Cours 2008.2009

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• Publié par: Necher
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Catalan

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FORME TRIGONOMETRIQUE DES TERMINALE S NOMBRES COMPLEXES. Chapitre I V APPLICATIONS A LA GEOMETRIE Nous avons vu dans ccclehhh aaacppphiiiatttrrrpeeei tIIrIeIII IleIs généralités sur les nombres coems,p laexvec, notamment, la forme algébrique (, a + i bpour ceux qui ne suivent pas … ). Dans ce ch anopuitsr ea, llons découvrir une autre forme, plus faà ceilxeploiter pour la géométrie. Mais avant cela, un petit rappel s ucro olersdonnées polaires serait-il nécessaire ? 0- R APPEELLS SUR LLEES COORDONNNÉEES POLAIREES ( ffaciille ! ! ) )
1- Notion d’angle orient é
? ? ???????? ????????Rappel1 : on se place dans i(; Oj; ) un repère orthonormé direct (r.o.n.d )duU pnl aann. gle orient é( (u ; ; v ))
?? ?? ???? ????où u et v sont deux vecteurs non nu lesst un angle délimité par chacun des vecteuur s e tt v ett dontt une mesure est donnée en radia ns.
???? ???? ?? ??la mesure principale d’un angle orientéu ( ; ; v ) où u et v sont deux vecteurs non nuels t l’unique mesure en radian se trouvant dans l’interva- ll e; ; ] ] -]. . 127 Exemple type : détermine la mesure principale d’un angle oér ideonntt une mesure est : – : 4 Il existe des propriétés des angles orientés qoune rl’appellera au fur et à mesure des exercices …
2- Le cercle trig o
A connaître par cœur ! + EN ABSCISSE : : COS X EEEENNNN OOOORRRRDDDDOOOONNNNNNNNÉÉÉÉEEEE ::: : SSSSIIIINNNN XXX X – 1 1 c oss x 11 ; ; ; – 1 s siin x 1 1 cos ² x + sin ² x = ; ;1 coss ( x + + 2 ) = coss x ett ssiin ( x + + 2 ) = ssiin x
3333---- Formules des angles associ ée ett s m essurress cllasssiique ss X = Cos x ( con ) Sin x ( sympa )0 cos (– x ) = cos x sin (– x ) =– sin x
cos ( – x ) = – cos x sin ( – x ) = sin x
cos ( + x ) = – cos x sin ( + x ) = – sin x 6
cos ( – x ) = sin x sin ( – x ) = cos x 2 2 4
cos ( + x ) = – sin x sin ( + x ) = cos x 2 2 3
2

2 2 – x
2x - x x
0 0
+ x – x –
– 2
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4- Coordonnées pollaiirres s
? ? M Déf : le plan est mun’iu dn r.o.n. d (O; i , j ) .Soit M un point du plan ( distinct de O ).
r On appellec ocorodrodnonéneése sp oploalairierse sd ed eM t,oM utot uct ocuopulep lde ed ne onmobmrbesré eerslé ser l(s (r ,) r ,tt ell qu e: :
?? ?????? ????r = OM et i ,, OM ) =( [[ 2 2 ] OM
? j
??? ??? ???? ? ?
?Conséquence : O: OMM = rr coss i + + rr ssiin j … O i Explication : cf. feuille de cours … Rmq : les couple de coordonnées polaires ( ) r n;’ est donc pas unique, du fait de la mesurleo m2o d…u
? ?Prop : le plan étant muni d’un repère orthonormé d i(reOc;t i , j ), soit un point M ( distinct de O ) ayant pour x  coordonnées cartésiennes et pour coordonnées polaires ( )r ,. Alors on a :  y  x y rr = x² + y ² , , c o = s= cos e et t s isnin = = xx²² ++ yy²² xx²² ++ yy²² xx²² ++ yy²² xx²² ++ yy²² x x= =r cr ocso s e t e t y =y r= s r i ns in Voilà pour les révisions … place à la nouveauté … I- F FOORRMEM ET RTRIIGOGONNOOMEMTERTRIIQQUUE E D D’U’UNN N NOOMBMBRRE EC COOMPMPLLEXEXE E ( cff acttiiviit t é )
1111---- Module et argument d’un nombre comple x e Déf1 : soit z un nombre complexneo n onu l neutl M le point du plan complexe d’affixe z. On note ( r) ; un couple de coordonnées polaires du point M.
z Alors, r est appelé le module den ozt, én oté . . ee eesssstttt aaaappppppppeeeelllléééé uuuunnnn aaaarrrrgggguuuummmmeeeennnntttt ddddeeee zzzz,,,, nnnnoooottttéééé aaaarrrrggg g (((( zzzz ))))....
???????? ???????On a : : O MO M= =r r ett = ( u ;; OM ) [2]. OM ) [2]. Rmq : il existe une infinité d’arguments … Rmqbis : le nombre complexe z = 0 admet un module :a 0is n;n ’a’ma ppaas s
! d’argument ! !! A rretten ! iir r
2222---- Liens avec lla fforme allgébriiq ue Prop1 : soit z = a + i b un nombre complenxoen nnounl . nOunl note r r l e l em modoudluel ed ed ez ze te t u unn aargrguummeennt t ddee . zzAlors : acos =  rzzzzzz == aa ++ ii bb == crrc ooss + + ii rr ssiinn o ùo ù:: r r == == aa²² ++ bb²² eett == aarrgg((zz)) vvéérriif fi:i:e e zz == aa ++ ii bb == c rrcooss ++ ii rr s siinn o o ùù : : rr == == aa²² ++ bb²² eett = = aarrgg((zz)) vvéérriiff i:i :e e  bbbbsin =  r Preuve :

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Par suite, on peut définir la forme trigonométr iqdu’uen nombre complexe : Déf2 : soit z un nombre complexneo n onnu ln duel forme algébrique z = a + Oin b .a ppelle f forrme t trriigonométtrriique de zzzzzzzz ll ll’’’éé’ééccccrrrriiiittttuuuurrrreeee ::: : zzz z === = rrr r (((( ccccoooosss s+++ + iiii ssssiiiinnnn )) )) oùrrrr ==== === = aaaa²²²² ++++ bbbb²²²² et ==== aaaarrrrgggg((((zzzz )))) vérifie : RNOP Q = SM VPTU Q = S Rmq : attention O!n O rna rpapeplple llqeu eq0 u 0en ’an’ ap apd s’a’ asrrgument t! ! ! MEMO CALCULATRICE : 3 3 Exs : rappelons-nous : on a noté dans le chapitred epnrté jc éla solution complexe de =z 1 ayant pour forme 1 33algébrique : : jj = – + + ii . ( on se rappelle que les autres solutions seot njt= 1j² … ). Déterminons une 2222 2222forme trigonométrique de j : Exs suivants : calculons le module de6 – i 2 puis un argument :
3333---- LLLLiiiieeeennnn ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeee (( (( ccccffff.... aaaaccccttttiiiivvvviii ittt téééé )))) Prop2 : dans le plan complexe, soient A d’affi xet zB d’affixe z: A(z) et B()z. Alors : A B A Bz – zzB A = AB
???? ????
arg(z – z z ) = (u ; ; A B ) ) [ [22 ] ] ( oouu bbieienn + + 22k k) B A Preuve :
z – 2 z + i Exo-type : déterminons l’ensemble des points M d’affixee lzs tque = : ( cf. feuille de cours )
1 + iPour calculer le module ou l’argument de , il serait pratique d’avoir des formules p omuro dluele ( et l’argument ! ) d’un 1 – iproduit, d’un quotient, … yaka demander :

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II- I-P ROPRIEETTEES DEES MMODULLEES EETT DEES ARGGUMMEENTTS
1- Caractérisation de l’égalité de dneoumx bnroems bcroems pcloexxmeesps le Prop3 :: 2 nbs complexes non nuls sont égaux ssi ils omntê mlee module et le mêm ea r rgumentt à 2 p rrèss. . Bien évident …
2- Module et argument d’un produ i t Prop4 : soient z et z’ deux nombres complexes non nulsr.s A:l o
z×z’ z z’ = = × ett arrg ( zz×zz’ ’ ) = a r rg z za rg z’ [2]]. .+ +
èrePreuve : cf. feuille de cours. Intéressante car oins er éleust ilformules d’addition de 1 S. Ex : donnons le module et un argument de : ( (1 –1 i+ i) 3 ) :
3333---- MMooodduuullleee eett aarrggguummmeeenntt dd’’’uuunnn qqquuuoottiieeennn tt Prop5 : soient z et z’ deux nombres complexes non nulsr.s A:l o
1 1 1
= ett arrg ( ) = – – a rrg ( z z[ ’ ’ 2) ]]. .z’ z’z’
zz z
= et arrg ( ) = arrg –zz a rrg zz’ ’ [2]]. .zz’ ’ z’z’
1Preuve : on utilise × z’ = 1 et la prop 4… Attention, cette démonisotnra etst déjà « tombée » plusieurs fois au bac