el morsli-these

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´ ´ ´UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEAIX-MARSEILLE IIFacult´e des Sciences de Luminy`THESEpour obtenir le grade de´ ´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEEDiscipline : Math´ematiquespr´esent´ee et soutenue publiquementparDriss EL MORSLIle 29 mars 2006TitreSemi-exactitude du bifoncteur de Kasparovpour les actions moyennablesDirecteurs de Th`ese : Gennadi KASPAROV et Richard ZEKRIJURYM. Baaj Saad Professeur, Universit´e Blaise Pascal RapporteurM. Chabert J´erˆome Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e Blaise PascalM. Fack Thierry Professeur, Universit´e Claude Bernard RapporteurM. Kasparov Gennadi Directeur de Recherche, CNRS MarseilleM. Renault Jean Professeur, Universit´e d’Orl´eansM. Zekri Richardeur, Universit´e de la M´editerran´eeRemerciementsJe remercie vivement mes directeurs de Th`ese, Gennadi Kasparov et Richard Zekri,pour m’avoir propos´e cette recherche et apport´e le soutien ainsi que les nombreusesid´ees n´ecessaires `a sa r´ealisation.Je tiens a` remercier infiniment Saad Baaj et Thierry Fack de s’ˆetre int´eress´e `a montravail et d’avoir accept´e de rapporter les r´esultats de ma th`ese, je remercie ´egalementJ´erˆome Chabert et Jean Renault pour avoir accept´e d’ˆetre membres du jury de math`ese. Leurs nombreux conseils et suggestions concernant la th`ese m’ont´et´e d’un grandsecours.Merci aussi `a tous les membres et th´esards de l’Institut de Math´ematiques de Lu-miny, sans oublier ceux du D´epartement de Math´ematiques ...

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Extrait

´ ´ ´ UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE AIX-MARSEILLE II Facult´edesSciencesdeLuminy

` THESE pour obtenir le grade de ´ ´ ´ DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE Discipline:Math´ematiques

pre´sent´eeetsoutenuepubliquement par Driss EL MORSLI le 29 mars 2006

Titre Semi-exactitude du bifoncteur de Kasparov pour les actions moyennables

DirecteursdeTh`ese:GennadiKASPAROVetRichardZEKRI

JURY M.BaajaaSuetrrRlacoppa´tBereisPesaalsifessdProUniveur, M.ChabertˆMameJ´ersit´eBces,Univno´freneıˆrtdeCelacsaPesial ero M.FackrrteuseesofPrryerhiTappoardRBernaudee´lCsrtiinevruU, M.Kasparov de Recherche, CNRS MarseilleGennadi Directeur M.Renaultan´esJeanProfesseur,nUvireis´tdeO’lr M.ZekrichRiPdraeforuessnU,rMae´deleis´tvire´eerrandite

Remerciements

JeremercievivementmesdirecteursdeTh`ese,GennadiKasparovetRichardZekri, pourm’avoirpropose´cetterechercheetapport´elesoutienainsiquelesnombreuses id´eesne´cessairesa`sare´alisation.

Jetiens`aremercierinfinimentSaadBaajetThierryFackdes’ˆetreinte´resse´a`mon travailetd’avoiraccepte´derapporterlesre´sultatsdemathe`se,jeremercie´egalement J´erˆomeChabertetJeanRenaultpouravoiraccept´ed’eˆtremembresdujurydema th`ese.Leursnombreuxconseilsetsuggestionsconcernantlathe`sem’onte´t´ed’ungrand secours.

Merciaussia`touslesmembresetth´esardsdel’InstitutdeMath´ematiquesdeLu- miny,sansoublierceuxduD´epartementdeMath´ematiques.

Mesremerciementsvont`atouslesparticipantsdelarencontreduGDRAlg`ebres d’ope´rateursauxHouchespourleurssuggestions.Labonneententeetlaconvivialite´ quire´gne`rentsurlesr´eunionsduGDRfurentuneclefdel´usiteetdel’avancement a re s des travaux.

JenesauraisoubliertouteslespersonnesduD´epartementdeMath´ematiquesde l’Universit´eCadiAyyadpourleursoutien.Jetiens`aremercierenparticulierMohamed ElKahoui,AbdelkaderElKoutri,RodyKandrietKhaledSamipourdetre`snom- breuses et passionnantes discussions.

Mercia`tousmesfr`eresetmesamispourleursencouragements.

Enfin,jetiensa`louermonpe`repoursabienveillance,sanslaquellecetteth`ese n’auraitjamaisvulejour.Lapr´eparationetl’ach`evementdecettethe`sen’auraient aucungoˆutsanslere´confortdemam`ere.

Table des mati` eres

Introduction 2 1P´eliminairesetNotations6 r 1.1 LesG-C(X.........6....)-alg`ebre.s.............. 1.2 Bifoncteurs de Kasparov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1GroupesdeKasparove´quivariants.................10 1.2.2 Connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3Propri´ete´duproduitdeKasparov.................12 2 Suites exactes enKvibeiroepetnairah´-torrpse41ourlesalg`ebresp 2.1UtilisationduTh´eor`emedeStinespringpourlesalg`ebrespropres....14 2.2Suitesexactesenpremie`revariable....................17 2.3Suitesexactesendeuxie`mevariable....................22 3Moyennabilite´topologiqueetlaK-theie´e´roraaiuqviedntaseKropa7v2 3.1Constructiond’unealg`ebrepropreausensdeHigson-Kasparov.....27 3.2 Semi-exactitude du bifoncteur de Kasparov pour les actions moyennables 32 4 Exemple d’application 36 4.1Moyennabilit´etopologiquedugroupedetransformation(S 1 , SU(1,1)) . 39 4.2 La Moyenne sur le disque hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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Introduction

SoientGun groupe topologique localement compact,Xun espace topologique locale- ment compact ´ ´. O oteraC(X’a)l`elgedbrseofcnitnocsnoitnuessurXnulles`a separe n n l’infini. Danslapr´esentethe`se,nousutilisons(X, G)-afdo´remsrpaonusrreudnegtirgonuep tion topologique moyennable au sens d’Anantharaman-Delaroche et Renault (cf. [1, De´finition2.1],[2,Chapitre2,Section2]).Rappelonscettede´finition:´etantdonne ´ un groupe de transformation topologique (X, G), on dit que (X, G) estmoyennable en mesureils’isexunteuiesees´lira´eeng´te(m i ) i∈I d’applications continuesx7→m ix deX dansl’espacedemesuresdeprobabilite´surGmuni de la topologie faible, telles que li i mks∙m x i −m i s∙x k 1 uoctustrtcedmoapfoni0u=ntme´ermX×G. On appelleG-e`glerbauneC ∗ br`eegla-Asur laquelleGagit continuement (en norme) par automorphismes. On appelleG-C(X)-rbe`ealgtouteGreeb-`glaAsenepe´r-tunmd’ieerun ationnonde´g´en´er´eedeC(X) sur le centreZ(M(A)d)`elg’aelltiplicabredesmuetrudse A, tel queg(f a) =g(f)g(a), pour toutef∈C(X),g∈Geta∈A. UneC(X)-arbegle` Aest donc munie d’une structure deC(X)-module de Banach tel que l’on ait, en outre, C(X)A=A. UneGre-la`gbeApour laquelle il existe unG-espace propreY(i.e pour tout compactKdeY, l’ensemble{g∈G|g∙K∩K6=∅}est compact.) tel queAsoit uneG-C(Xeetsidet-alg`ebr)propreR.anst´ediberleniatrecenuetsiexilu’sqonquarem le choix de l’espaceY(cf. [10]). Dans[17],Kasparovassocie`atoutepaire(A, B) deGg`al-sreebZ/2Z-rgda´ueeusgnorupe ab´eliennot´eKK G (A, Bsiedeegor)ali,ssua´eidisfinlaurt´caG-C(X)-,snubeerla`g bifoncteurRKK G (X;−,−) (cf. [17]). Lorsque l’espaceXest trivial, on retrouve le bifoncteurKK G (−,−noscenl`edrise)oiS.G-C(Xesbr`egla-)A=A 1 ⊗C(X) etB= B 1 ⊗C(Xesigndne´)o,RKK G (X;A, B) parRKK G (X;A 1 , B 1 ). On propose par la suite d’e´tudierlecomportementdubifoncteurainsid´efinivis-a`-visdessuitesexactes. Soit 0−→I− i →A− p →A/I−→nairedetqe´eaviueeitctxa0usuneGuqerestelle-alg`ebp admetunrele`vementcompl`etementpositif(nonne´cessairemente´quivariant)denorme 1.Onvae´tablirl’exactitudedessuiteshexagonales(a)et(b);donn´eesci-dessous,pour

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