Théorie quantique des champs topologique

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Chapitre 4Th´eorie quantique des champstopologique4.1 TQFT : axiomatiqueEn bref : une TQFT V en dimension n+1 , sur l’anneau de base k (commutatifint`egre) est un foncteur de la cat´egorie n Cob vers la cat´egorie des k-modules qui estmono¨ıdal et sym´etrique. Ce qui suit donne une d´efinition compl`ete.Une TQFT V sur l’anneau de base k en dimension n+1 :associe a` chaque vari´et´e M de dimension n (orient´ee compacte sans bord)un k-module V(M)0associe a` chaque cobordisme de dimension n + 1, W = (W;M;M ), uneapplication lin´eaire :0V(W) :V(M)!V(M ) :On demande les axiomes suivants :1. (Naturalit´e) Un diff´eomorphisme de dimension n, g : M ! N, induit un iso-morphisme g : V(M) ! V(N), et ces isomorphismes sont compatibles avec les]applications lin´eaires associ´ees aux cobordismes.2. (Fonctorialit´e) L’application lin´eaire associ´ee au recollement de deux cobordismes0 0 0 00 0(W;M;M ) et (W ;M ;M ) est la compos´ee V(W )V(W).3. (Normalisation) Un cobordisme produit agit par l’identit´e :V([0;1]M) =Id :V(M)4. (Multiplicativit´e) Il existe des isomorphismes fonctoriels :0 0V(MqM )V(M)V(M ) ; V(;)k ;20compatibles avec les diff´eomorphismes0 00 0 00V(Mq(M qM ))V((MqM )qM )) ; V(Mq;)V(M) :0 05. (Sym´etrie) L’isomorphisme V(M qM )V(M qM) est compatible avec l’iso-0 0morphisme V(M)V(M )V(M )V(M).Remarque 4.1.1. Ilestpossibled’´etendrelad´efinition`adescat´egoriesou` lescobordismessont munis de structures additionnelles, ou sont plus ...

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Chapitre 4

Th´eoriequantiquedeschamps topologique

4.1 TQFT: axiomatique En bref : une TQFTVen dimensionn, sur l’anneau de base+ 1k(commutatif inte`gre)estunfoncteurdelacat´egorien−Cobalsr´tacevsoregdeiekmodules qui est monoı¨daletsym´etrique.Cequisuitdonneunede´finitioncomple`te. Une TQFTVsur l’anneau de baseken dimensionn+ 1: associea`chaquevari´ete´Mde dimensionnneiro(pmocee´tsansacte)bord unkmoduleV(M) ′ associea`chaquecobordismededimensionn+ 1,W= (W, M, M), une applicationlin´eaire: ′ V(W) :V(M)→V(M). On demande les axiomes suivants : 1.(Naturalit´e)Undiff´eomorphismededimensionn,g:M→N, induit un iso morphismeg ♯ :V(M)→V(N), et ces isomorphismes sont compatibles avec les applicationsline´airesassocie´esauxcobordismes. 2.(Fonctorialite´)L’applicationline´aireassocie´eaurecollementdedeuxcobordismes ′ ′′ ′′′ (W, M, M) et (MW ,M ,actles)ees´poomV(W)◦V(W). 3.(Normalisation)Uncobordismeproduitagitparl’identite´: V([0,1]×M) =Id V(M) . 4.(Multiplicativite´)Ilexistedesisomorphismesfonctoriels: ′ ′ V(M∐M)≈V(M)⊗V(M),V(∅)≈k, 20

compatiblesaveclesdiffe´omorphismes ′ ′′′ ′′ V(M∐(M∐M))≈V((M∐M)∐M)),V(M∐ ∅)≈V(M). ′ ′ 5.(Syme´trie)L’isomorphismeV(M∐M)≈V(M∐M) est compatible avec l’iso ′ ′ morphismeV(M)⊗V(M)≈V(M)⊗V(M). Remarque4.1.1.erdn´dalinfienoitde`aatscgo´eesriIelstpossibled’´etesmeisrdbocoesulo` sontmunisdestructuresadditionnelles,ousontplusg´en´erauxquelesvari´ete´s. Proposition 4.1.2.Le cobordisme([0,1]×M,−M∐M,∅)bimeorefirean´lidenutinfie´ nonsingulie`re: V(−M)⊗V(M)→k, ∗ c’esta`direinduitunisomorphismeV(−M)≈V(M). Corollaire 4.1.3.Sikest un corps (resp. un anneau principal), alorsV(M)est un espace vectoriel de dimension finie (resp. un module libre de type fini).

4.2Alg`ebresdeFrobenius 1 SoitV+ 1,sur l’anneau de baseune TQFT en dimension 1k. NotonsV(S) =A. Proposition 4.2.1.nitsd´efialonpant)aeLruAun produit pour lequelAlbrge`aeuneste 2 1 commutative,d’´ele´mentneutreV(D ,∅, S). 2 1 b) Notonsǫ A eireanl´faroemilV(−D ,S ,∅). L’application(x, y)7→ǫ A (x, y)strufieind´ ⊗2 Aiae´yserbemrnilionenegd´etm´quri.ee´´nree´enofu D´efinition4.2.2.orFederbe`glaelleuttousnibeOnappeklgaee`rbAmunie d’une forme ⊗2 lin´eaireǫ A telle que l’application (x, y)7→ǫ A (x, yfin´e)drsuitAemrofenuae´nilibire sym´etriquenonde´g´ene´r´ee. Exercice4.2.3.Montrer que sikest un corps (resp. un anneau principal) alors la de´finitionpre´c´edenteentraˆınequeAest de dimension finie (resp. libre de dimension finie). 1 Sur un corps (ou sur un anneau principal),A=V(Salg`tunedeFrebreboese) niuscommutative.Re´ciproquement,unealge`bredeFrobeniuscommutativede´termine la TQFT : ⊗2 The´ore`me4.2.4.Soit(A, µ A :A→A, ǫ A :A→k)uensuiobendeFrebrealg` commutative sur le corps (resp. sur l’anneau principal)k, alors il existe un foncteur 1 11 1 TQFTV A tae´ogiruslrcae2Cob, tel que :V A (S) =A,V A (P, S∐SS ,) =µ A et 2 1 V A (−S ,D ,∅) =ǫ A . Remarque4.2.5.Le foncteurV A brefinidepoints,`ruafecasevucnnmosxuadnete´’sa chacundesquelsonaassoci´eun´ele´mentdeA.

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4.3 Laconstruction universelle Une TQFT surken dimensionnt´esri´eorddansbeia`sscoeuavhcqa1a+imeden sionnmoHe(me´ldtne´eunk,k)≃kesllceehnonuvirenstructi.Lacounrendte´e`aherc invariantM7→I(M)∈knoneisdemi´esdi´etsvardenen une TQFT en dimensionn+ 1. Pour reconstruire ainsi une TQFTV, il faut et il suffit que les vecteursV(W),∂W=M engendrentV(Mordilesbepardr´eiE.dnmsse)dno;latiqsrolaueFTTQteesenng mension1+1,onobtientunethe´orieengendr´eeparlesbordismes,sione´tendlaTQFT aux cobordismes qui sont des surfaces Σ, avec un nombre fini de points respectivement 1 marque´spardes´ele´mentsdeA=V(S) (voir l’exercice 4.3.6).

4.3.1 Exemple Onconsid`erel’invariantIcapmocsee´tneiroesacrfsuesdinedbrefinnomvecutesa pointsde´finipar(gest le genre)   2 sig= 1,k= 0  I(Σ g ,{x 1 , . . . , x k } 1 si ) = g= 0,k= 1   0 sinon. Proposition 4.3.1.Il existe une TQFT sur l’anneauZaitn’idlarnvi´quenetI. De´monstration.tinfie´dno,ΓebcourrunePouV´Γe(lienlibredeabpeougrlemeom)c base les surfaces avec points de bord Γ (i.e. les cobordismes de∅vers Γ). V(Γ) est le quotient deV(Γ) par le sousmodule : X X V O (Γ) ={λ i Σ i ,pour tout cobordismeN= (N,Γ,∅), I(Σ i ∪ Γ N) = 0}. i i Auncobordismeonassociel’applicationde´finieparlerecollement.Cetteapplication passeauquotient,etonobtientainsiunfoncteursurlacat´egoriedecobordismedes • surfaces avec points que nous notons 2−Cob .Nous allons montrer que ce foncteur est multiplicatif. Lemme 4.3.2. 2 11 22 22 V([0,1]×D ,∅,−S∐S) =V(−D∐(D ,0)) +V(−(D ,0)∐D) Corollaire 4.3.3. V(Γ)edistesdoudequeseusidqs´rdnrapetseegneissdinjosuleonni avec un point.

1 22 On montre queA=V(S) est libre de rang 2, de baseDet (D ,0), puis que 1⊗k V(∐ k S)≃A.

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2 Exercice4.3.4.Montruqrea’lee`glerbAdcisuesstseomise`aorphZ[X]/X. 1 Exercice4.3.5.Construire une TQFT pour laquelleV(Se)boneuisebredeFrstl’alg` ′2 A=Z[X]/(X−1),ǫ A (1) = 0,ǫ A (X) = 1. (On pourra commencer par calculer ′ ′ l’invariant des surfaces sans bord pour une telle TQFT, si elle existe.) Exercice4.3.6.On suppose quekest un corps ou un anneau principal. SoitVune TQFT 1 en dimension 1+ 1surketA=V(Sti.UseliberousnitcurnoicalrtsnodeFee`rbangl)os universellepour´etendreVen une TQFT pour les surfaces avec un nombre fini depoints colorie´sme´esdntdearels´peAniefi´dtsestniopcevadsborssanfacessurtnedraaii’vnL. par : I(Σ,(x 1 , a 1 ), . . . ,(x k , a k )) =<V(Σ−(d 1 ∪ ∙ ∙ ∙ ∪d k )), a 1 ⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗a k > , ou`lesd i sont des disques ouverts voisinages desx i .sea’hdd,esncre´entoisjdi

4.3.2TQFTassocie´ea`unealge`bredeFrobeniuscommutative Laconstructionuniverselleapplique´ea`unealge`bredeFrobeniuscommutativeAsur un corps ou un anneau principalkionduth´eor`eme42.4.:ondnuene´desnomtart De´monstration.Soit (A, µ A , ǫ A ussubeninnearl’ae`rgiutnee`gla’l)orFederbk. Alors (A⊗A, µ A ⊗µ A , ǫ A ⊗ǫ A lg`euneaussiestaop´seensraateLivatutmmocsuineborFederb deµ A est une application : t∗ ∗ µ A :A→(A⊗A) ∗ ∗ Avec les isomorphismesA≃Aet (A⊗A)≃A⊗Ainduits respectivement parǫ A et ǫ A ⊗ǫ A , on obtient une application Δ A :A→A⊗A. Exercice4.3.7.a) Montrer que le coproduit Δ A est coassociatif et queǫ A tsee.t´niuco b)De´montrerqueΔ A estAorda)etier(e`.psi,sauche`ageairlin´Aagit surA⊗Apar multiplication sur le facteur de gauche (resp. de droite). c)Montrersurl’exempletrait´epr´ece´demmentqueΔ A n’tpesunasrpmomsiha’dee`glerb (etdoncqu’onn’apasdestructured’alge`bredeHopf). A une surface de genregavecpointscolor´ise(:Σ,(x 1 , a 1 ), . . .(x m , a m )) on associe : g I((Σ,(x 1 , a 1 ), . . .(x m , a m )) =ǫ A ◦(µ A ◦Δ) (a),`ouaest le produit desa i . PourunecourbeΓ,onde´finitVelesabederbilneiscefaurss()Γocupeab´elmmelegro avecpointscolori´espardes´el´ementsdeAet de bord Γ (i.e. les cobordismes de∅vers Γlacat´egoriedecobordismedessurfacesavecpointscolorie´sparAque nous notons A 2−Cob ). V(Γ) est le quotient deV(Γ) par le sousmodule : X X V O (Γ) ={λ i Σ i ,pour tout cobordismeN= (N,Γ,∅), I(Σ i ∪ Γ N) = 0}. i i 23