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Van Den Boom

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Bases en algèbre- L2 Méthode de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires Définition : On appelle système d’équations linéaires à coefficients réels un système du type a x + a x + ...+ a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + ...+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ...........................................a x + a x + ...+ a x = bp1 1 p2 2 pn n poù les a et les b sont des réels donnés. ij iLes x sont les inconnues du système et résoudre le système revient à déterminer les inconnues, is’il y en a, qui vérifient toutes les équations.  2x+ y+ z= 2Exemples : est un système de deux équations à trois inconnues. 3x− 4y− z= 5 Remarque : x+ y+ z= 2Considérons le système suivant − 7 y− z= 5 dit « échelonné ».  2z= 4On remarque que la dernière équation permet d’obtenir aisément z= 2 . En reportant cette valeur dans la deuxième équation, on a y=−1 et enfin en reportant les valeurs de y et de z dans la première équation on a x= 1. Autrement dit, si on parvient à mettre le système à résoudre sous forme échelonné, on pourra, en remontant de la solution de la dernière équation à résoudre successivement toutes les équations. C’est le principe de la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode, qui permet d’échelonner le système, est basée sur les propriétés suivantes : Propriétés L’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si on effectue sur les équations les « opérations élémentaires » suivantes : • Changer l’ordre ...

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• Langue: Français

Extrait

Bases en algèbre- L2  

Méthode de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires       Définition:linéaires à coefficients réels un système du typeOn appelle système d’équations   a 11 x 1 + +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1   a 21 x 1 a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2    ...........................................   a p1 x 1 +a p2 x 2 +...+a pn x n =b p où lesa ij et lesb i sont des réels donnés. Lesx i  les inconnues du système  sontet résoudre le système revient à déterminer les inconnues, s’il y en a, qui vérifient toutes les équations.

  + Exemples :    3 2x −4 y+ − z= =5 2  à siortauqénoits.ue ins nncoe tsu  nde deux système  x y z   Remarque :  + +z= y z Considérons le système suivant     x −7 y − 2z= =   .»t diéc« lo 4 heé  2 nn 5 On remarque que la dernière équation permet d’obtenir aisémentz=2 . En reportant cette valeur dans la deuxième équation, on ay= −1 et enfin en reportant les valeurs de y et de z dans la première équation on ax=1 .   Autrement dit, si on parvient à mettre le système à résoudre sous forme échelonné, on pourra, en remontant de la solution de la dernière équation à résoudre successivement toutes les équations. C’est le principe de laméthode du pivot de Gauss.   Cette méthode, qui permet d’échelonner le système, est basée sur les propriétés suivantes :

Propriétés L’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si on effectue sur les équations les « opérations élémentaires » suivantes :  Changer l’ordre des équations  Multiplier une équation par une constante non nulle  Ajouter à une équation une « combinaison linéaire » des autres équations  Changer l’ordre des variables.   Si on noteL i laième équation du système, ces opérations élémentaires peuvent se résumer ainsi :  L i ↔L j    L i →aL i +bL j ,a≠0 .  

I vdb 1

Bases en algèbre- L2  

Études à l’aide d’exemples de résolution de systèmes linéaires   le 1:   2 x x + + 2y y −z z =1 5 L L 2 1 Exemp    x−z − =5 = L 3 . On effectue les opérations élémentairesL 2 →L 2 −2L 1 etL 3 →L 3 −L 1 . Le système est équivalent à   x+2y−z=1 −3y z  échange l’ordre des variables3 Onyetzafin d’obtenir le système échelonné    −2y + =4 = .  −2 1  z z x − + 3 y y= = 3    −2y=  . 4 La résolution en « partant du bas » conduit ày= −2 puisz=3+3× (−2) = −3 et enfin x=1+ (−3) −2× (−2) =1 . Le système admet la solution uniquex1, y= −2, z3 . = = −     Lorsqu’on échelonne le système à résoudre, deux cas peuvent se produire:   1 er cas :il se présente une équation du type 0x 1 +0x 2 +...+0x n =bavecb≠0 . Dans ce cas, le système ne possède pas de solution.   E le 2:   3 2x− 2 y−2z+3 2 w=1 4 L 1 2 x y z w L xemp    3x+ + 3y+ − 3z + −3w = =5L 3 .   On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître lesxdes lignes 2 et 3 : L 1  2x−y−2z+3w=1 L 2 →2L 2 −3L 1           y+4z−5w=5 L 3 →2L 3 −3L 1  3y+12z−15w=7   On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître lesyde la ligne 3 :   L 1  2x−y−2z+3w=1 L L 3 2 →L 3 −3L 2        y+4z−5w 0 = =− 5 8      La dernière équation permet d’affirmer que le système n’a pas de solution.   2 ème cas :il n’y a pas d’équation du type précédent. S’il se présente une équation du type0x 1 +0x 2 +...+0x n =0 ,on élimine cette équation triviale.

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 x+2y−2z=2 Exemple 3:    2x + +4y − −3z= = 5 5x10y8z12

L 1 L 2  équivalent à système L 3

Bases en algèbre- L2  

   L 1   x+2y−2z=2 L L 3 2 → →L L 3 2 − − 5 2L L 1 1        2z z= =2 1        + − =  L L L 3 1 2 → →L L 3 2 −2L 2      x+2y−2 z z 0z= = = 0 1 tse'c  er 2 id-à-   x2y2 z z =1 2   En reportantz=1 dans la première équation, il vientx+2y= encore4 oux=4−2y , y∈IR  Dans ce cas, le système admet une infinité de solutions données parx=4−2 yy ,∈IR,z=1.

Cas général : méthode de résolution   On commence par préparer le système, quitte à échanger des lignes ou bien l’ordre des variables, de manière à ce que le premier coefficient de la première ligne soit différent de 0. Ce premier coefficient non nul s’appelle le premierpivot. Dans l’exemple 1, le premier pivot est 1. Puis on échelonne le système. S’il apparaît une équation du type 0x+0x+...+0x=bavecb≠ le système n’admet pas0 alors

1 2n de solution.

Dans le cas contraire, s’il apparaît une équation du type 0x 1 +0x 2 +...+0x n =0 , on l’élimine et on aboutit en appliquant la méthode du pivot à un système du type :     a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1 ......................................  a ir  =+ +       .. x r . ... ..... x ... s . a ... i . n .. x . . .. n a ...... p . n x ... n b b . i p  a ps  =+ + où les coefficients en gras (appelés 1 er pivot , 2 ème pivot,…,p-ième pivot) sont tous non nuls. Les inconnues qui correspondent aux coefficients en gras sont appeléesles inconnues principales  du système et les autres (s’il y en a) sont lesinconnues secondaires . Deux cas sont possibles :  ou bien , il n’y a pas d’inconnues secondaires et dans ce cas le système possède une unique solution obtenu en résolvant la dernière équation et en remontant jusqu’à la première. C’est le cas dans l’exemple 1   passer » au secondou bien, il y a des inconnues secondaires. Dans ce cas, on les fait « membre pour obtenir un système du type suivant :

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Bases en algèbre L2 -     a 11 x 1 + . a . 1 . 2 .. x . 2 .. + ....... ...+a .... 1 . s x ... s ......... =b ..... 1 .. −a ..... 1, . s . + .. 1 .. x . s+ .. 1 .. −.. ..... − .. a ... 1 . n ... x n ..    a ir x r +...+a is x s =b i −a i ,s+1 x s+1 −..−a in x n       . a . p . s .... s .............. p ........ p .... 1 ..... 1 ...................... x=b−a ,s+ x s+ −..−a pn x n Pour chaque choix des inconnues secondaires, le système possède un unique choix de solutions pour les inconnues principales que l’on détermine comme précédemment mais cette fois en fonction des inconnues secondaires. Comme les inconnues secondaires sont des réels quelconques, on en déduit que le système possède une infinité de solutions dépendant demparamètres , oùmest le nombre d’inconnues secondaires. Dans l’exemple 3,xetzsont des inconnues principales tandis queyest une inconnue secondaire.  

Exercice type :   x2y2z3w2L 1 Résoudre le système linéaire      2x+ + 4y− − 3z+ + 4w= = = 5L L 2   5x+10y−8z+11w12 3 On applique les opérations élémentaires suivantes

L 1   x+2y−2z+3w=2 L L 3 2 → →L L 3 2 − − 5 2 L 1 L 1    z−2w= = 1   2z−4w2 1   wx y z= L L L 3 →L 3 −2L 2     +2−2 z− +3 2w 0= 1 0 t e 2 si qu Puis 2 =  au systèmece équivalent   1x−2z+2y+3w=2  .  1z−2w=1 On en déduit quexetzsont les inconnues principales et queyetwsont les inconnues secondaires. Le système s’écrit    x−2z z= =2 1+ −2 2w y−3w . En reportant la valeur dezpremière équation, on obtient pour chaque valeur dedans la yet dez: x=4−2y+wetz=1+2w. On en déduit que le système possède une infinité de solutions données par : x=4−2y+w,y∈IR, z=1+2w,w∈IR.

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