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Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentalesCours : Michel Broué Université Paris VII Denis DiderotTD : Vincent Beck Année 2005 2006Représentation des groupes finisCorrigéa)id est l’élément neutre deGL(k). L’applicationρ est donc le morphisme de groupestrivial deG dansGL(k).kElle définit donc une structure de G-module sur k.×b) L’application ϕ:GL(k)→k définie par ϕ(f)=f(1) est un isomorphisme de groupes. Ainsi se donner une×structure de G-module sur k revient à se donner un morphisme de groupes de G dans k . De plus, comme× ×k est commutatif, tout morphisme de groupes de G dans k passe au quotient par le groupe dérivée de G.×Donc, se donner un morphisme de groupes de G dans k revient à se donne un morphisme de groupe de×G/D(G) dans k .Par ailleurs, siρ :G→GL(k) etρ :G→GL(k) sont deux morphismes de groupes définissant sur k deux1 2structures de G-module G-isomorphes alors ρ =ρ . En effet, si f est un isomorphisme de G-module entre1 2les structures associéesàρ etρ alorsf◦ρ (g)=ρ (g)◦f pour toutg∈G. CommeEnd (k) est commutatif1 2 1 2 ket f bijective, on a alors∀g∈G, f ◦ρ (g)=ρ (g)◦f =f ◦ρ (g) et donc ρ (g)=ρ (g).1 2 2 1 2Finalement, le nombre de classe d’isomorphisme de structure de G-module sur k est égal au nombre de× ×morphismes de groupes de G dansk ou encore au nombre de morphismes de groupes de G/D(G) dans k .′c) Le sous-espace V est stable par ρ(g) pour tout g ∈ G. On en déduit que ρ(g) induit par restriction un′ ′ ...

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Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Représentation des groupes finis Corrigé a) id k est l’élément neutre de GL( k ) . L’application ρ est donc le morphisme de groupes trivial de G dans GL( k ) . Elle définit donc une structure de G -module sur k . b) L’application ϕ : GL( k ) → k × définie par ϕ ( f ) = f (1) est un isomorphisme de groupes. Ainsi se donner une structure de G -module sur k revient à se donner un morphisme de groupes de G dans k × . De plus, comme k × est commutatif, tout morphisme de groupes de G dans k × passe au quotient par le groupe dérivée de G . Donc, se donner un morphisme de groupes de G dans k × revient à se donne un morphisme de groupe de G  D(G) dans k × . Par ailleurs, si ρ 1 : G → GL( k ) et ρ 2 : G → GL( k ) sont deux morphismes de groupes définissant sur k deux structures de G -module G -isomorphes alors ρ 1 = ρ 2 . En effet, si f est un isomorphisme de G -module entre les structures associées à ρ 1 et ρ 2 alors f ◦ ρ 1 ( g ) = ρ 2 ( g ) ◦ f pour tout g ∈ G . Comme End k ( k ) est commutatif et f bijective, on a alors ∀ g ∈ G  f ◦ ρ 1 ( g ) = ρ 2 ( g ) ◦ f = f ◦ ρ 2 ( g ) et donc ρ 1 ( g ) = ρ 2 ( g )  Finalement, le nombre de classe d’isomorphisme de structure de G -module sur k est égal au nombre de morphismes de groupes de G dans k × ou encore au nombre de morphismes de groupes de G  D(G) dans k × . c) Le sous-espace V ′ est stable par ρ ( g ) pour tout g ∈ G . On en déduit que ρ ( g ) induit par restriction un endomorphisme ρ ′ ( g ) de V ′ et par passage au quotient un endomorphisme ρ e ( g ) de V  V ′ (voir [Bpm, p.158]). Les propriétés des applications induites par restriction et par passage au quotient (voir [Bpm, p.249]) donnent ∀ g g ′ ∈ G  ρ ′ ( gg ′ ) = ρ ′ ( g ) ◦ ρ ′ ( g ′ ) et ρ e ( gg ′ ) = ρ e ( g ) ◦ ρ e ( g ′ ) , ainsi que ρ ′ (1 G ) = id V ′ et ρ e (1 G ) = id V  V ′ . On en déduit alors que ρ ′ ( g ) ∈ GL(V ′ ) et ρ e ( g ) ∈ GL(V  V ′ ) pour tout g ∈ G et que ρ ′ et ρ e sont des morphismes de groupes. Ils définissent donc des structures de G -module respectivement sur V ′ et V  V ′ . d) Les applications ρ 1 ( g − 1 ) et ρ 2 ( g ) sont k -linéaires pour tout g ∈ G . On en déduit que ρ ( g )( f ) ∈ Hom k (V 1  V 2 ) pour tout f ∈ Hom k (V 1  V 2 ) et tout g ∈ G puis que ρ ( g ) est k -linéaire pour tout g ∈ G . De plus, pour g ∈ G et f ∈ Hom k (V 1  V 2 ) , on a ρ ( gg ′ )( f ) = ρ 1 ( gg ′ ) ◦ f ◦ ρ 2 (( gg ′ ) − 1 ) = ρ 1 ( g ) ◦ ρ 1 ( g ′ ) ◦ f ◦ ρ 2 ( g ′− 1 ) ◦ ρ 2 ( g ′− 1 ) = ρ ( g ) ρ ( g ′ )( f ) , et ρ (1 G )( f ) = f . On en déduit que ρ est bien à valeurs dans GL(Hom k (V 1  V 2 )) et que ρ est un morphisme de groupes. Avec V 1 = V et V 2 = k , on obtient une structure de G -module sur V ∗ . Le morphisme ρ associé est donné par ρ ( g ) = t ( ρ ( g − 1 )) pour tout g ∈ G . e) L’application ρ ( g ) = ρ 1 ( g ) ⊕ ρ 2 ( g ) est définie par ρ ( g )( v 1  v 2 ) = ( ρ 1 ( g )( v 1 )  ρ 2 ( g )( v 2 )) pour ( v 1  v 2 ) ∈ V 1 ⊕ V 2 . Elle est k -linéaire et on a ρ ( gg ′ )( v 1  v 2 ) = ( ρ 1 ( g ) ◦ ρ 1 ( g ′ )( v 1 )  ρ 2 ( g ) ◦ ρ 2 ( g ′ )( v 2 )) = ρ ( g )( ρ 1 ( g ′ )( v 1 )  ρ 2 ( g ′ )( v 2 )) = ρ ( g ) ρ ( g ′ )( v 1  v 2 ) De plus, ρ (1 G )( v 1  v 2 ) = ( v 1  v 2 ) . Ainsi ρ est bien à valeurs dans GL(V 1 ⊕ V 2 ) et ρ un morphisme de groupes. f) Commençons par montrer que l’application ρ 1 ( g ) ⊗ ρ 2 ( g ) : v 1 ⊗ v 2 7→ ρ 1 ( g )( v 1 ) ⊗ ρ 2 ( g )( v 2 ) est bien définie. Comme ρ 1 ( g ) et ρ 2 ( g ) sont k -linéaires, l’application ( v 1  v 2 ) 7→ ρ 1 ( g )( v 1 ) ⊗ ρ 2 ( g )( v 2 ) est une application bilinéaire de V 1 × V 2 dans V 1 ⊗ V 2 . La propriété universelle du produit tensoriel fournit alors une application k -linéaire notée ρ 1 ( g ) ⊗ ρ 2 ( g ) de V 1 ⊗ V 2 qui vérifie ρ 1 ( g ) ⊗ ρ 2 ( g )( v 1 ⊗ v 2 ) = ρ 1 ( g )( v 1 ) ⊗ ρ 2 ( g )( v 2 ) . L’unicité de l’application obtenue par la propriété universelle du produit tensoriel montre que ρ ( gg ′ ) = ρ 1 ( gg ′ ) ⊗ ρ 2 ( gg ′ ) = ( ρ 1 ( g ) ⊗ ρ 2 ( g )) ◦ ( ρ 1 ( g ′ ) ⊗ ρ 2 ( g ′ )) = ρ ( g ) ◦ ρ ( g ′ ) et ρ (1 G ) = id V 1 ⊗ V 2 . Ainsi ρ est bien à valeurs dans GL(V 1 ⊗ V 2 ) et ρ est un morphisme de groupes. g) Les applications ρ 1 ( g − 1 ) , ρ 2 ( g − 1 ) et ρ W ( g ) sont k -linéaires. On en déduit que ρ ( g )(B) ∈ Bil (V 1 × V 2  W) pour tout B ∈ Bil (V 1 × V 2  W) et puis que l’application ρ ( g ) est k -linéaire. De plus, pour B ∈ Bil (V 1 × V 2  k ) , g ∈ G et ( x y ) ∈ V 1 × V 2 , on a ρ W ( g ) ρ W ( g ′ )B( ρ 1 ( g ′− 1 ) ρ 1 ( g − 1 )( x )  ρ 2 ( g ′− 1 ) ρ 2 ( g − 1 )( y )) = ρ W ( g )( ρ ( g ′ )(B))( ρ 1 ( g − 1 )( x )  ρ 2 ( g − 1 )( y )) ce qui donne ( ρ ( gg ′ )(B))( x y ) = ( ρ ( g ) ρ ( g ′ )(B))( x y )  Par ailleurs, ρ (1 G )(B) = B . On en déduit que ρ est bien à valeurs dans GL( Bil (V 1 × V 2  W)) et ρ un morphisme de groupes. Avec V 1 = V 2 = V et W = k , on obtient une structure de G -module sur Bil (V × V  k ) .

h) Comme ρ V ( g ) est k -linéaire, l’application ( λ v ) 7→ λ ⊗ ρ V ( g )( v ) est k -bilinéaire. Grâce à la propriété univer- selle du produit tensoriel, on obtient une application k -linéaire k V −→ k ′ ⊗ V ρ ( g ) = id k ′ ⊗ ρ V ( g ) : ( λ ′ ⊗ ⊗ v 7−→ λ ⊗ ρ V ( g )( v )  Le k -espace vectoriel k ′ ⊗ V est en fait un k ′ -espace vectoriel. L’action de µ ∈ k ′ sur λ ⊗ v est donnée par µ  ( λ ⊗ v ) = λµ ⊗ v . Comme (id k ′ ⊗ ρ V ( g ))( µ  ( λ ⊗ v )) = µλ ⊗ ρ V ( g ) = µ  ( λ ⊗ ρ V ( g )) , l’application id k ′ ⊗ ρ V ( g ) est k ′ -linéaire. De plus, par unicité de l’application obtenu par la propriété universelle du produit tensoriel, on a ρ ( gg ′ ) = id k ′ ⊗ ρ V ( gg ′ ) = (id k ′ ⊗ ρ V ( g )) ◦ (id k ′ ⊗ ρ V ( g ′ )) = ρ ( g ) ◦ ρ ( g ′ ) et ρ (1 G ) = id k ′ ⊗ V . On en déduit que ρ est à valeurs dans GL k ′ ( k ′ ⊗ V) et que ρ est un morphisme de groupes.

Corrigé a) id V commute avec toutes les applications de V dans lui-même donc en particulier avec celle de la forme ρ V ( g ) . b) Comme u ∈ Hom G (V  V 1 ) , on a v ◦ u ◦ ρ V ( g ) = v ◦ ρ 1 ( g ) ◦ u pour tout g ∈ G . Comme v ∈ Hom G (V 1  V 2 ) , on obtient v ◦ ρ 1 ( g ) ◦ u = ρ 2 ( g ) ◦ v ◦ u pour tout g ∈ G . On a donc ∀ g ∈ G  v ◦ u ◦ ρ V ( g ) = ρ 2 ( g ) ◦ v ◦ u  ce qui signifie que v ◦ u ∈ Hom G (V  V 2 ) . c) Soit x ∈ V G . Comme f ∈ Hom G (V  W) , on a gf ( x ) = f ( gx ) pour tout g ∈ G . Comme x ∈ V G , on a f ( gx ) = f ( x ) pour tout g ∈ G . On a donc gf ( x ) = f ( x ) pour tout g ∈ G , ce qui signifie que f ( x ) ∈ W G . Si f est un G -isomorphisme, en appliquant ce qui précède au G -morphisme f − 1 , on trouve f − 1 (W G ) ⊂ V G et donc f ( f − 1 (W G )) ⊂ f (V G ) ⊂ W G . Comme f est bijective, on a f ( f − 1 (W G )) = W G et donc f (V G ) = W G . d) Im f et Ker f sont des k -espaces vectoriels. Il reste donc à montrer que Im f et Ker f sont stables respecti- vement par ρ W ( g ) pour tout g ∈ G et par ρ V ( g ) pour tout g ∈ G . Soient y = f ( x ) ∈ Im f et g ∈ G , on a gy = gf ( x ) = f ( gx ) ∈ Im f et donc Im f est bien stable par ρ W ( g ) pour tout g ∈ G . Soient x ∈ Ker f et g ∈ G , on a f ( gx ) = gf ( x ) = 0 et donc gx ∈ Ker f . Ainsi Ker f est bien stable par ρ V ( g ) pour tout g ∈ G . e) L’application i est k -linéaire. Soient x ∈ V ′ et g ∈ G . Comme gx ∈ V ′ , on peut écrire i ( gx ) = gx = gi ( x ) . f) D’après la construction de la structure de G -module sur V  V ′ (voir la question c de l’exercice 1), l’action de g ∈ G sur V  V ′ est donnée par ρ e ( g ) qui est l’unique k -endomorphisme u de V  V ′ vérifiant π ◦ ρ V ( g ) = u ◦ π . On a donc ∀ v ∈ V  π ( gv ) = ρ e ( g )( π ( v )) = gπ ( v )  ce qui signifie que π est un morphisme de G -modules. Comme f est k -linéaire, la propriété universelle du quotient pour les applications k -linéaires montre qu’il existe une unique application k -linéaire f vérifiant f = f ◦ π . Il s’agit à présent de montrer que f est un morphisme de G -modules c’est-à-dire que f ◦ ρ e ( g ) = ρ W ( g ) ◦ f pour tout g ∈ G . Soit y = π ( x ) ∈ V  V ′ . Comme π et f sont des morphismes de G -modules, on obtient ( f ◦ ρ e ( g ))( y ) = ( f ◦ ρ e ( g ))( π ( x )) = f ◦ π ( gx ) = f ( gx ) = g W f ( x ) = g W ( f ( π ( x ))) = ( ρ W ( g ) ◦ f )( y ) . ce qui montre que f est un G -morphisme. g) Montrons que l’application ( V ϕ 1 1 ∗ ⊗ ⊗ v V 2 2 7− − → → ( H v o 1 7 m → k ( ϕ V 1 1 (  v V 1 ) 2 v ) 2 ) Ω : est bien définie et est un G -isomorphisme. L’application ( ϕ 1  v 2 ) 7→ ( v 1 7→ ϕ 1 ( v 1 ) v 2 ) est k -bilinéaire. La propriété universelle du produit tensoriel montre qu’il existe une unique application k -linéaire Ω vérifiant Ω( ϕ 1 ⊗ v 2 ) = ( v 1 7→ ϕ 1 ( v 1 ) v 2 ) pour tout ( ϕ 1  v 2 ) ∈ V 1 ∗ × V 2 . L’application Ω est donc bien définie et k -linéaire. Montrons que Ω est bijective. Comme dim k (V 1 ∗ ⊗ V 2 ) = dim k (Hom k (V 1  V 2 )) , il suffit de montrer que Ω est surjective. Soient B = ( e 1      e ℓ ) une base de V 1 , B ∗ = ( e 1 ∗      e ℓ ∗ ) sa base duale et f ∈ Hom k (V 1  V 2 ) . On a alors

Ω  i = ℓ P 1 e i ∗ ⊗ f ( e i )  =  v 7→ i = ℓ P 1 e i ∗ ( v ) f ( e i )  =  v 7→ f  i = P ℓ 1 e i ∗ ( v ) e i  = ( v 7→ f ( v )) = f  ce qui montre que Ω est surjective et donc bijective. Il reste à montrer que Ω est un G -morphisme. Pour ϕ 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 et g ∈ G , on a Ω( g ( ϕ 1 ⊗ v 2 )) = Ω( g ( ϕ 1 ) ⊗ g ( v 2 )) = ( v 1 7→ (( g V 1 ∗ ϕ 1 )( v 1 )) g V 2 ( v 2 )) = ( v 1 7→ ϕ 1 ( g V 1 − 1 v 1 ) g V 2 ( v 2 )) . Ainsi Ω( g ( ϕ 1 ⊗ v 2 )) = ρ V 2 ( g ) ◦ Ω( ϕ 1 ⊗ v 2 ) ◦ ρ V 1 ( g − 1 ) = g (Ω( ϕ 1 ⊗ v 2 )) . Comme Ω est k -linéaire et que les éléments de la forme ϕ 1 ⊗ v 2 engendre l’espace vectoriel V 1 ∗ ⊗ V 2 , on en déduit que Ω est un G -morphisme. h) Commençons par l’isomorphisme entre (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ et Bil (V 1 × V 2  k ) . Par définition du produit tensoriel, l’application ( v 1  v 2 ) ∈ V 1 × V 2 7→ v 1 ⊗ v 2 ∈ V 1 ⊗ V 2 est k -bilinéaire. On en déduit que pour ϕ ∈ (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ , l’application ( v 1  v 2 ) 7→ ϕ ( v 1 ⊗ v 2 ) est k -bilinéaire. On peut alors définir l’application ⊗ V 2 ) ∗ −→ B Φ : ( (V 1 ϕ 7−→  i ( l v ( 1 V  1 v 2 × ) 7 V → 2  ϕ k ( ) v 1 ⊗ v 2 )   Cette application est linéaire. De plus, d’après la propriété universelle du produit tensoriel, elle est bijective. Il reste à montrer que Φ est un G -morphisme. Soit ϕ ∈ (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ . Pour ( v 1  v 2 ) ∈ V 1 × V 2 et g ∈ G , on a (Φ( gϕ ))( v 1  v 2 ) = ( gϕ )( v 1 ⊗ v 2 ) = ϕ ( g − 1 ( v 1 ⊗ v 2 )) = ϕ (( g − 1 v 1 ) ⊗ ( g − 1 v 2 )) = Φ( ϕ )( g − 1 v 1  g − 1 v 2 ) . − Comme G agit trivialement sur k , on a Φ( ϕ )( g − 1 v 1  g 1 v 2 ) = ( g Φ( ϕ ))( v 1  v 2 ) et donc Φ( gϕ ) = g Φ( ϕ ) . L’application Φ réalise donc un G -isomorphisme entre (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ et Bil (V 1 × V 2  k ) . Passons à l’isomorphisme entre V 1 ∗ ⊗ V 2 ∗ et (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ . Montrons que l’application V Ψ : ( ϕ 1 ∗ 1 ⊗ ⊗ V ϕ 2 2 ∗ 7 − − → → ( ( V ϕ 1 1  2 ⊗ : V v 1 2 ) ⊗ ∗ v 2 7→ ϕ 1 ( v 1 ) ϕ 2 ( v 2 )) est bien définie et est un G -isomorphisme. Soient ϕ 1 ∈ V 1 ∗ et ϕ 2 ∈ V 2 ∗ . L’application ( v 1  v 2 ) ∈ V 1 × V 2 7→ ϕ 1 ( v 1 ) ϕ 2 ( v 2 ) ∈ k est bilinéaire. Par la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application linéaire ϕ 1  2 : V 1 ⊗ V 2 7→ k telle que ϕ 1  2 ( v 1 ⊗ v 2 ) = ϕ 1 ( v 1 ) ϕ 2 ( v 2 ) . L’unicité de l’application linéaire obtenue grâce à la propriété universelle du produit tensoriel assure que l’application ( ϕ 1  ϕ 2 ) ∈ V 1 ∗ × V 2 ∗ 7→ ϕ 1  2 ∈ (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ est bilinéaire. Ainsi, une nouvelle fois grâce à la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application linéaire Ψ : V 1 ∗ ⊗ V 2 ∗ → (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ telle que Ψ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 ) = ϕ 1  2 . Autrement dit, Ψ est bien définie et linéaire. Montrons à présent que Ψ est bijective. Pour cela, considérons B 1 = ( e 1      e ℓ ) une base de V 1 et B 2 = ( f 1      f m ) une base de V 2 . La famille B = ( e i ⊗ f j ) ij est alors une base de V 1 ⊗ V 2 . On note B 1 ∗ = ( e ∗ 1      e ∗ ℓ ) la base duale de B 1 , B ∗ 2 = ( f 1 ∗      f ∗ m ) la base duale de B 2 et B ∗ = ( h i ∗ j ) ij la base duale de B . La famille ( e i ∗ ⊗ f j ∗ ) ij est alors une base de V 1 ∗ ⊗ V 2 ∗ et on a Ψ( e i ∗ ⊗ f j ∗ )( e k ⊗ f l ) = e i ∗ ( e k ) f j ∗ ( f l ) = δ ik δ jl = δ ( ij )  ( kl ) = h i ∗ j ( e k ⊗ f l ) . Ainsi Ψ( e i ∗ ⊗ f j ∗ ) = h i ∗ j ce qui montre que Ψ transforme une base de V 1 ∗ ⊗ V 2 ∗ en une base de (V 1 ⊗ V 2 ) ∗ c’est-à-dire que Ψ est bijective. Il reste à montrer que Ψ est un G -morphisme. Soient ϕ i ∈ V i ∗ et v i ∈ V i pour i ∈ { 1  2 } et g ∈ G . On a (Ψ( g ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 )))( v 1 ⊗ v 2 ) = (Ψ( ϕ 1 ◦ g − 1 ⊗ ϕ − 1 ))( v 1 ⊗ v 2 ) = ϕ 1 ( g − 1 v 1 ) ϕ 2 ( g − 1 v 2 ) 2 ◦ g et ( g (Ψ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 )))( v 1 ⊗ v 2 ) = (Ψ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 ))( g − 1 ( v 1 ⊗ v 2 )) = ϕ 1 ( g − 1 v 1 ) ϕ 2 ( g − 1 v 2 )  Ainsi Ψ( g ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 )) = g Ψ( ϕ 1 ⊗ ϕ 2 ) pour tout ( ϕ 1  ϕ 2 ) ∈ V 1 ∗ × V 2 ∗ et tout g ∈ G . Comme Ψ est linéaire et que les éléments de la forme ϕ 1 ⊗ ϕ 2 engendre l’espace vectoriel V 1 ∗ ⊗ V 2 ∗ , on en déduit que Ψ est un G -morphisme. Passons à l’isomorphisme entre Bil (V 1 × V 2  k ) et Hom k (V 1  V 2 ∗ ) . Les applications Υ V 1 × V 2  k ) −→ Hom k (V : ( Bil ( B 7−→ ( v 1 7→ ( v 2 1  7→ V 2 ∗ B ) ( v 1  v 2 ))) et Ξ : ( Hom k ( f V 1  V 2 ∗ ) 7− − → → ( B ( i v l 1 (  V v 1 2 ) × 7→ V 2 f  ( k v ) 1 )( v 2 ))