensionr?sidus,m?romorphemo,de13ourier,fermeture,norme23enne,fonctionnormeplate,ert-Sc11dtF6orminnie,ulenormed'in28vopersion6deyFdeourier,hlet,33pformd'ordreule26deeigneCaucDirac,hprincipyd'incertitude,,pro24deformvuleudeson,r?sidus,r?elle26,H?lder,Resommation8Borelin12t?rieur,esgues,23s?rieL'espace,des?rieScLaurenh26wortartz,p32t,LipTh?or?mecPlanchitz,338loi.Bibliographiec[1]AV.I.original.Arnold.[14]Lees.m?thoPhdesphysics,math?matiquesSpringer,d.eelaquet-Bruhat,m?ork,ctopaniqueeclassiqueand..Ed.cturMir.esMoscou,b1976.[17][2][18]Hall[19]B.ag,A.nPublicationsElementarytIntrkophysicsduction[12]toRGrM.oupsalandFRNeweprSalvesentationsctic.Segal.houpsttp1995.://arxiv.org/abs/math-ph/0005032,the2000.ersit[3]ylor.HallIB.ylor.LieIIGrDieroups,Springer-VLieDillard-BleicAnalysis,lgebrofas,vandNewRCorrectedeprtheesentationsM.:GeAgynInstituteElementaryPublishing,IntreoPductionGe.2006.Springer-VeerlSimon.agdsNewIYAork,cademic2004.ork,[4]CannasPLarisseonB.ometryL[15]oegicielLielibrLeasdeS.cGralculandformelbridge.Press,TTapdiererVxcasSpringer,dansTgodierogle.V[5]Springer,C.WCohen-Tanalysisannoudji,manifoldsJ.rDup[20]onY.t-RoDewitt-Morette.c,andand1982.G.elasticityGrynDobererg.Inc.,PhotonsYet1994.atomesreprin.of1987.1983[6][11]Jean-PierreNaDemaillyahara..ometry,Complexoloanalyticandand.algebrofaicysicsge2003.ometryP.thrsenttp.://www-iemannianfourier.ujf-grenoble.fr/~demaillometryySpringer,.[13][7]RF.edFB.aure.MathematicCoursmethodeinM?volc:aniqueunctionalquantiquenalysispAourpress,MasterYM11972.dA.eDaphysiquea..ehesttpSymple://www-Gefourier.ujf-grenoble.fr/~faure/ensei.gn2001.eCartermenLt.ctur[8]onGriths,grPhillipandandieHlgebrarr.i[16]s,SternJoseph.erg.PrinciplesoupoforyalgebrphysicsaicCamgeUnivometry.yA1994.WileM.y-aInPartialterscienceentialPublication.quations,NewolY.ork,1996.1978.M.[9]aT.S.RatiuPartialJ.E.entialMarsden.quations,Introlo.duction1996.toR.O.Meells.chanicsentialandonSymmetryomplex..1998.e[10]lJerrold1980.E.M.MarsdenkandChoThomasC.J.AR.manifoldsHughes.physicsMathematicNorth-Holland,al183foundations