Théorie quantique des champs topologique

Chapitre 4Th´eorie quantique des champstopologique4.1 TQFT : axiomatiqueEn bref : une TQFT V en dimension n+1 , sur l’anneau de base k (commutatifint`egre) est un foncteur de la cat´egorie n Cob vers la cat´egorie des k-modules qui estmono¨ıdal et sym´etrique. Ce qui suit donne une d´efinition compl`ete.Une TQFT V sur l’anneau de base k en dimension n+1 :associe a` chaque vari´et´e M de dimension n (orient´ee compacte sans bord)un k-module V(M)0associe a` chaque cobordisme de dimension n + 1, W = (W;M;M ), uneapplication lin´eaire :0V(W) :V(M)!V(M ) :On demande les axiomes suivants :1. (Naturalit´e) Un diff´eomorphisme de dimension n, g : M ! N, induit un iso-morphisme g : V(M) ! V(N), et ces isomorphismes sont compatibles avec les]applications lin´eaires associ´ees aux cobordismes.2. (Fonctorialit´e) L’application lin´eaire associ´ee au recollement de deux cobordismes0 0 0 00 0(W;M;M ) et (W ;M ;M ) est la compos´ee V(W )V(W).3. (Normalisation) Un cobordisme produit agit par l’identit´e :V([0;1]M) =Id :V(M)4. (Multiplicativit´e) Il existe des isomorphismes fonctoriels :0 0V(MqM )V(M)V(M ) ; V(;)k ;20compatibles avec les diff´eomorphismes0 00 0 00V(Mq(M qM ))V((MqM )qM )) ; V(Mq;)V(M) :0 05. (Sym´etrie) L’isomorphisme V(M qM )V(M qM) est compatible avec l’iso-0 0morphisme V(M)V(M )V(M )V(M).Remarque 4.1.1. Ilestpossibled’´etendrelad´efinition`adescat´egoriesou` lescobordismessont munis de structures additionnelles, ou sont plus ...