Université de la Méditerranée Aix Marseille II

Tristan Diméglio

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université de la Méditerranée Aix-Marseille II - Centre d'Océanologie de Marseille Projet modélisation : Diffusion d'une goute d'encre dans un verre d'eau Tristan Diméglio – L3 SME

• chemin aléatoire


• attribution de coordonnées des particules


• phénomène d'agitation constante de grains de pollen


• pollen


• mouvement brownien


• xa position en abscisse


• diffusion


• centre d'océanologie de marseille


• particule


• déplacement aléatoire aux fameux grains

Sujets

• Langevin
• Pollen
• Mouvement brownien
• Diffusion
• Centre d'océanologie de Marseille
• Particule

Informations

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Extrait

Université de la Méditerranée Aix-Marseille II - Centre d’Océanologie de Marseille

Projet modélisation :

Diffusion d’une goute d’encre dans un verre d’eau

Tristan Diméglio – L3 SME

Projet modélisation – diffusion d’une goute d’encre dans un verre d’eau

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Table des matières Introduction........................................................................................................................................................3 1. De la particule …........................................................................................................................................4 2. … A la goute d’encre..................................................................................................................................4 3. Vers la diffusion .........................................................................................................................................5 4. Etalement de la diffusion ............................................................................................................................6 Conclusion .........................................................................................................................................................7 Annexe ............................................................................................................................................................. ..9

Projet modélisation – diffusion d’une goute d’encre dans un verre d’eau

Introduction Avant de rentrer dans le vif du sujet permettons-nous une introduction sur le mouvement brownien. Introduction pas du tout anodine puisque le mouvement brownien sera à la base de notre étude.

C’est en 1827 que Richard Brown un botaniste anglais observa un phénomène d’agitation constante de grains de pollen dans de l’eau sans pouvoir y donner une explication précise mais en rejetant l’explication biologique pour une approche plus physique. Presqu’un siècle plus tard Einstein reconnu dans ce mouvement, le choc entre les particules d’eau et celles de pollen conférant un déplacement aléatoire aux fameux grains. Marian von Smoluchowski introduira quant à elle la notion de marche aléatoire en 1906 tandis que Paul Langevin formulera le problème à l’aide des équations stochastiques dès 1908.

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Aujourd’hui la clé du mouvement brownien n’est toujours résolu et les applications sont nombreuses. En biologie, en physique (Einstein avait trouvé la valeur de la constante d’Avogadro à partir de travaux dérivés du mouvement brownien) en économie bien entendu et même en astrophysique.

Dans le cadre de ce sujet, nous allons nous replonger dans les travaux de Brown, en décomposant notre travail selon plusieurs points. Une approche microscopique tout d’abord, identique à celle de Brown nous permettra de suivre le chemin aléatoire, le random walk d’une particule d’encre. En démultipliant cette particule nous obtiendrons notre goute d’encre et passerons ainsi du micro au macroscopique. Enfin nous suivrons la concentration de cette goute par unité de temps, concentration qui sera liée à sa diffusion.

Pour finir nous jouerons sur les paramètres de diffusion, notamment le coefficient de diffusion et la dernière partie consacrée à la conclusion/discussion se verra critique quant à la validité de notre modélisation.

Projet modélisation – diffusiond’unegouted’encredansunverred’eau

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1.De la particule … Enpremierlieunousnoussommesintéresséàmodéliserlechemind’uneseulparticuleappelérandom- walk pour marche aléatoire.

Pour cela nousavonsutilisélafonc ionrandn quigénèredesnombresaléatoiresselonla loi normale que nous avons incorporée dansunebou le it.

Ainsi,lescoordonnéesdespointsso tdonnéesparle calcul suivant : xa=xo+randnxopositionenabscisseàt=t|xapositionenabscisseàt=t+1 ya=yo+randnyopositionenordonnéesàt=t|yapositionnordonnéesàt=t+1

Au pas suivant,lapositionfinaledev ent la position initiale : xo=xa yo=ya

On obtient ainsi le script suivant :

Fig.1 Scriptgénérantlemouvementaléa oired’une particule

Fig.2Particuleaniméed’u

mouvementbrownien

2.… A la goute d’encre Notre goute d’encre est en réalité co posée non pas d’une mais demilliersdepar icules. Ainsi nous avons rajouté une boucle ermettantdegén rerunnombreipmaxdeparticules.

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Fig.3 Script du mouvement pour ipmax particules

Fig.4 Mouvement brownien de 10 particules.

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3.Vers la diffusion Une fois avoir simulé le chemin parcouru par les particules de notre goute d’encre nous allons nous intéresser à l’évolution de la concentration de cette goute par maille de grille. Pour ce faire nous allons créer une matrice conc initialement nulle, qui sera incrémentée à chaque pas de calcul par le nombre de particules se trouvant sur un petit carré de côté 1. Il faut de fait inverser nos boucles : la boucle de temps it passe en premier et à l’intérieure de celle-ci pour on va calculer l’évolution de chaque particule représentée par la boucle ip. Une fois chaque particule ayant avancée d’un pas on incrémente la matrice conc. A la fin de chaque pas de temps la matrice concentration est réinitialisée pour éviter de voir la concentration augmenter et un graph est tracé à l’aide de la fonction contourf qui permet d’afficher un graph en couleur considérant les isosurfaces de même densité.

Un point à ne pas négliger concerne l’attribution de coordonnées des particules. Notre matrice conc bornant notre zone il s’agit de ne pas tirer des coordonnées qui la dépasse. Nous avons donc placé une condition telle que les valeurs en abscisses et ordonnées ne devaient pas dépasser la taille de conc.

Le résultat de cette simulation nous donne donc l’évolution de la diffusion de notre goute d’encre dans un verre d’eau.

Projet modélisation – diffusion d’une goute d’encre dans un verre d’eau

Fig.5 Script de l’évolution de la concentration par maille de grille

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Fig.6 Résultats du contourf affichant la diffusion de la goute d’encre dans le verre d’eau.

4.Etalement de la diffusion La rapidité de la diffusion liée à son étalement est fonction de l’écart type des nombres tirés aléatoirement. L’écart type se définit comme englobant 68% des observations autour de la moyenne. Plus il est élevé et plus grande sera la dispersion des observations d’une variable. Randn comme nous l’avons signalé tire ces valeurs de la loi normale. Utilisons donc la gaussienne, courbe typique de la loi normale pour démontrer les effets de l’écart type sur la distribution et en extrapolant, de la

diffusion de notre goute d’encre. Mais avant tout la loi normale varianceϭ² dont on tire l’écart typeϭ.

tire ses valeurs de deux paramètres : la moyenne µ et la

Lesquatrecourbescicontrerésententchacuneun écart type différent. Au lusenombreestgrandau plus la répartitionseraétalée

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Conclusion Lamodélisationterminéeconfrontonlesrésultatsexpérimentauxissud’untrans ctdeconcentration horizontalpassantparlecentredelaatriceconc(aupoint40 :40) aveclasecon eloideFick. Nous avons donc lotélesdeuxgaussiennes.Deeurcoïncidenceseradéterminéelavalidatiodelamodélisation.

Fig.8Diffusiondelagouted’encreefonctiondel’écarttype.Valeursd’écartty ede1,2,4,5,6et10.

Fig.7Gaussiennesenfonctiondel’écarttype

Sousmatlabpourfairevariel’écarttypeilsuffitde rajouterunscalairemultiplic teurquel’onvanommer is devant randn.

Regardons maintenantlerésultatapp iquéànotregouted’eau.

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La seconde loi de Fick régissant la diffusion est présentée ainsi. Elle représente le bilan des entrées-sorties dans un petit volume. Ks représente le coefficient de diffusion ;Δ² le laplacien etξles apports éxtérieurs. Dans notre casξest nul.

Une des solutions de cette équation est la fonction gaussienne suivante : la varianceϭ² est égale à 2K s t qui à l’intérieure de notre script devient 2 is itmax.

C’est cette équation qui nous a servi de référence (en rouge) et que nous avons comparé avec nos courbes expérimentales (en vert). Les résultats sont donnés dans la figure suivante.

Fig.9 Comparaison des courbes de diffusion pour des valeurs d’écart type de 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.2 | 1.4 | 1.6.

On remarque une quasi parfaite concordance entre ces courbes permettant de valider la modélisation.

Mais au travers de cette analyse ce que nous pouvons noter c’est que l’aléatoire du niveau microscopique, par le biais du random walk de chaque particule a généré du déterminé : notre goute d’encre à bel et bien diffusé selon la loi de Fick !

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Annexe Script sous Matlab

clearall; closeall; ipmax=5000; itmax=15; xa(1:ipmax)=40; ya(1:ipmax)=40; xo=xa; yo=ya; x=[0:0.01:80]; %boucle des concentrations foris=(0.6:0.2:1.6);  figure(1);  holdon; % boucle de temps forit=(1:itmax);  conc=zeros(80,80); %nettoyage figure evite les superpositions  clf %boucle du calcul de la concentration forip=(1:ipmax);  conc(round(xo(ip)),round(yo(ip)))=conc(round(xo(ip)),round(yo(ip)))+1; end %pour avoir les fonds des fenetres en blanc  conc2=conc;%pour ne pas mélanger avec conc de la gaussienne  conc2(find(conc==0))=NaN; %conc en pourcentage ??  contourf(conc2./ipmax,[0:1:20]./ipmax);warningoff;shadingflat;  colorbar;  holdon  plot([0 80 ],[40 40],'k-') %boucle du tracé des particules forip=(1:ipmax); %attribution des x  xo(ip)=(is*randn)+xa(ip); %attribution des y  yo(ip)=(is*randn)+ya(ip); %conditions sur déplacements particules ifxo(ip)>80 | xo(ip)<1 | yo(ip)>80 | yo(ip)<1  xo(ip)=xa(ip);  yo(ip)=ya(ip); end % boucle incrémentation de mouvement  xa(ip)=xo(ip);  ya(ip)=yo(ip); end%for ip end%for it %comparaison théorie vs expérience  figure(2);  is;  holdon;  clf  plot(conc(40,:)/sum(conc(40,:)),'g')  fick=1./sqrt(2*pi*is^2*itmax).*exp(-1/2*((x-40)./(is.*sqrt(itmax))).^2);  line(x,fick,'color','r') end%for is

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