Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Fonctions usuelles

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Marc Pauly

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Cours de français des mathématiques de l'Ecole centrale de Pékin pour préparer les élèves chinois à l'étude des mathématiques en français. Ce cours est composé de 8 chapitres : (1) Géométrie du plan (2) Vecteurs du plan et de l'espace (3) Nombres complexes (4) Dérivation vectorielle (5) Fonctions usuelles (6) Intégration (7) Equations différentielles (8) Coniques

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∗ αα p : R = {x ∈ R|x > 0} → R : x 7→ xα +
α
α xx ,lnx e x
α x
α > 0 x ,lnx,e +∞ x +∞
α xlim x = lim lnx = lim e = +∞.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
x
lnx
α > 0 lim = 0
αx→+∞ x
αlnx x x
αlnx x x
α 10x > 10 lnx
αx
α > 0 lim = 0
xx→+∞ e
α α xx = +∞ lnx = o(x ) x = o(e ) α > 0
lim xlnx = 0
x→0
notationEn.erscycle.iveaucouptendaussilorsque17ersd?duirevt,tOntendenonctionsfonctionsOntroismath?matiqueslesose,exempleLorsqueEngrand.rtr?salorsCes.troisPfonctiFoTh?mensvdeviennenquetFtr?sgrandes).lorsquesestique,estustr?sgrand.saitMaisquelaquelleassezdesunlorsqueonenetd?monmath?m:Preuvlogarithme,estonlausuellesplusFgrandevril?donc,Commendet8l'exprimernparan?aisune1formsemestreule(onmath?matiquee?pTh?or?me.cesPr?sultats,ourtraledebaleursplvgrande.,eoneaonles(pacomparerexemple)allonssinousesthapitre,grand,cr?elceprendDanstielle).exptOnosantre.ceciPreuvTh?or?me.e.ourCommenpuissance,taire,:aLes1deuxonsfononctc:tions2006(d'exp.sanceaetaupuisoisinagefonctionadeviennenLundit,tr?s?grandesCourslorsquedesel?erdevienettpr?paratoiretr?sdugrand.Deuxi?meMais?kinparsupprappPortd?Onappeutestde,th?or?melad'autresaparCenTh?or?me.Latestfonctionfonctiontr?coleoi.se.π π
y ∈ [−1,1] θ ∈ [− , ] sinθ = y Arcsiny
2 2
π π
θ y Arcsin : [−1,1] → [− , ]
2 2
π π
∀θ∈ [− , ],Arcsin(sinθ) = θ, ∀y ∈ [−1,1],sin(Arcsiny) = y
2 2
Arccos : [−1,1]→ [0,π] cos : [0,π]→ [−1,1]
π π π π
Arctan :R→]− , [ tan :]− , [→R
2 2 2 2
π
Arcsiny +Arccosy =
2
Arcsin,Arccos,Arctan
1 10 0y ∈]−1,1[ (Arcsin) (y) =p (Arccos) (y) =−p
2 21−y 1−y
10y ∈R (Arctan) (y) =
21+y
fonctionladeonctionstraleunque:r?ciproafonctionourlaacommeonEnnalfonctionOestilparOnd?nitionpr?paratoirelaus.fonctioncycler?cipro?kinquedede,lanotefonctionquelaexactemend?nitetOnquedirer?ciproeut2vdequi?eceaus,oursinsemestrefonctionDeuxi?me.eOnfonction.ditIl.esteurfacilevdeonmoncettetrernque.lateldetqueexister?ciproutfonctiontolapestsaitnques.trigonom?triquesEnn,Fil2fautCalculconna?trellesd?rivd?rivd'arcsin?esOndeaussioPfonctitoutLadu",deaus"arcsinP.dPCenlaourtout?colet sht cht
t −t t −te −e e +e
sht = cht =
2 2
2 2 2 2
(cht) −(sht) = 1 ch t−sh t = 1
sh(a+b) = sha·chb+cha·shb ch(a+b) = cha·chb+sha·shb
0 0(sh) (t) = cht (ch) (t) = sht
sht
t tht tht =
cht
10 2t (th) (t) = = 1−th t
2ch t
y ∈R t∈R sht = y
t y t = Argshy
Argsh sh :R→R
y ∈ [1,+∞[ t∈ [0,+∞[ cht = y
t y t = Argchy
Argch ch : [0,+∞[→ [1,+∞[
y ∈]−1,1[ t∈R t = y
t y t = Argthy
Argth :R→]−1,1[
10y ∈R (Argsh) (y) =p
2y +1
10 py ∈]1,+∞[ (Argch) (y) =
2y −1
10y ∈]−1,1[ (Argth) (y) =
21−y
ourpild?rivexisd'additionexisteonctionsqueapptoutlaparremarquerunerbtrerCenmonaeuttatvOneclespIlOnypquesliquesr?ciprosemestre.hOnunapptesellesuivceerbr?elnoteliquesfacilemenl'argumenlat.sintroisus:hortanypeterbouroliqueledesinoP,pr?paratoireetPonerbnotesinerbexactemenyp?eheconctions.Fce.tLahfonctionique4etestformdoncLalaestr?ciproquequetde?critla.fonctionde,sonr?elantoutourourtptr?s.formPnotationsourd'untoutoliquequeuseretprouvhded?nitdicileerbpastoutn'est3il,existedexactemenotypunusIliluleteformtladupard?riv,vnot?eLaaanvOnecelle,r?elr?ell'argumend'untangeniqueelyp.olOndeapp,elleonceulesr?elleso.l'argumenfonctiontrecosidoncnr?ciprousdehfonctionypmonerbplut?toliqueOndequeerbLes,?esetcesonfonctionsnotetypsuivhtestePtangentoutlade.,Laimpfonctionestaussiulesd?nitlesestetdoncleslar?elr?ciproPquetoutdeerblahfonctioncosinOn,:oliqueersaypvice-vusetleoliqueOnerboypyphourushcosinFle3estcycleiquedu.Deuxi?meP?kinouretouttralelexactemen?coletf(x) +∞ x +∞
f(x) = o(g(x)) x = +∞
)UnefonctioniprohtpuissanceusLeyplogarithmetLar?ciprofonctionoliquelaLadeVice-vcabulaireypofonctiontendouvLeersypVcosin5erblorsquete4oltendsavusersoliquepr?paratoireLacycler?cduquesemestrelaDeuxi?mequesin?kinhPerbeLedustraleypCenoliqueyptangenoliquehterbngeniquehererbL'argumendesin(adjecthUsuelerbusL'argumenifcosinle?onh?coleerbauL'argumenvtaoisitenagypeolique