Trigonométrie - Angles inscrits - Angles au centre

Trigonométrie - Angles inscrits - Angles au centre

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  • redaction - matière potentielle : sylvain
  • fiche - matière potentielle : tice
  • redaction - matière potentielle : la question
203 E s t - ce q ue j e s ais … Je fais le point sur mes connaissances Trigonométrie - Angles inscrits - Angles au centre En 5e et en 4e, on a appris à déterminer des mesures de longueur et des mesures d'angles par diverses méthodes. En 3e, on complète ces méthodes en apprenant de nouvelles formules. 1. Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle Calculer x. Donner la troncature, puis l'arrondi de x à 0,1 cm ou 0,1 degré près.
  • sinus
  • flo1 sur le site des éditions hatier ➜
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Trigonométrie - Angles inscrits -
Angles au centre
e eEn 5 et en 4 , on a appris à déterminer
des mesures de longueur et des mesures
d’angles par diverses méthodes.
eEn 3 , on complète ces méthodes en
apprenant de nouvelles formules.
Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais… Pour réactiver
mes connaissances1. Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle
Calculer x. Donner la troncature, puis l’arrondi xde à 0,1 cm ou 0,1 degré près. Exercices 5 à 7 p. 212
Connaissances p. 208a) b) c)C x HD F
13 cm35°x
5 cm
10 cm
30° x
GIAB 12 cm8 cm E
Exercices 8 et 9 p. 2122. Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
En utilisant les informations portées sur les figures suivant, démontres er dans
chaque cas que (BH) est perpendiculaire à (HC).
a)AB b) H c) H d) H
C
45
28
ODCH
BM CB
5 cmBC53ABCD est un
O centre
parallélogramme du cercle
Exercices 10 à 12 p.. 212 2123. Calculer la mesure d’un angle
Soit x, y ou z les es des angles. Déterminer x, y et z dans chaque cas.
Justifier les réponses.
a) A b) B
Cz
M
x28° A
53°BC
xy
F
D N
E
(AC) // (DF)
12 TRIGONOMÉTRIE – ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE 203
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2,5 cm> XPress 6 Couleur
ACTIVITÉS Franchir les obstacles
À la fin de ce chapitre, tu dois savoir, dans un triangle Voir commentaires
sur les activités p. 289 rectangle :
• calculer un angle ou une longueur en utilisant le cosinus,
le sinus, ou la tangente,
• calculer un angle en utilisant les propriétés des angles
inscrits dans un cercle.
Écrire les formules
Objectif 1
« Relations 1 À la découverte du sinus et de la tangente Exercices 13 à 15 p. 212
trigonométriques »
a) ConjecturerObstacle 1
« Quelle formule ? » Dans chacun des quatre triangles ci-dessous, calculer l’arro dndeis rapports
suivants en prenant les mesures nécessaires sur le dessin.
Voir la Fiche TICE Ch 12-FLO1 longueurducotéopposéàBlongueurducotéopposéàB eesur le site des éditions Hatier : :
longueurdel’hypoténuse longueurducotééadjacentàBe
C(1) (3)
B F
40°
A H(2) (4)L
30°
40°K
30°
BBM G B
En observant les résultats obtenus, quelle conjecture peut-aion re f?
b) Démontrer dans un cas particulier C ’
À partir de la figure ci-contre, écrire le C
rapport de la questioa)n dans le triangle
BAC puis dans le triangle BA’C’ avec les
lettres de la figure.
Démontrer que les deux rapports obtenus
BA A’
sont égaux.
Faire de même avec le rapport .
➜ Connaissance 1 p. 208 c) Calculer
Retrouver les résultats de la question a) en utilisant uniquement
les mesures des angles et la calculatrice.
d) Appliquer
(1) Tracer un triangle DEF rectangle en D, puis écrire ave c les
lettres de la figure coEs , sin E, tan E, cos F, sin F et tanF .e e e e e e
(2) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier.
• Le sinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.
• La tangente d’un angle aigu est comprise entre 0 et 1.
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Franchir les obstacles ACTIVITÉS
Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur
Objectif 2Objectif 2 2 Rédiger et contrôler le calcul d’un côté
« Calculer un côté en
utilisant la trigonométrie »
a) (1) Tracer un triangle ABC rectangle en, C, telBA quCe = 23° et BC = 4 cm.o
Obstacle 3 (2) Calculer l’arrondi à 0,1 cm près de AB.
« Multiplier ou diviser »
b) Sylvain et Lucie ont cherché le même exercice que ci-dessus.
Voici leurs rédactions de la question (2).
Sylvain Lucie
(1) Indiquer ce qui convient et ne convient pas dans la ron édadce ti Sylvain.
(2) Marie, en regardant uniquement le résultat de Lucie, lt : ui d« Je i suis sûre
que ton calcul est faux ! » Comment Marie s’y prend-elle ?
Quelle erreur Lucie a-t-elle faite ?
Objectif 2 3 Calculer la longueur d’un segment Exercices 16 à 26 p. 213
« Calculer un côté en
utilisant la trigonométrie » –1Déterminer, si possible, la troncature dx àe 10 cm près.
Obstacle 2 H 5 cm Gd)
« « TTriangle non rectangle riangle non rectangle »»
a) b)
BObstacle 3 c)
CFx« Multiplier ou diviser » 12 cmxP
50°xMéthode 1 p. 210 x
6 cm® 60°
35°
A 8 cm C E Q 7 cm R P
Utiliser la trigonométrie pour calculer un angle
Objectif 3 4 Utiliser la calculatrice pour calculer un angle Exercice 27 p. 213
« Calculer un angle en
utilisant la trigonométrie »
Soit x la mesure d’un angle en degré. En utilisant une calculatdétricee,r miner
si possible, dans chaque cas l’arrondi dx ea u degré près.
7 19
a) sin x = 0,469 b) sin x = c) tan x =
20 25
14 14
d) tan x = 0,458 e) sin x = f) tan x =
10 10
12 TRIGONOMÉTRIE – ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE 205
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ACTIVITÉS Franchir les obstacles
Objectif 3 5 Calculer la mesure d’un angle Exercices 28 à 33 p. 214
« Calculer un angle en
utilisant la trigonométrie »»
Dans chacun des cas suivantxs , désigne la mesure de l’angle en degré.
Les mesures de longueur sont toutes en centimètres. Méthode p. 211
–1Calculer la troncature dxe à 10 degré près.®
Aa) b) M c) K
6
xxB
10
L
9 50°
x G H
7
C
N
Utiliser les propriétés
des angles inscrits et des angles au centre
Objectif 4 6 Angles inscrits, angles au centre Exercice 34 p. 214
« « Calculer un angle dans un
cercle »cercle »
Observer la disposition de l’angBle AC sur chacune des figures suivantes puis o
répondre aux questions ci-dessous.➜ Connaissance 2 p. 208
A(1) (2) (3)
A
B C
( )A
B
C
( ) C ( )B
C(4) (5) (6)
A A
( )( )
A
BB
B
( )C C
a) Sur les figures (1) et (4), on dit que l’aBnAgCle est un angle inscrit dans le o
cercle (). Ce n’est pas le cas BdAe C sur les autres figures.o
En déduire quelles semblent être les caractéristiques d’un e aninglscrit.
b) Sur la figure (5), on dit que l’anBgle AC est un angle au centre. o
Ce n’est pas le cas dBeA C sur les autres figures.o
En déduire quelles semblent être les caractéristiques d’un e anaglu centre.
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ACTIVITÉS
Objectif 4 7 Propriété des angles inscrits
« Calculer un angle »
et des angles au centre Exercices 35 à 38 p. 214
® A
a) Sur les figures (1), (2) et (5) de l’activité précé-
EVoir la fiche TICE Ch12-FLO7 dente, on dit que l’angle BAC intercepte l’arcB C.sur le site des éditions Hatier o
Sur la figure ci-contre, trouver les angles inscrits ou Bles angles au centre qui interceptent l’EFarc D
(marqué en rouge).
b) Tracer un cercle de centre O.
FTracer plusieurs angles inscrits dans ce cercle qui
Cinterceptent le même arB c C. Mesurer ces angles. D est le centre
du cercleQuelle conjecture peut-on faire ?
c) Tracer un cercle de centre O. Tracer un angle au centre net gleu in nascrit de
ce cercle qui interceptent un aB r c C. Mesurer ces deux angles.
Recommencer plusieurs fois ces tracés. Quelle conjecture pen ut-foaire ?
Objectif 5 8 Construire un polygone régulier Exercices 39 à 40 p. 215
« Construire un polygone
régulier »
a) Construire un triangle équilatéral
Tracer un segment [OA]. Construire les points B et C tels BC que soiAt un ➜ Connaissance 3 p. 209
triangle équilatéral dont le centre est O.
b) Construire un hexagone
Tracer un segment [OA]. Construire les points B, C, D, E, s qF ute elABCDEF
soit un hexagone régulier dont le centre est O.
Résoudre des problèmes
Objectif 6Objectif 6 9 Un « classique » ! Exercices 41 à 71 p. 215
« « Résoudre des problèmes »»
Soit un triangle ADE tel que : A
AD = 6,6 cm, DE = 8,8 cm et AE = 11 cm.
3 cmB est le point du segment [AD] tel que 11 cm
C
6,6 cm BAB = 3 cm et C est le point du segment [AE]
tel que (BC) soit parallèle à (DE).
Sur la figure ci-contre, les dimensions ne sont
DEpas respectées. 8,8 cm
On ne demande pas de reproduire la figure.
a) Calculer la longueur BC.
b) Montrer que le triangle ADE est rectangle.
c) Calculer la valeur, arrondie au degré, de l’anDEAgle .o
D’après brevet Asie, juin 2006.
Objectif 6Objectif 6 10 Établir une formule Exercices 72 et 73 p. 218
« Résoudre des problèmes »
Dans un triangle ABC rectangle en A, démontrer que, quelles qoit uela mesure
x d’un angle aigu de ce triangle, on a :
sinx 22=tanxa) b) sinxx+=cos 1
cos x
12 TRIGONOMÉTRIE – ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE 207
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CONN AISSANCES
1. Cosinus, sinus, tangente
DÉFINITION
Dans un triangle rectangle :
longueur ducôtéadjacent à cet angle
• le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur de l’hypoténuse
longueur ducôté opposé à cet angle
• le sinus d’un angle aigu est égal au rapport :
longueurr del’hypoténuse
longueur ducôté opposé à cet angle
• la tangente d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur ducôté adjacent à cet angle
ACes trois rapports ne dépendent que de la mesure de
l’angle considéré. côté côté
opposé à Badjacent à BAB AC AC
cosB = sinB = tanB =e e e
BC BC AB
BC
hypoténuse➜ Remarque : En pratique la « formule magique »
SOHCAHTOA permet de retenir les définitions du
cosinus, du sinus et de la tangente.
PROPRIÉTÉ
Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesurx e
sinx 22d’un angle aigu, on a : tanx= et sinxx+=cos 1
cos x
ATTENTION ! Le cosinus et le sinus d’un angle aigu
sont toujours compris entre 0 et 1 car, dans un triangle
rectangle, l’hypoténuse est toujours le plus grand côté.
Exercices 17 à 33 p. 213
2. Angle inscrit, angle au centre
a) Arc de cercle A
Sur un cercle, deux points A et B qui ne sont pas sur un iamètrmême e d
définissent deux arcs de longueurs différentes. Dans ce chapitre, on
considérera que l’arc nommé désigne le plus petit des deux arcs . B
b) Angle inscrit dans un cercle
A
DÉFINITION
B
Un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côpent tés cou
(*)ce cercle est appelé angle inscrit dans ce cercle .
Sur la figure ci-contre, on dit que l’angle inscr BAC intit ercepte l’arc B C. Co
e(*) En classe de 3 , on ne considérera pas le cas où l’un des côtés est tang cercle.ent au
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CONN AISSANCES
c) Angle au centre
DÉFINITION
A
Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle est appelé gle an
au centre de ce cercle.
O
B
Sur la figure ci-contre, où O est le centre du cercle, on ue dit l’angle q
au centre AOB intercepte l’arc A C.o
d) Propriétés
CPROPRIÉTÉ
ASi deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même alorarcs
ils ont la même mesure.
O D
Sur la figure ci-contre, CAD et CBD sont deux angles inscrits qui o o B interceptent le même arc C D. Donc CAD = CBD.o o
A
PROPRIÉTÉ
Si, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrrcepit inttent e BO
le même arc alors la mesure de l’angle au centre est le double de la
mesure de l’angle inscrit.
CSur la figure ci-contre, l’angle inscrBit AC et l’angle au centrBOCe o o O est le centre du cercleinterceptent le même arc B C. Donc BOC = 2 BAC.o o
Exercices 34 à 38 p. 214
3. Polygones réguliers
B
DÉFINITION 1
Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même ngueur lo
A C
et qu’il est inscriptible dans un cercle.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone.
O
DF➜ Exemple : L’hexagone ABCDEF est un polygone régulier de centre O.
ATTENTION ! Un losange n’est pas un polygone régulier car ses angles E
n’ont pas la même mesure.
A
DÉFINITION 2
Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même ngueur lo
et ses angles ont la même mesure.
BC➜ Exemple : Le triangle équilatéral ABC est un polygone régulier.
Exercices 39 et 40 p. 214
12 TRIGONOMÉTRIE – ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE 209
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MÉTHODES
1. Calculer la longueur d’un segment
A 6 cm RMÉTHODE En utilisant la trigonométrie
E XXERE R CICEC I C E : : Calculer l’arrondi au millimètre ? 60°
près de AE.
ME8 cm
ÉTAPES :
a) Je cherche
(1) Que faut-il que je calcule ?• Une longueur.
(2) Quelles propriétés puis-je • Voir p. 267.
utiliser ?
(3) Laquelle choisir ? • Il y a un triangle rectangle, un côté et un
angle connus donc peut-être la trigonométrie.
(4) Ai-je les conditions ? • Oui, dans le triangle rectangle AER, on
connaît l’angle E, le côté opposé à l’angle E e e
et l’on cherche l’hypoténuse, on peut donc
utiliser le sinus.
SOL UTION :b) Je rédige
(1) J’écris la formule du sinus Dans le triangle AER rectangle en R :
de l’angle connu du triangle RA
sin REA = rectangle. o AE
6
(2) Je remplace les lettres par sin 60° =
AEles mesures connues.
AE × sin 60° = 6
(3) Je calcule le côté cherché 6
AE = avec la calculatrice. sin60°
(4) Je présente le résultat avec AE ≈ 6,9 cm
la précision demandée.
(5) Je contrôle la vraisemblance L’hypoténuse AE est plus grande que le
du résultat. côté AR donc le résultat est vraisemblable.
Exercices d’application
1 En utilisant les informations portées 2 En utilisant les informations portées sur
sur la figure suivante calculer l’arrondi la figure suivante calculer l’arrondi
au mm près de JC. au mm près de CA.
M
B
65°4 cm
5 cm
?
C A
37° 3 cm 8 cm
JC? R
210
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MÉTHODES
2. Calculer la mesure d’un angle
CMÉTHODE En utilisant la trigonométrie
60 cm 40 cmE XERX E R CICEC I C E : : Calculer l’arrondi au degré près de
?l’angle CRP.o RPA
ÉTAPES :
a) Je cherche
(1) Que faut-il que je calcule ?• Un angle.
(2) Quelles propriétés puis-je • Voir p. 267.
utiliser ?
(3) Laquelle choisir ? • Il y a un triangle rectangle dont on connaît
deux côtés donc peut-être la trigonométrie.
(4) Ai-je les conditions ? • Oui, dans le triangle rectangle CRA, on
cherche l’angle R et on connaît le côté opposé e
et le côté adjacent à R. e
On peut utiliser la tangente.
SOL UTION :b) Je rédige
(1) J’écris la formule de la tan-Dans le triangle CRA rectangle en C :
gente de l’angle cherché. CA
tan CRA = o CR
40
(2) Je remplace les lettres par tan CRA = o 60les mesures connues.
(3) Je calcule l’angle cherché CRA ≈ 34° donc CRP ≈ 34°o oavec la calculatrice et je présente
le résultat avec la précision
demandée.
Exercices d’application
3 En utilisant les informations portées sur 4 En utilisant les informations portées sur
la figure suivante calculer l’arrondi la figure suivante calculer l’arrondi
au degré près de l’angle CTU. au degré près de l’angle PAT.o i
PT
6 cm
43°?20 mm
T ?
8 cmCU50 mm
A
12 TRIGONOMÉTRIE – ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE 211
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EXER CICES
5 10 Calculer l’arrondi à 0,1 cm près de BC. a) Un triangle TAP est tel que T = 34° et e
eA = 56°. Déterminer la mesure de l’angle eP.A
b) Un triangle TIP isocèle en T est tel Pque = 26°. e
9 cm Déterminer la mesure des deux autres angles.
c) Un triangle TOP isocèle en T est tel Tque = 32°. e25° 20Déterminer la mesure des deux autres angles.
B C?

11 Reproduire à main levée la figure suivante et
marquer sur le croquis la mesure de tous les 6 Soit un triangle ABC rectangle en A tel que
angles.BC = 8 cm e eBt = 36°.
(d )
Calculer l’arrondi à 0,1 cm près de BA.
(d’ ) b
7 Soit un triangle ABC rectangle en A tel que h x aBA = 5 cm et BC = 9 cm. g e cCalculer l’arrondi au degré près de l’angle B.e
f
8 Compléter les chaînons déductifs suivants. (d ) // (d’ ) et x = 38°
a) On sait que [EF] est un diamètre d’un cercle
12 VRAI OU FAUX ?et M un point de ce cercle
Armelle a fait l’exercice précédent. Le professeur Si ………………… alors …………………
lui demande de justifier ses réponses oralement. Donc
Lesquelles sont justes ?
b) On sait que I est le milieu de [BC] dans le
a) L’angle a mesure 38° car il est opposé par le
triangle ABC et que AI = 4 cm et BC = 8 cm
sommet à l’angle x.
Si ………………… alors ………………… b) L’angle g mesure 38° car il est alterne interne
Donc avec l’angle x.
c) On sait que (PR) // (UV) et (TL) ⊥ (PR) c) L’angle c mesure 38° car il est correspondant
à l’angle x.Si ………………… alors …………………
d) L’angle e mesure 38° car il est opposé par le Donc
sommet à l’angle x.
9 e) L’angle b est complémentaire avec l’angle x, Le triangle BPC tel que =BP 3,9 cm, PC = 8 cm
et CB = 8,9 est-il rectangle ? donc b = 180 – 38 = 142°.
Exercices fondamentaux
Écrire les formules 14 Écrire cos E, sin E et tan E de deux façons e e e
différentes en utilisant les lettres du dessin.
13 a) Dans le triangle suivant, citer :
(1) l’hypothénuse. D
(2) le côté adjacent Rà .e A
R(3) le côté opposé eà .
b) Écrire sin R, tan R et e e
Rcos e avec les lettres du
RC EFG
dessin.

212
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