Préface
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Description

Master, Supérieur, Master
  • cours - matière potentielle : introduction
Préface Ce livre est un cours d'introduction à l'algèbre commutative de base, avec un accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle. Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes d'existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu'un théorème affirme l'existence d'un objet, solution d'un problème, un algo- rithme de construction de l'objet peut toujours être extrait de la démons- tration qui est donnée.
  • principe local
  • fibrés vectoriels
  • version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle
  • modules de présentation finie
  • digression sur le calcul algébrique
  • algèbre de décomposition universelle
  • corps discret
  • changement d'anneau de base
  • anneaux
  • anneau

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Langue Français
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Exrait

Préface
Ce livre est un cours d’introduction à l’algèbre commutative de base, avec un
accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent
la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle.
Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes
d’existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu’un
théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algo-
rithme de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démons-
tration qui est donnée.
Nous revisitons avec un regard nouveau et souvent simplificateur plusieurs
théories classiques abstraites. En particulier, nous revenons sur des théories
qui n’avaient pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel général,
comme la théorie de Galois, celle des anneaux de Dedekind, celle des modules
projectifs de type fini ou celle de la dimension de Krull.
L’algèbre constructive est en fait une vieille discipline, développée entre
autres par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la lignée de la
(( bible )) moderne sur le sujet, qu’est le livre A Course in Constructive
Algebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988.
Nous le citerons sous forme abrégée [MRR].
L’ouvrage correspond à un niveau de Master 2, du moins jusqu’au cha-
pitre XIV, mais ne réclame comme prérequis que les notions de base concer-
nant la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants,
les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la définition des an-
neaux quotients et localisés. Une familiarité avec les anneaux de polynômes,
les propriétés arithmétiques deZ et des anneaux euclidiens est également
souhaitable.
Signalons enfin que nous considérons les exercices et problèmes (un peu
plus de 320 en tout) comme partie essentielle du livre.
Nous essaierons de publier le maximum de corrigés manquants, ainsi que
des exercices supplémentaires, sur la page web de l’un des auteurs :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
– i –ii Préface
Remerciements.
Nous remercions tou(te)s les collègues qui nous ont encouragés dans notre
projet, nous ont apporté quelques sérieux coups de main ou fourni de
précieuses informations. Et tout particulièrement MariEmi Alonso, Thierry
Coquand, Gema Díaz-Toca, Lionel Ducos, M’hammed El Kahoui, Marco
Fontana, Sarah Glaz, Laureano González-Vega, Emmanuel Hallouin, Hervé
Perdry, Jean-Claude Raoult, Fred Richman, Marie-Françoise Roy, Peter
Schuster et Ihsen Yengui. Last but not least, une mention toute spéciale
pour notre expert Latex, François Pétiard.
Enfin, nous ne saurions oublier le Centre International de Recherches Mathé-
matiques à Luminy et le Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,
qui nous ont accueillis pour des séjours de recherche pendant la préparation
de ce livre, nous offrant des conditions de travail inappréciables.
Henri Lombardi, Claude Quitté
Août 2011Table des matières
Avant-propos xvi
I Exemples
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Fibrés vectoriels sur une variété compacte lisse . . . . . . . . . . . 3
Quelques localisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Vecteurs tangents et dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Différentielles et fibré cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Cas algébrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dérivations d’une algèbre de présentation finie . . . . . . . . . . 8
2 Formes différentielles sur une variété affine lisse . . . . . . . . . . 9
Le cas de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Le cas d’une variété algébrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cas d’une hypersurface lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cas d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Principe local-global de base et systèmes linéaires
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Quelques faits concernant les localisations . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Localisations comaximales et principe local-global . . . . . . . . 21
Propriétés de caractère fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rendre des éléments comaximaux par force . . . . . . . . . . . . 29
3 Anneaux et modules cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Une notion fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Caractère local de la cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Au sujet du test d’égalité et du test d’appartenance . . . . . . . 34
Anneaux et modules cohérents fortement discrets . . . . . . . . 35
4 Systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux . . . . . . . . 36
– iii –iv Table des matières
5 Un peu d’algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Sous-modules libres en facteur direct (splitting off) . . . . . . . . 39
Le rang d’un module libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Puissances extérieures d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Méthode du pivot généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Formule de Cramer généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Une formule magique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Inverses généralisés et applications localement simples . . . . . . 49
Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Critères d’injectivité et de surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . 52
Caractérisation des applications localement simples . . . . . . . 53
Trace, norme, discriminant, transitivité . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Principe local-global de base pour les modules . . . . . . . . . . . 60
Complexes et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Localisation et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Principe local-global pour les suites exactes de modules . . . . . 63
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III La méthode des coefficients indéterminés
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Deux mots sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Algorithme de factorisation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Propriété universelle des anneaux de polynômes . . . . . . . . . 85
Identités algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 Lemme de Dedekind-Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Un théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Algèbres et éléments entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 L’algèbre de décomposition universelle (1) . . . . . . . . . . . . . 95
5 Discriminant, diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Définition du discriminant d’un polynôme unitaire . . . . . . . 98
Diagonalisation de matrices sur un anneau . . . . . . . . . . . . 99
La matrice générique est diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . 101
Identité concernant les polynômes caractéristiques . . . . . . . . 101
Identitét les puissances extérieures . . . . . . . . . . . 102
Transformation de Tschirnhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Nouvelle version du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Table des matières v
Discriminant d’une algèbre de décomposition universelle . . . . . 104
6 Théorie de Galois de base (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Factorisation et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Algèbres strictement finies sur un corps discret . . . . . . . . . . 106
Le cas élémentaire de la théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . 109
Construction d’un corps de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Le résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
La théorie de l’élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
La matrice de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Retour sur le discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Théorie algébrique des nombres, premiers pas . . . . . . . . . . . . 126
Algèbres finies, entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Anneau d’entiers d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Le Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Clôture algébrique deQ et des corps finis . . . . . . . . . . . . . 138
Le Nullstellensatz classique (cas algébriquement clos) . . . . . . 138
Le formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 La méthode de Newton en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
IV Modules de présentation finie
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
1 Définition, changement de système générateur . . . . . . . . . . . 179
Digression sur le calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2 Idéaux de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Relations triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Suites régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Un exemple en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Catégorie des modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . 188
4 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Cohérence et présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Produit tensoriel, puissances extérieures, puissances symétriques 191
Changement d’anneau de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Modules d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Le caractère local des modules de présentation finie . . . . . . . 199
5 Problèmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Deux résultats concernant les modules de type fini . . . . . . . . 200
6 Anneaux quasi intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Définition équationnelle des anneaux quasi intègres . . . . . . . 202vi Table des matières
oMachinerie locale-globale élémentaire n 1 : des anneaux intègres
aux anneaux quasi intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Annulateurs des idéaux de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Principe local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7 Anneaux de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Modules de présentation finie sur les anneaux de valuation . . . 205
Modules de finie sur les principaux . . . . 207
8 Anneaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Anneaux réduits . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Propriétés caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Définition équationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
oMachinerie locale-globale élémentaire n 2 : des corps discrets
aux anneaux zéro-dimensionnels réduits . . . . . . . . . . . . . 211
Modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Systèmes polynomiaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . 214
9 Idéaux de Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 de d’un module de présentation finie . . . . . . . 218
Idéaux de Fitting d’un de type fini . . . . . . . . . . . . 220
10 Idéal résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
V Modules projectifs de type fini, 1
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Propriétés caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Principe local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Modules projectifs et lemme de Schanuel . . . . . . . . . . . . . 246
Catégorie des modules projectifs de type fini . . . . . . . . . . . 248
3 Sur les anneaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4 Modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Quand un module stablement libre est-il libre? . . . . . . . . . . 255
Le stable range de Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5 Constructions naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6 Théorème de structure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7 Modules localement monogènes projectifs . . . . . . . . . . . . . . 261
Modules localement monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Modules monogènes projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Modules localement monogènes projectifs . . . . . . . . . . . . . 266
Idéaux projectifs de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8 Déterminant, polynôme fondamental et polynôme rang . . . . . . 268Table des matières vii
Le déterminant, le polynôme caractéristique et l’endomorphisme
cotransposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Le polynôme fondamental et le polynôme rang . . . . . . . . . . 270
Quelques calculs explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
L’annulateur d’un module projectif de type fini . . . . . . . . . . 275
Décomposition canonique d’un module projectif . . . . . . . . . 276
Polynôme rang et idéaux de Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9 Propriétés de caractère fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
VI Algèbres strictement finies et algèbres galoisiennes
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1 Algèbres étales sur un corps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Théorèmes de structure des algèbres étales . . . . . . . . . . . . 300
Algèbres étales sur un corps séparablement factoriel . . . . . . . 305
Corps parfaits, clôture séparable et clôture algébrique . . . . . . 306
2 Théorie de Galois de base (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3 Algèbres de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Les zéros d’un système polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Produit tensoriel de deux k-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . 315
Algèbres entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Le lemme lying over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Algèbres entières sur un anneau zéro-dimensionnel . . . . . . . 317
Un Nullstellensatz faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Algèbres entières sur un anneau quasi intègre . . . . . . . . . . 320 qui sont des modules de présentation finie . . . . . . 320
4 Algèbres strictement finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Le module dual et la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Norme et élément cotransposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Transitivité et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5 Formes linéaires dualisantes, algèbres strictement étales . . . . . . 324
Formes dualisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Algèbres strictement étales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Éléments entiers, idempotents, diagonalisation . . . . . . . . . . 329
6 Algèbres séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Vers l’idempotent de séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Idempotent de séparabilité d’une algèbre strictement étale . . . 337
Algèbres séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339viii Table des matières
7 Algèbres galoisiennes, théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Correspondance galoisienne, faits évidents . . . . . . . . . . . . . 345
Une définition naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Lemme de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Théorème d’Artin et premières conséquences . . . . . . . . . . . 349
La correspondance galoisienne dans le cas connexe . . . . . . . . 358
Quotients d’algèbres galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
VII La méthode dynamique
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
1 Le Nullstellensatz sans clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . 382
Le cas d’un corps de base infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Le Nullstellensatz proprement dit . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Module des relations de dépendance linéaire . . . . . . . . . . . 389
2 La méthode dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Théorie de Galois classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Contourner l’obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
3 Introduction aux algèbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Algèbres de Boole discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Algèbre de Boole des idempotents d’un anneau . . . . . . . . . . 396
Éléments galoisiens dans une algèbre de Boole . . . . . . . . . . 396
4 L’algèbre de décomposition universelle, (2) . . . . . . . . . . . . . 401
Quotients de Galois des algèbres prégaloisiennes . . . . . . . . . 402
Cas où l’algèbre de Boole d’une algèbre de décomposition univer-
selle est discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Structure triangulaire des idéaux galoisiens . . . . . . . . . . . . 411
5 Corps de racines d’un polynôme sur un corps discret . . . . . . . . 412
Bons quotients de l’algèbre de décomposition universelle . . . . . 413
Unicité du corps de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
6 Théorie de Galois d’un polynôme séparable sur un corps discret . 416
Existence et unicité du corps de racines . . . . . . . . . . . . . . 416
Quotients de Galois de l’algèbre de décomposition universelle . 417
Où se passent les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Changement d’anneau de base, méthode modulaire . . . . . . . 420
Théorie de Galois paresseuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Table des matières ix
L’algorithme de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Quand une résolvante relative se factorise . . . . . . . . . . . . 423 la structure triangulaire manque . . . . . . . . . . . . . 425
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
VIII Modules plats
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Définition, et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Principe local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
Autres caractérisations de la platitude . . . . . . . . . . . . . . . 444
Quotient plat d’un module plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
2 Modules plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
3 Idéaux principaux plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
4 plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Anneaux arithmétiques et anneaux de Prüfer . . . . . . . . . . . 454
Principe local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Machinerie locale-globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
5 Algèbres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
6 fidèlement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
IX Anneaux locaux, ou presque
1 Quelques définitions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Radical de Jacobson, anneaux locaux, corps . . . . . . . . . . . . 472
Idéaux premiers, maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Radical de Jacobson et unités dans une extension entière . . . . 476
2 Quatre lemmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
3 Localisation en 1 +a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
4 Exemples d’anneaux locaux en géométrie algébrique . . . . . . . . 484
Algèbre locale en un zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
Anneau local en un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 local en un point lisse d’une courbe intersection complète 491
5 Anneaux décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Éléments décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Relèvement des idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
6 Anneau local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
Définitions et principe local-global concret . . . . . . . . . . . . 498
Propriétés locales-globales remarquables . . . . . . . . . . . . . . 501x Table des matières
Systèmes congruentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
Stabilité par extension entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
X Modules projectifs de type fini, 2
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
1 Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . . . . 519
Compléments sur les puissances extérieures . . . . . . . . . . . . 519
Cas des modules de rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Modules de rang constant : quelques précisions . . . . . . . . . . 524
Cas générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
2 L’anneau des rangs généralisés H (A) . . . . . . . . . . . . . . . . 5260
3 Quelques applications du théorème de structure locale . . . . . . . 530
Polynôme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
Rangs et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
Formules de transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
Modules projectifs de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
4 Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
Les anneaux génériquesG etG . . . . . . . . . . . . . . . . 536n n,k
Espaces tangents aux grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . 540
Nullstellensatz et équivalence de deux catégories . . . . . . . . 541
Schémas affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Espace tangent en un point à un foncteur . . . . . . . . . . . . 544
Projecteurs et rangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
Grassmannienne affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
5 Groupes de Grothendieck et de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . 551
Quand les modules projectifs de rang constant sont libres . . . . 551
eGK (A), K (A), K (A), et Pic(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520 0 0
Le groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
Semi-anneaux GK (A), GK (A ) et GK (A/RadA) . . . . . . 5570 0 red 0
Le carré de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
6 Identification de points sur la droite affine . . . . . . . . . . . . . 561
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
Identification de points sans multiplicités . . . . . . . . . . . . . 563
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

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