Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2008-2009 Corrige du devoir a la maison du 20 avril 2009 Exercice 1. 1. Puisque E[X|G] est G-mesurable, on a E(XE[X|G] | G) = E[X|G]2 = E(E[X|G]2 | G). Par linearite de l'esperance conditionnelle, il vient var(X|G) = E ( X2 ? 2XE[X|G] + E[X|G]2 | G ) = E ( X2|G ) ? E[X|G]2 ≥ 0 p.s. (1) 2. En utilisant (1) et l'egalite E(E[Xn|G]) = E(Xn) pour n = 1, 2, on obtient E ( var(X|G) ) + var ( E[X|G] ) = E ( E[X2|G]? E[X|G]2 ) + E ( E[X|G]2 ) ? ( E ( E[X|G] ))2 = E ( X2 ) ? ( E(X) )2 = var(X) .

• definition de l'esperance conditionnelle


• independantes de meme loi


• linearite de l'esperance conditionnelle


• convergence monotone


• feuille de td


• derniere inegalite


• theoreme de convergence dominee

Sujets

• Fourier
• Théorème de convergence dominée

Informations

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• Langue: English

Extrait

Master1Math´ematiques,MAT414

Universit´eJosephFourier 20082009

Corrig´edudevoir`alamaisondu20avril2009

Exercice 1. 2 2 1. PuisqueE[X|G] estGmesurable, on aE(XE[X|G]| G) =E[X|G] =E(E[X|G]| Gar´e´eitPa).inrl del’espe´ranceconditionnelle,ilvient    2 22 2 var(X|G) =EX−2XE[X|G] +E[X|G]| G=EX|G −E[X|G]≥(1)0 p.s.

n n 2.Enutilisant(1)etl’e´galit´eE(E[X|G]) =E(X) pourn= 1,2, on obtient       2 2 22 Evar(X|G) +varE[X|G] =E E[X|G]−E[X|G] +E E[X|G]−E E[X|G]    2 2 =EX−E(Xvar() =X).(2) 3. Commevar(X|G)≥qu2)e(edulco´eldi,.s.p0(veraE[X|G])≤var(Xque l’on ait). Supposons    2 ´egalit´e,var(E[X|G]) = var(XorAl).tren2)s(enıˆaEvar(X|G) =E E(X−E[X|G])|G=   2 E(X−E[X|G]) =0. Doncvar(E[X|G]) = var(X) ssiX=E[X|G’cses.,.p]ie,ssdirt`aXest GeR(.elbarusemtitueunp:ouerqmatlus3(talrere´ree)de´ustltailescrrerd´emontet(1)pou l’exercice10delafeuilledeTD1,oubieninversementutiliserler´esultate´tablienTDainsi que(1)et(2)pourde´montrerquevar(E[X|G]) = var(X) ssiXestGmesurable). Exercice 2. −2 2 PosonsZ=aE[X|G]−E[1 {|X|≥a} |G]. SoitG∈ Gad´e.Vulll,etidineonncraonece’lee´pstinfidnoi Z Z 2   X(ω) E E[1 {|X|≥a} |G] 1 G = dP(ω)≤dP(ω) 2 a {|X|≥a}∩G{|X|≥a}∩G   Z 2 2 X(ω) E E[X|G] 1 G ≤dP(ω) =. 2 2 a a G Cela prouve queE[Z1 G ]≥0 pour toutG∈ Ga`’lneesbmelA.pprndeteetsconqulie´tilage´niere`i G={Z≤0}, qui est bien dansGcarZestGmesurable. CommeZ1 {Z≤0} nte´seefatagitune esp´erancepositive,onaE[Z1 {Z≤0} d’0,]=uo`Z1 {Z≤0} snocuqe´tnemraP.esqureˆu=0esprent,Zest presquesuˆrementpositive.Celad´emontrel’ine´galite´deTchebychevconditionnelle 2 E[X|G] P[|X| ≥a| G] =E[1 {|X|≥a} |G]≤p.s. (3) 2 a Exercice 3. On poseY=E[X|G]. 1.Pard´efinitiondel’espe´ranceconditionnelle,E[X1 {Y=0} ] =E[Y1 {Y=0} ] = 0 car{Y= 0} ∈ G. MaisXetX1 {Y=0} poesirtoeal´saleodtuepnO.sevitislurequencenconcirbaseavnodts X1 {Y=0} ,prerpou`stdiatuqseroteu.p.sc,e’0=ω∈Ω,Y(ω) = 0⇒X(ωUne autre) = 0. fa¸cond’´enoncercer´esultatest:ilexisteunensembleΩ 1 ⊂Ω de mesureP(Ω 1 ) = 1 tel que {Y= 0} ∩Ω 1 ⊂ {X= 0} ∩Ω 1 . 2. Puisque{Y <∞} ∈ G, on a pour touts∈]0,1[    X XY ge X (s) =E[s1 {Y <∞} ] =E E[s|G] 1 {Y <∞} ≥Es1 {Y <∞} ,(4) x ou`ladernie`reine´galite´d´ecouledel’in´egalite´deJensenetdelaconvexite´dex7→s. Faisonsten dresvers 1−emem4).Ledrobredna(sdte´evendrsdetii’lege´ntilage X (1) =E[1 {Y <∞} ] en vertu

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