gouillon-these

Description

´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEAIX-MARSEILLE IIFaculte´ des Sciences de Luminy`THESEpour obtenir le grade de´ ´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEDiscipline : Mathematiques´present´ ee´ et soutenue publiquementparNicolas GOUILLONle 4 decembre´ 2003TitreMinorations explicitesde formes lineair´ es en deux logarithmesDirecteur de These` : Michel LAURENTJURYM. LACHAUD GillesM. LAURENT MichelM. LOUBOUTIN Stephane´M. MIGNOTTE Maurice RapporteurM. ROLLAND RobertM. WALDSCHMIDT Michel RapporteurRemerciementsJe tiens tout d’abord a` exprimer ma gratitude envers Michel Laurent. Sa disponibilite´ du-rant ces trois annees,´ ses nombreux conseils, en particulier lors de la redaction,´ m’ont permisd’aboutir a` la presente´ these.`Je suis tres` honore´ que Messieurs Maurice Mignotte et Michel Waldschmidt aient accepte´la charge de rapporteur. Je remercie encore Michel Waldschmidt de m’avoir communique´ desremarques utiles et precises´ pour l’amelioration´ du texte.Je souhaite remercier pour leur participation au jury Messieurs Gilles Lachaud, Stephane´Louboutin et Robert Rolland.Je tiens a` saluer l’ensemble des membres de l’IML, que j’ai cotoyes´ durant ces annees,´et plus particulierement` mes compagnons de galere` : Nicolas, Redha, Saadbouh, Julien,´ ´Nicolas, Alain, Eric... ainsi que ceux, les chanceux, qui ne le sont plus : Boris, Eric, Sofiane...Je remercie eg´ alement mes parents, mon frere,` ma soeur, ma belle-soeur et mon ...

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Extrait

´ ´ ´ UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE AIX-MARSEILLE II Facult ´ edesSciencesdeLuminy

THE  SE

pour obtenir le grade de ´ ´ ´ DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE

Discipline:Math ´ ematiques

pre ´ sent ´ eeetsoutenuepubliquement par

Nicolas GOUILLON

le4d ´ ecembre2003

Titre Minorations explicites deformeslin ´ eairesendeuxlogarithmes

Directeur de These : Michel LAURENT

JURY

M. L DAUCHA Gilles M. L TNERUA Michel M. L OUBOUTIN ahen´tpeS M. M NGETTOI Maurice M. R OLLAND Robert M. W CSMHDITADL Michel

Rapporteur

Rapporteur

Remerciements

Je tiens tout d'abord  aexprimer  ma gratitude envers Michel Laurent. Sa  disponibilite´ du- rantcestroisanne´es,sesnombreuxconseils,enparticulierlorsdelar´edaction,m'ontpermis d'aboutiralapre´sentethese.

Jesuistre  shonore ´ queMessieursMauriceMignotteetMichelWaldschmidtaientaccept ´ e la charge de rapporteur. Je remercie encore Michel Waldschmidt de m'a voir communiqu ´e des remarques utiles et pre´cises pour l'am e´lioration  du texte.

Je souhaite remercier pour leur participation au jury Messieurs Gilles Lachaud, Ste´phane Louboutin et Robert Rolland.

Jetiensa  saluerl'ensembledesmembresdel'IML,quej'aicotoy ´ esdurantcesanne ´ es, et plus particulierement mes  compagnons de galere   Redha, Saadbouh, Julien,: Nicolas, ´ ´ Nicolas, Alain, Eric... ainsi que ceux, les chanceux, qui ne le sont plus : Boris, Eric, Soane...

Je remercie e´galement mes parents, mon frere, ma soeur, ma belle-soeur et mon beau-frere, ainsi que mes beaux-parents, pour leur soutien moral.

EnnjeremerciemafemmeDelphinedem'avoirsoutenupendantmesp ´ eriodesdedoutes, et de m'a voir prodigue´ des encouragements re´pe´te´s. J'associe aces remerciements ma lle Loreline pour toute la joie qu'elle m'apporte.

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De ´ monstrationduTh ´ eore  me1.1 4.1 Rang deM. . . . . . . . . . . . . . 4.2 Utilisation  des polynoˆmes de Feldman ˜ 4.3 Minoration d'un mineur deM. . . . 4.4 Majoration de|
|. . . . . . . . . . . 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . .

Polyno‹mes de Feldman

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De´monstration des corollaires 5.1 Choix  des parametres  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Minoration de||si lesrb 2 +sb 1 ne sont pas tous distincts 5.3 Minoration de||lorsque lesrb 1 +sb 2 sont tous distincts . 5.3.1V´ericationdelacondition(1) .du The´oreme 1.1 5.3.2 Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Un Lemme de ze´ros ´ 2.1Enonce ´ dulemmedez ´ eros... 2.2D´enitionsetlemmes...... 2.3D ´ emonstrationduTh ´ eore  me2.1.

´ Enonc ´ esd ´ ultats es res

Introduction 0.1 Rappels et notations . . . 0.2 Historique . . . . . . . . 0.3 Les diffe´rentes me´thodes 0.4 Applications . . . . . . .

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17 17 18 22

1 1 2 7 9

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30 31 34 36 39 49

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52 52 55 57 57 57

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matie  res

des

Table

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5.4 5.5 5.6

Annexe

´ 5.3.3 Etude de la condition (2) . . . . . . . . . Minoration de||. . . . . . . .. . . . . . . . . Obtention des valeurs nume´riques des corollaires Appendicenum´erique...............

Bibliographie

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Introduction

Nousdonnonsdanscettepartieunaper¸cuhistoriqued'unepartdel'e ´ volutiondesminora- tionsexplicitesdecombinaisonslin´eairesdelogarithmesdenombresalge´briquesetd'autrepart des diffe´rentes me´thodes pour les obtenir, ceci de maniere qualitative mais aussi quantitative. Pourplusdeclart ´ enousrappelonsquelquesnotionsdebasequinousserontutiles.(Unegrande partie des informations historiques est issue de l'article [32]).

0.1

Rappels et notations

Dans toute cette these, la lettre n ´ denemctristertienerbmonnuarengiseica-ifdns(uatifiptso tion contraire). Pour tous nombres complexesa 1  ,, . . . a n , on noterac(a 1  ,, . . . a n )une fonction des nombresa 1  ,, . . . a n  tel. On dira qu'un peut nombre est explicitement calculable si l'on ex- pliciteruneformulepourcelui-ci.Notonsquedansceme ´ moire,nos ´ enonc ´ esserontentie  rement explicites. Soit ´ euneml ´ enedtC dit que. Onn ˆ lypouneom'seuqirbetsixelinnomestulg ´ ebrea P6= 0, acoefcientsentiers, tel queP() = 0irbe,euqerbm´glad'´enounLe.grdeenot´d() oudoca  cfetneinadss,semo ˆ nylopsede ´ grdeitetsplueptltenamm ´ einoc ´ de,estZ, s'annulant en e´crire, ce qui peut s' d() = P∈Z[ m X i ] n ,P6=0 {degP}. P()=0

L'ensemble des  nombres alge´briques de C ´ erpcootsnesous-tunsQ.s ´ Leedse ´ letnemCqui ne sontpasalg ´ ebriquessontappel ´ esnombrestranscendants. Soient 1  ,, . . .  n et 0 , . . . ,  n ,n2rapaignemerforaqsigelubem´errb´sdesoen.sdnO (oucombinaison)lin ´ eairedelogarithmesuneexpressiondutype:

= 0 + 1 log 1 +

+

n log n ,

oules log i ,i= 1 n, . . . , , de´signent des de´terminations quelconques du logarithme com- plexe des nombres i . Dans toute la suite le symboleenilemreriausruofentareojuo ´ edgnsi ´ de logarithmes. On distingue plusieurs cas selon la nature des e´le´ments i ,i= 1, . . . , n. Tout d'abord si 0 6= 0smethrigaloderenoidqtuelaformelin ´ eai est non homogene.  Si  0 = 0,est alors dite homogene. le  Enn,danscas homogene, lorsque tous les nombres i , i= 1 n, . . . , cas qui offre le plus ce, sont entiers (ou rationnels) on parle de cas rationnel. C'est d'applications (dont nous parlerons plus tard). Dans toute la suite nous nous contenterons de

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donner les re´sultats dans le cas rationnel et homogene, bien qu'ils  soient  souvent ge´neralisables ´ auxcasplusge ´ n ´ eraux.Pourpouvoirdonnerdesr ´ esultatsquantitatifsassezpre ´ cisetcompara- bles entre eux, nous avons besoin des quantite´s suivantes :

D= [Q( 1   ,, . . . n ) :Q]

etA i ,i= 1 ,, . . . n,numbnor ´ relseeictremetoptnitisiuqfdoitprincipalemetn ´ vreirelogA i  h( i )o  ,uhest la hauteur logarithmique usuelle : Denition0.1.Soitun nombre alge´brique de degre´dsurQetylˆnmomeodtneloprinimalsu ´ Zs' ´ ecr:ti d a Y (X (i) ),   i=1 oules racines (i) signeraparbmerseonnodtsnd´ees.Oplexscom   d |} ! , g max{1,| (i)

h() = d olg 1 |a|+ X lo i=1 lahauteurlogarithmiquedunombrealg ´ ebrique.

0.2

Historique

Lespremie  resminorationsexplicites,nontriviales,decombinaisonsline ´ airesdeloga- rithmessontduesa  A.O.Gel'fondvers1934.Ellesfontsuitea  lar ´ esolutionparcedernier (enmeˆmetempsqueT.Schneideretparunem´ethodediff´erente),duseptiemeproblemede Hilbert concernant la transcendance du nombre  , pour un nombre alge´brique 6= 0,1et un nombre irrationnel Gel'fond. A.O. alors rafne´ ses outils pour obtenir des minorations avait d'e xpressions de la forme|log 1  log 2 |, quand les trois nombres 1 , 2 etsont des nom- bresalg´ebriques.Laseulehypothesealorsutilis´eeestlanonnullite´dunombrelog 1  log 2 consid ´ ere ´ .Lecasparticulierleplusimportant,offrantleplusd'applicationsetquiseracon- side´re´ ici, est celui oule nombreest rationnel. Il s'agit alors de minorer une expression de la forme|b 1 log 1  b 2 log 2 |, avecb 1 etb 2 appartenant a Z  l'in e´galite´ . Remarquons d'abord que dite de Liouville implique trivialement la minoration

|b 1 log 1  b 2 log

ou B= max{|b 1 |,|b 2 |}to  ue,

c(

1 ,

2 | exp{c( 1 ,

2 ) =D(h( 1 ) +h( 2 ) log 2) + log max{| 1 |,|  1

2

2 )B}

1 |}+ log max{| 1 |,|  2

2 |}).