Numerical methods for multiphase mixture conservation laws with phase transition [Elektronische Ressource] / von Ali Zein

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• Publié le: 01 janvier 2010
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Extrait

Numerical methods for multiphase mixture
conservation laws with phase transition
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
von Ali Zein, M.Sc.
geb. am 12. Februar 1978 in Hebron, Pal¨astina
genehmigt durch die Fakult¨at fu¨r Mathematik
der Otto-von-Guericke-Universit¨at Magdeburg
Gutachter:
Prof. Dr. Gerald Warnecke
Prof. Dr. Philippe Helluy
Eingereicht am: 7. April 2010
Verteidigung am: 28. Juni 2010Abstract
Theseven-equationmodelforcompressibletwo-phaseflowsisafullnon-equilibriummodel;
each phase has its own pressure, velocity, temperature, etc. A single value for each prop-
erty, an equilibrium value, can be achieved by relaxation methods. This model has better
features than other reduced models of equilibrium pressure for the numerical approxi-
mations in the presence of non-conservative terms. In this thesis, we modify this model
to include the heat and mass transfer. We insert the heat and mass transfer through
temperature and Gibbs free energy relaxation effects. New relaxation terms are modeled
and new numerical procedures for the instantaneous temperature and Gibbs free energy
relaxation toward equilibrium are proposed. For modeling such relaxation terms, our idea
is to make use of the assumptions that the mechanical properties, the pressure and the
velocity, relax much faster than the temperature and the Gibbs free energy, and the ratio
of the Gibbs free energy relaxation time to the temperature relaxation time is extremely
high. By theseassumptionsweconstructanewhierarchical modelinwhich therelaxation
steps are performed in the following order: first mechanical relaxation then temperature
relaxation and at last Gibbs free energy relaxation. From one step to the other, what
is relaxed stays relaxed. All relaxation processes are assumed to be instantaneous, i.e.
the relaxation times are very close to zero. The temperature and the Gibbs free energy
relaxation are used only at the interfaces.
We present a numerical validation of the new model on a number of test problems for
metastable liquids. The model is able to deal with transition fronts, here evaporation
fronts, where heat and mass transfer occurs. These fronts appear as extra waves in the
system. Our results are in a good agreement with previously known results. In addition,
computed front speeds of the evaporation waves are compared to the measured ones. A
good agreement is achieved.
Further, we consider the six-equation model with a single velocity, which is obtained
from the seven-equation model in the asymptotic limit of zero velocity relaxation time.
The same procedure for the heat and mass transfer is used with the six-equation model
and a numerical comparison is made between the results of this model with the results of
the seven-equation model.
Then we present a numerical investigation for the collapse and rebound of a laser-induced
cavitation bubblein liquid water. Themain focusis devoted to theeffects of phasetransi-
tion and the existence of a non-condensable gas on the dynamics of the collapsing bubble.
If the bubble contains vapor only we use our modified six-equation model for two-phase
flows. To study the effect of the non-condensable gas inside the bubble a third phase is
added to the original model. In this case the phase transition is considered only at the
interface that separates the liquid and its vapor, while for the interface that separates
the non-condensable gas and the liquid the condition of equal pressure only is imposed.
The stiffened gas equations of state are used as closure relations. We use our own criteria
to determine the parameters of them in order to obtain reasonable equations of state for
a wide range of temperatures and make them suitable for the phase transition effects.
We compare our results with experimental ones. Also our results confirm some expected
physical phenomena.
iiiZusammenfassung
Das Modell mit sieben Gleichungen fu¨r die Zweiphasenstro¨mung ist ein System im Nicht-
gleichgewicht. Dabei hat jede Phase einen eigenen Druck-, Geschwindigkeits- und Tem-
peraturwert. Ein einziger Wert fu¨r jede dieser Eigenschaften - der Gleichgewichtswert
- kann durch Relaxationsverfahren erreicht werden. Fu¨r die numerische Approximation
bei Vorhandensein nicht-konservativer Terme hat dieses Modell bessere Eigenschaften, als
die der bekannten reduzierten Druckgleichgewichtsmodelle. In dieser Dissertation mod-
ifizieren wir das Modell, um den W¨arme- und Stoffaustausch mit zu beru¨cksichtigen.
Diese werden durchRelaxationseffekte der TemperaturundderGibbsschen freien Energie
hinzugefu¨gt. Dabei werden neue Relaxationsterme modelliert und neue numerische Ver-
fahrenfu¨rdieunmittelbareRelaxation der TemperaturundderGibbsschenfreienEnergie
in Richtung Gleichgewichtszustand vorgeschlagen. Unsere Idee zur Modellierung solcher
Relaxationsterme ist es, von der Annahme Gebrauch zu machen, dass die mechanischen
Eigenschaften,derDruckunddieGeschwindigkeit,deutlichschnellerindenGleichgewicht-
szustandgehen,alsdieTemperaturunddieGibbsschefreieEnergie,unddassderQuotient
derRelaxationszeit derGibbsschenfreienEnergieu¨berderRelaxationszeitderTemperatur
extrem hoch ist. Basierend auf dieser Annahme entwickeln wir ein hierarchisches Modell,
in dem die Relaxationsschritte in dieser Reihenfolge durchgefu¨hrt werden: erst mecha-
nische, dann Temperatur- und dann Gibbssche freie Energie-Relaxation. Was in einem
Schritt relaxiert wird bleibt unvera¨ndert in den na¨chsten Schritten. Sa¨mtliche Relax-
ationsprozesse sind als spontan vorausgesetzt, d.h. die Relaxationszeit ist nahe Null. Die
Temperatur- und die Gibbssche freie Energie-Relaxation werden lediglich an den Phasen-
grenz߬achen angesetzt.
Wir stellen eine numerische Validierung des neuen Modells anhand mehrerer Testf¨alle fu¨r
metastabileFlu¨ssigkeitenvor. DasModellistinderLageGrenzfl¨achenmitPhasenu¨bergang
zu behandeln, an denen W¨arme- und Stoffaustausch vorkommen. Diese Fronten treten
als zusa¨tzliche Wellen im System auf. Unsere Ergebnisse stimmen gut mit vorher be-
kannten Ergebnissen u¨berein. Daru¨ber hinaus werden berechnete mit gemessenen Front-
¨geschwindigkeitenderVerdampfungswellenverglichen. DabeiwirdaucheineguteUberein-
stimmung erreicht.
DesWeiteren ziehenwirdasModellmitsechsGleichungen, dasausdemModellmitsieben
Gleichungen imasymptotischen LimesderGeschwindigkeitsrelaxationszeit Nullgewonnen
wird, mit einer einzigen Geschwindigkeit in Betracht. Das oben beschriebene Verfahren
fu¨rden W¨arme- und Stoffaustausch wird auf das Modell mit sechs Gleichungen angesetzt.
EinnumerischerVergleich derErgebnissediesesModellsmitdenendesModellsmitsieben
Gleichungen wird durchgefu¨hrt.
AnschließendstellenwireinenumerischeUntersuchungderOszillationeinerLaser-induzier-
ten Kavitationsblase im flu¨ssigen Wasser vor. Der Hauptfokus ist auf die Einflu¨sse des
Phasenu¨bergangsundderExistenzeinesinertenGasesaufdieDynamikderkollabierenden
Blase gerichtet. Sollte die Blase nur Wasserdampf enthalten, verwenden wir unser mod-
ifiziertes Sechsgleichungsmodel fu¨r Zweiphasenstro¨mung. Um den Einfluss eines inerten
Gases innerhalb der Blase zu untersuchen wird dem urspru¨nglichen Modell eine dritte
vvi
Phasezugefu¨gt. In diesem Fall wird derPhasenu¨bergangnuran der Grenzfl¨ache zwischen
der Flu¨ssigkeit und deren Dampf betrachtet. Fu¨r die Grenzfl¨ache zwischen dem Inertgas
und der Flu¨ssigkeit wird die Bedingung des Druckgleichgewichts eingefu¨hrt. Die “stiff-
end gas-”Zustandsgleichungen (eng. EOS)werden zum Abschluss des Systems verwendet.
Wir setzen unsere eigenen Kriterien zur Bestimmung der Parameter dieser Gleichungen
an, um angemessene Zustandsgleichungen fu¨r einen breiten Umfang von Temperaturen-
werten zu erhalten, die damit fu¨r Phasenu¨bergangseffekte geeignet sind. Wir vergleichen
unsere Ergebnisse mit experimentellen Ergebnissen. Unsere Ergebnisse besta¨tigen einige
erwartete physikalische Ph¨anomene.Acknowledgements
First of all, I would like to express my sincere and deep gratitude to my supervisor Prof.
Dr. Gerald Warnecke for his constant help, inspiring guidance, invaluable advice, and
continuous encouragement. The distinguished personality of Prof. Warnecke provides a
wonderful atmosphere for his research group. I would also like to thank him for his gen-
eroussupportandencouragementtoattendmanyscientificeventsinGermanyandEurope.
I wouldlike to expressmy sinceregratitude to my co-supervisor Dr.Maren Hantke forher
help, encouragement, friendly direction and collaboration.
I am very grateful to Prof. Dr. Philippe Helluy (IRMA Strasbourg, France) for his in-
terest in my thesis and his valuable remarks, and for hosting me in his department in
Strasbourg. In addition, I highly appreciate his valuable suggestions for the future work.
IamalsoverygratefultothepioneeringscientistProf.Dr.RichardSaurel(Polytech’Marseille,
France) for hosting me in his department in Marseille. The very useful and deep discus-
sions with Prof. Saurel have strongly influenced my work in the field of multiphase flows.
Also, many thanks go to his group members Dr. Olivier Le Metayer and Dr. Fabien Pe-
titpas for their sha